Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Подведение функции под знак дифференциала
На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал. Напоминаем пример, который мы приводили: . То есть, раскрыть дифференциал – это почти то же самое, что найти производную.
Пример 1 Найти неопределенный интеграл. . Выполнить проверку. Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать? Подводим функцию (3 x + 1) под знак дифференциала: . Раскрывая дифференциал, легко проверить, что, действительно, проведено тождественное преобразование: Фактически и – это запись одного и того же. Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: . Почему так, а не иначе?
Формула и все другие табличные формулы справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной x, но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ (в нашем примере - это 3 x + 1) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.
Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так:
«Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент (3 x + 1) и формулой я сразу воспользоваться не могу. Но если мне удастся получить (3 x + 1) и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу d ( 3 x + 1), тогда: d ( 3 x + 1) = ( 3 x + 1)’ d x = 3 d x. Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо её домножить на (1/3)».
В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись: . Теперь можно пользоваться табличной формулой : Готово. Единственное отличие: у нас не буква «икс», а сложное выражение ( 3 x + 1).
Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела, подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку.
Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: . Подводим функцию (5 - 2 x) под знак дифференциала: Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Получается -2 d x, значит, чтобы ничего не изменилось, надо домножить интеграл на (-1/2). Далее используем табличную формулу : Проверка: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
Пример 3 Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
Пример 4 Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.
При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи: И так далее.
В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на случае, когда в линейной функции переменная x входит с единичным коэффициентом, например: . Строго говоря, решение должно выглядеть так: . Как видите, подведение функции (x+ 3)под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 241; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.227.112.145 (0.024 с.) |