Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Продолжаем рассматривать неопределенность вида Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, что помимо многочленов, у нас добавятся корни. Пример 6 Найти предел Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Получена неопределенность вида , которую нужно устранять. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: Умножаем числитель на сопряженное выражение: Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем. Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на : То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу : Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни: Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше. Готово. Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример 7 Найти предел Сначала попробуйте решить его самостоятельно. Окончательное решение примера может выглядеть так:
Разложим числитель на множители: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение Спасибо за внимание. Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы, с которыми Вы можете ознакомиться в соответствующей статье.
Замечательные пределы. Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме. А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне. Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически. Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Начнем.
Первый замечательный предел Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала). Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что: Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет: – тот же самый первый замечательный предел. ! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя. На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю. Примеры: Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим. А вот следующая запись – ересь: Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке. Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока. На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»). Переходим к рассмотрению практических примеров: Пример 1 Найти предел Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела. Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике): Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе . В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“ Пример 2 Найти предел Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль: Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей): Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить : Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице: Собственно, ответ готов: В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно. Пример 3 Найти предел Подставляем ноль в выражение под знаком передела: Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы). В данном случае: Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице): Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении. Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел: Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении: В итоге получена бесконечность, бывает и такое. Пример 4 Найти предел Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель: Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице) Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто. Постоянные множители вынесем за значок предела: Организуем первый замечательный предел:
Избавимся от трехэтажности: Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю: Пример 5 Найти предел Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Второй замечательный предел В теории математического анализа доказано, что: Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: – это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Пример 6 Найти предел Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел. Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение . Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида : Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень : Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 1424; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.33.178 (0.046 с.) |