Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за u, а что-то за dv.

В интегралах рассматриваемого типа за u всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за u мы обозначили логарифм, а за dv – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал du:

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию v. Для того чтобы найти функцию v необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства dv = dx:

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: .

Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:

Единственный момент, в произведении uv я сразу переставил местами u и v, так как множитель x принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом, обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс».

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

 

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

 

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

.

Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.

Решаем.

Мы еще один раз подробно распишем порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам урока.

Как уже говорилось, за u необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За dv обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Записываем в столбик:

Сначала находим дифференциал du:

Здесь использовано правило дифференцирования сложной функции

.

Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений мы акцентировали внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.

Теперь находим функцию v, для этого интегрируем правую часть нижнего равенства :

Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу

.

Теперь всё готово для применения формулы . Открываем «звёздочкой» и «конструируем» решение в соответствии с правой частью

:

Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за u в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.

.

Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.

(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть.

(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.

(3) Берем последний интеграл.

(4) «Причесываем» ответ.

Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.

 

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения:

 

Пример 3

Найти неопределенный интеграл

.

Этот пример решается методом замены переменной (или подведением под знак дифференциала)! Можете также попробовать взять его по частям, получится забавная вещь.

 

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

.

А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).

 

Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.

 

В примерах 3, 4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные!

В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Кроме того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего.