Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

График функции называется выпуклым в интервале (a, b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.3).

График функции называется вогнутым в интервале (b,с), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутость) графика функции: если в интервале (a, b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если , то на этом интервале, график функции – выгнутый.

Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис.3).

 

Пример 9 Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

.

Определим первую и вторую производную

,

.

Если , то .

Если , то .

Кривая выпукла в промежутке и вогнута в промежутке .

Схема исследования функции с помощью производных и построение графика.

1) Найти область определения функции.

2) Исследовать функцию на четность и нечетность.

3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4) Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва.

5) Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.

6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

7) Построить график.

 

Пример 10 Построить график функции

1) Область определения функции вся числовая ось, за исключением точки

D (у) = (-∞; 0) V(0; +∞).

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика с осью 0x, имеем

, .

С осью 0у функция не пересекается.

4) Точка разрыва .

5) Найдем экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем

.

, ,

,

.

, критические точки,

на промежутках и ,

на промежутке (0; 2).

Функция возрастает и ; и убывает (0; 2).

х = 0, точка максимума,

х = 2, точка минимума.

6) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Если х > 0, >0

При х <0, > 0

График функции всюду вогнут. Точек перегиба прямая не имеет. Используя полученные данные построим график (рис.4).

 

Упражнения

Найти производные функции (2.1-2.43):

2.1 ; 2.2 ;

2.3 ; 2.4 ;

2.5 ; 2.6 ;

2.7 ; 2.8 ;

2.9 ; 2.10 ;

2.11 ; 2.12 Найти ;

2.13 ; 2.14 ;

2.15 ; 2.16 ;

2.17 ; 2.18 ;

2.19 ; 2.20 Найти ;

2.21 ; 2.22 ;

2.23 ; 2.24 ;

2.25 ; 2.26 ;

2.27 ; 2.28 ;

2.29 ; 2.30 ;

2.31 ; 2.32 Найти ;

2.33 ; 2.34 Найти ;

2.35. ; 2.36 ;

2.37 ; 2.38 ;

2.39 ; 2.40 ;

2.41 ; 2.42 ;

2.43 .

Найти производные и дифференциалы функций (2.44-2.54):

2.44 ; 2.45 ;

2.46 ; 2.47 ;

2.48 ; 2.49 ;

2.50 ; 2.51 ;

2.52 ; 2.53 ;

2.54 .

Найти производные высших порядков (2.55-2.62)

2.55 Найти .

2.56 Найти .

2.57 Найти .

2.58 Найти .

2.59 Найти .

2.60 Найти

2.61 Найти.

2.62 Найти.

Найти интервалы монотонности функций (2.63-2.70):

2.63 ; 2.64 ;

2.65 ; 2.66 ;

2.67 ; 2.68 ;

2.69 ; 2.70 .

Исследовать с помощью первой производной функции на экстремум (2.71-2.78):

2.71 ; 2.72 ;

2.73 ; 2.74 ;

2.75 ; 2.76 ;

2.77 ; 2.78 .

Исследовать с помощью второй производной функции на экстремум (2.79-2.85):

2.79 ; 2.80 ;

2.81 ; 2.82 ;

2.83 ; 2.84 ;

2.85 .

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих

кривых (2.86-2.95):

2.86 ; 2.87 ;

2.88 ; 2.89 ;

2.90 ; 2.91 ;

2.92 ; 2.93 ;

2.94 ; 2.95 .

Исследовать функции и построить их график (2.96-2.104):

2.96 ; 2.97 ; 2.98 ;

2.99 ; 2.100 ; 2.101 ;

2.102 ; 2.103 ; 2.104 .

Неопределенный интеграл

 

Функция F(х) называется первообразной для функции f (x), если или .

Если функция f(х) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении ; где С – постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность всех ее первообразных.

– знак интеграла, f (x) подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла.

1) ,

2) ,

3) ,

4) , где а – постоянная,

5) .

Основные интегралы.

1) , n ≠ -1,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) .

Методы интегрирования

I. Непосредственное интегрирование: подынтегральное выражение путем преобразований и использования свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1 Вычислить .

Разделим числитель на знаменатель, получим

Пример 2 Найти .

Приведем подынтегральные выражения к степенным

.

Пример 3 Найти .

Раскроем скобки

.

Пример 4 Найти . Результат проверить дифференцированием.

Преобразуем знаменатель

.

Проверим результат

.

Получили подынтегральную функцию, интеграл найден верно.

 

II. Замена переменной в неопределенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) , где - монотонная, непрерывная дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

;

2) , где u – новая переменная.

Формула замены переменной при такой постановке:

Пример 5 Найти .

Приведем подынтегральное выражение к табличному с помощью замены . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: , откуда . Следовательно,

.

Пример 6 Найти .

Так как производная выражения равна , применим подстановку . Дифференциал от обеих частей равен , .

.

Пример 7 Найти .

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную.

.

III. Интегрирование по частям: интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

;

где , - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за U берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 8 Найти .

Положим , , тогда . Следовательно,

 

 

Пример 9 Найти .

Положим , , тогда , . Следовательно,

Пример 10 Найти .

Положим , , тогда , . Следовательно,

.

Вновь применим формулу интегрирования по частям. Положим , , тогда , .

Таким образом,

Так как в правой части стоит искомый интеграл, то перенесем его в левую часть получим

Упражнения

Найти интегралы (3.1-3.61):

3.1 ; 3.2 ;

3.3 ; 3.4 ;

3.5 ; 3.6 ;

3.7 ; 3.8 ;

3.9 ; 3.10 ;

3.11 ; 3.12 ;

3.13 ; 3.14 ;

3.15 ; 3.16 ;

3.17 ; 3.18 ;

3.19 ; 3.20 ;

3.21 ; 3.22 ;

3.23 ; 3.24 ;

3.25 ; 3.26 ;

3.27 ; 3.28 ;

3.29 ; 3.30 ;

3.31 ; 3.32 ;

3.33 ; 3.34 ;

3.35 ; 3.36 ;

3.37 ; 3.38. ;

3.39 ; 3.40 ;

3.41 ; 3.42 ;

3.43 ; 3.44 ;

3.45 ; 3.46 ;

3.47 ; 3.48 ;

3.49 ; 3.50 ;

3.51 ; 3.52 ;

3.53 ; 3.54 ;

3.55 ; 3.56 ;

3.57 ; 3.58 ;

3.59 ; 3.60 ;

3.61 .

 

Определенный интеграл

 

Определенным интегралом от функции на отрезке [a; b] (или в пределах от a до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max Δx_к) стремится к нулю:

Если функция непрерывна на [a; b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на элементарные отрезки и от выбора точек .

Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.