Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, тоинтеграл можно свести к тангенсам и его производной.
Для интеграла – целое отрицательное число. Для интеграла – целое отрицательное число. Для интеграла – целое отрицательное число. Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
Пример 20 Найти неопределенный интеграл . Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной: (1) Преобразуем знаменатель. (2) По известной формуле получаем . (3) Преобразуем знаменатель. (4) Используем формулу . (5) Подводим функцию под знак дифференциала. (6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться. Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения.
Пример 22 Найти неопределенный интеграл . В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль: .
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23 Найти неопределенный интеграл .
Пример 24 Найти неопределенный интеграл .
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока. Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет. Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл: , где a, b, c, d – числа. Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю. В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции. Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену. Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
. Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx. Выражаем «икс»: Теперь найдем дифференциал: Зачем были эти нелепые скучные телодвижения? Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида
! Формулы замены таковы: .
Заключительный пример: Пример 25 Найти неопределенный интеграл . Проведем замену: . В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем: . Таким образом: . Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям: Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно: . Преобразуем далее:
.
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный! Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку . и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx. Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы: Пример 2: Решение: . Проведем замену:
Интегрируем по частям:
Пример 3: Ответ: .
Пример 4: Ответ: .
Пример 6: Решение: . Интегрируем по частям:
Таким образом:
В результате:
Пример 8: Решение: Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
Таким образом:
Пример 10: Решение: . Проведем замену:
Пример 11: Решение:
Замена:
.
Пример 12: Решение:
Замена: .
Пример 14: Решение:
Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16: Решение:
Пример 18: Решение: . Используем формулу приведения:
и формулу двойного угла: . Далее имеем
Пример 19: Решение:
Пример 21: Решение: –3 – 3 = –6 – целое отрицательное число, значит преобразуем
Пример 23: Решение:
Пример 24: Решение: .
Определенный интеграл. Примеры решений
Для того, чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо: 1) Уметь находить соответствующие неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл. Как видите, для того, чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому, если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще не совсем закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений. В общем виде определенный интеграл записывается так: Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой a. Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой b. Отрезок [ a; b ] включает граничные точки и называется отрезком интегрирования. Что такое определенный интеграл? Можно посмотреть в учебниках про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т. д., но урок носит практический характер. Поэтому скажем, что определенный интеграл – это, прежде всего, самое что ни на есть обычное ЧИСЛО. Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача вычисления определённого интеграла – вычисление площади с помощью определенного интеграла. Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число, равное приращению первообразной функции на отрезке [ a; b ]. Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница: . Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока. Этапы решения определенного интеграла следующие: 1) Сначала находим первообразную функцию F (X) (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа C в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница. 2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F (b). 3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F (a). 4) Рассчитываем (без ошибок!) разность F (b)- F (a), то есть, находим число, равное приращению первообразной (от подынтегральной) функции на отрезке [ a; b ]. Готово.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда существует всё, что мы напишем в виде определённого интеграла. Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции и значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными. А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует на всём отрезке [-2; 3], так как в точках , этого отрезка подынтегральная функция f (x) = tg (x) не существует. Для того, чтобы определенный интеграл существовал на данном отрезке, необходимо, чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования. Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. Бывает так, что подолгу мучаешься с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находишь, то ещё и ломаешь голову над вопросом: «что за ерунда получилась?». Например, если получилось примерно так:
???!!! то нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Если для решения в контрольной работе, на зачете или экзамене Вам предложен несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему. Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция. Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике. Интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак: Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок: . В таком виде интегрировать значительно удобнее. Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности: Это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций. В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим. Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям: .
Пример 1 Вычислить определенный интеграл . Решение: (1) Выносим константу за знак интеграла. (2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в x 3 верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2 Вычислить определенный интеграл . Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.
Пример 3 Вычислить определенный интеграл . Решение: . (1) Используем свойства линейности определенного интеграла. (2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница. СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряем на третьем слагаемом: , т. к. очень часто машинально пишут . Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, так: . Здесь устно использованы правила линейности, устно проинтегрированы табличные интегралы. Получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов: (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию мы сначала подставили 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме. При втором способе существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, поэтому студенту-чайнику лучше использовать первый способ, чтобы не терять знаки. Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная. находится в одной скобке.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 412; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.77.98 (0.096 с.) |