Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса.
Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте мы уже рассказывали на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований. Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: . Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на (–1); к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на (–3). Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце. Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на (–4), в результате чего и будет получен нужный нам ноль. Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жёсткий алгоритм. Но вот, чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического. Для желающих более сложный пример для самостоятельного решения: Пример 5 Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.
Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.
Решения и ответы:
Пример 2: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Выполненные элементарные преобразования: (1). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–1). Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2). У второй строки сменили знак, умножили на (–1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и (–1), что даже удобнее. (3). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4). У второй строки сменили знак, умножили на (–1). Третью строку разделили на 14. (5). Обратный ход: Ответ: . Пример 4: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Выполненные преобразования: (1). К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6. Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо (–1). Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3). К третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–1). (4). Ко второй строке прибавили третью, умноженную на (–3). Нужная вещь на второй ступеньке получена. (5). К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6). Вторую строку умножили на (–1), третью строку разделили на (-83). (7). Обратный ход: , , . Ответ: .
Пример 5: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Выполненные преобразования:
(1). Первую и вторую строки поменяли местами. (2). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–2). К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на (–3). (3). К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4). У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5). К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на (–5). (6). Обратный ход: Ответ:
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 161; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.69.152 (0.01 с.) |