Такие примеры встречаются на практике относительно редко, поэтому ограничимся только обзором. Пример опять же будет, в известной степени, условным. Рассмотрим несобственный интеграл
.
На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке x = 1. Подынтегральная функция является четной, но это не имеет никакого значения, поскольку отрезок интервал интегрирования не симметричен относительно нуля.
Метод решения – тот же старый. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:
.
Интегралы правой части вам уже знакомы.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 5: Решение:
Проведем замену:
Новые пределы интегрирования:
Пример 8: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на интервале .
Пример 11: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
Проверим сходимость интегралов правой части:
Сходится.
Сходится. Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:
Ответ:
Примечание: Будет серьезной оплошностью сразу записать, что
,
пользуясь нечетностью подынтегральной функции и симметричностью интервала интегрирования. Стандартный алгоритм обязателен!!!
Пример 13: Решение:
Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках
.
Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов:
Исследуем сходимость интегралов правой части:
Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и весь интеграл.
Интеграл
- можно уже не проверять.
Ответ: интеграл
– расходится
Приложение 1. Числа
Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа.
Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков. Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4…
При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число, и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли.
Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.
Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.
Дроби обозначаются, как ; где m и n - целые числа.
- это сокращение дроби; а - это расширение дроби.
Дроби со знаменателем 10 - это десятичные дроби, которые обозначаются с помощью запятой, разделяющей целую и дробную части: .
Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби.
Различают 2 случая:
1) чистая периодическая дробь, как 0,2525…=0,(25)= ;
2) смешанная периодическая дробь, как 1,2555…=1,2(5)= .
Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики. Рене Декарт в 17 веке ввёл понятие отрицательного числа. Объединение множеств целых (положительных и отрицательных) чисел, дробных (положительных и отрицательных) чисел и нуля получили название рациональных чисел (rational numbers).
Определение: Всякое рациональное число может быть записано в виде отношения двух целых чисел, одно из которых (в знаменателе) не равно нулю.
Определение: Всякое рациональное число может быть записано в виде конечной дроби (с конечным числом знаков после запятой) или периодической дроби.
Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - ввели действительные (вещественные) числа (real numbers).
Объединение множеств рациональных (положительных и отрицательных) и иррациональных (положительных и отрицательных) чисел получило название множества действительных чисел.
Определение: Всякое иррациональное число может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
Иррациональные числа (irrational numbers) появились при измерении несоизмеримых отрезков (таких, как сторона и диагональ квадрата).
В алгебре иррациональные числа появились при извлечении корней . Примером трансцендентного, или иррационального числа являются числа π, е.
Все действительные числа можно изобразить на числовой оси.
Числовая ось (числовая прямая) это:
а) прямая линия с выбранным на ней направлением;
б) на оси задано начало отсчета – нулевая точка (0);
в) на оси задана единица масштаба.
Х
-2 -1 1 2 3
Комплексные числа. После действительных чисел (real numbers) не появилось «недействительных чисел», но возникли так называемые «комплексные числа» (complex numbers). «Комплексное число» - это не число в обычном понимании, характеризующееся одним параметром, а математический объект, составленный из двух элементов, каждый из которых - действительное число.
Геометрически комплексное число может быть представлено, как точка на плоскости (элемент плоскости), на которой задана прямоугольная система координат: две взаимно перпендикулярные числовые оси (0X и 0Y) с общей нулевой точкой (0) начала отсчёта. Произвольная точка такой координатной плоскости определяется упорядоченной парой чисел (x; y), где x и y называют обычно координатами точки по соответствующим осям. Пара называется упорядоченной, т. к. при перестановке чисел x; y местами в скобках получается другое комплексное число (другая пара): (x; y) ¹ (y; x).
Определение: Всякое комплексное число представимо в виде упорядоченной пары действительных чисел: z =(x; y), где и x, и y – действительные числа, а z – «название» этой пары. Причём первое в паре число (x) называют действительной частью комплексного числа, а второе в паре число (y) – мнимой частью комплексного числа.
Действительные числа после этого определения стали обозначать, как x º (x; 0), и отмечать их на числовой оси 0X, а мнимые числа (мнимые части комплексных чисел) – как y º (0; y). Для комплексных чисел ввели особые алгебраические операции. Оказалось, что комплексные числа представимы в виде векторов и просто «алгебраически», как: z = x + i∙y, если величину i º (0; 1) назвать мнимой единицей (смотрите раздел Комплексные числа).
Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики
- Фирме выделен банковский кредит на срок с 3 января по 12 марта под простые проценты с процентной ставкой 12 % годовых. Сумма кредита — 80 млн ден. ед. Определить тремя методами коэффициент наращения и наращенную сумму.
- Сберегательный банк принимает вклад «до востребования» под процентную ставку i % = 4,8 % (проценты простые). В году К = 365 дней. Через сколько дней вклад в 4,5 млн ден. ед. нарастет до 5 млн ден. ед.
- Фирма взяла в коммерческом банке кредит на сумму 600 млн ден. ед. сроком на 4 года. Согласно договору, за первый год процентная ставка составила 14 % и с учетом инфляции каждый последующий год повышалась на 2,5 пунктов. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход банка.
- Банки принимают у населения денежные средства на срочные вклады. Клиент хочет внести в банк денежную сумму 8 млн ден. ед. на 3 месяца с таким расчетом, чтобы наращенная сумма была не менее 10 млн ден. ед. Какой должна быть годовая процентная ставка?
- Ссуда в размере 50 000 ден. ед. выдана на полгода по простой ставке процентов 20 % годовых. Определить наращенную сумму.
- Кредит в размере 100 000 ден. ед. выдан 2 марта до 11 декабря под 18 % годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.
- Кредит в размере 200 000 ден. ед. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 15 %, а за каждое последующее полугодие она увеличивается на 4 %. Определить множитель наращения и наращенную сумму.
- Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 ден. ед. вырастает до 45 000 ден. ед., если используется простая ставка процентов 12 % годовых.
- Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 ден. ед. достигнет 30 000 ден. ед. через 100 дней. К = 365 дней.
- Кредит выдается под простую ставку 18 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую кредитором, и сумму процентных денег, если величина кредита составляет 40 000 ден. ед.
- Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 10 % годовых. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 300 000 ден. ед.
- Кредит в размере 100000 ден. ед. выдается по учетной ставке 12 % годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 130000 ден. ед.
- Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает доход в 60 000 ден. ед., если сумма в 50 000 ден. ед. выдается в ссуду на полгода.
- Банк принимает валютные вклады физических лиц «до востребования» по номинальной процентной ставке 5 %. Клиент внес 200 долл. США. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму при сроке вклада 12 месяцев. Проценты сложные начисляются: один раз в год, в полугодие, поквартально, ежемесячно.
- Клиент внес в коммерческий банк вклад «до востребования» в сумме 20 000 ден. ед. под номинальную процентную ставку 10 %. Начисление процентов ежемесячно. Вклад внесен 23 января и получен 4 августа. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход клиента.
- При вкладе «до востребования» банк, согласно договору, имеет право изменить процентную ставку. Клиент внес в коммерческий банк 50 000 ден. ед. Первый месяц номинальная процентная ставка составляла 6 %, последующие 2 месяца — 7 %, следующий месяц — 8 % и последние 3 месяца — 10 %. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход клиента по приведенным ставкам для сложных и простых процентов. Начисление процентов ежемесячное.
- Три коммерческих банка предложили возможным клиентам следующие условия: первый банк предлагает на валютные вклады простые проценты из расчета 8 % годовых, второй — по номинальной ставке 7 % при ежемесячном начисление процентов, третий — по номинальной ставке 9 % и поквартальном начислении процентов. В какой банк клиенту выгоднее вкладывать деньги?
- Годовая процентная ставка коммерческого банка «до востребования» — 4 %. Начисление процентов ежемесячное, проценты сложные. На какой минимальный срок нужно поместить клиенту вклад 30 000 ден. ед., чтобы наращенная сумма была не менее 40 000 ден. ед.? Принять К = 365 дней в году.
- Для совершения сделки через три месяца клиенту необходимо иметь 500 000 ден. ед. В наличии у него 450 000 ден. ед. Какой должна быть минимальная номинальная ставка процентов коммерческого банка, чтобы наращенная сумма была не менее 500 000 ден. ед. при условии, что начисление процентов ежемесячное.
- Коммерческий банк принимает вклады населения сроком на 90 дней при условии 10 % годовых. Годовой ожидаемый уровень инфляции составляет 8 %. Определить простую процентную ставку с учетом инфляции и коэффициент наращения, приняв К = 365 дней.
- Фирма договорилась с банком о выделении кредита 6 млн ден. ед. на год без учета инфляции. Ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 10 %. Определить процентную ставку с учетом инфляции, коэффициент наращения.
- На сумму 20 000 ден. ед. начисляются сложные проценты в течении 3 лет по годовой процентной ставке 0,08 %. Темп прироста инфляции 0,03 % в год. Определить:
а) наращенную сумму без учета инфляции;
б) реально наращенную сумму с учетом инфляции;
в) брутто-ставку;
г) наращенную сумму по брутто-ставке.
- АО создает благотворительный фонд, для чего в конце каждого года в банк делается взнос в размере 40 000 ден. ед. На собранные деньги банк начисляет сложные проценты по годовой процентной ставке 15 %. Определить размер фонда через 10 лет.
- Господин Иванов желает за 8 лет накопить к юбилею 50 000 ден. ед., делая в конце каждого года равные вклады в банк, на которые банк начисляет проценты по годовой ставке 5 %. Какую сумму он должен вкладывать ежегодно?
- Господин Иванов желает положить в банк, который выплачивает 10 % сложных годовых, такую сумму, чтобы его сын, студент 1-го курса, мог снимать с этого счета ежегодно 10 000 ден. ед., исчерпав весь вклад к концу пятилетнего срока учебы. Какую сумму должен положить в банк господин Иванов?
- Каждый член ренты 500 ден. ед., выплачиваемый в конце года, дисконтируется сложными процентами по годовой ставке 0,06. Определить современную величину ренты при условии, что срок ренты равен 10 лет.
- Определить размер одинаковых взносов в конце года при начислении на них сложных процентов по годовой ставке 0,08 для создания к концу 5-го года фонда, равного 1 000 000 ден. ед.
- Кредитное соглашение промышленного предприятия с банком предусматривает, что за первый год предприятие уплачивает 20 % годовых. В каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 процентный пункт. Срок сделки 2,5 года. Сумма кредита 5 млн ден. ед. Проценты обыкновенные с приближенным сроком кредита. Определить сумму возврата кредита через 2,5 года, а также доход банка.
- Акционерное общество (АО) для погашения задолженностей по счетам поставщиков считает возможным взять краткосрочный кредит в банке под 15 % годовых. Год не високосный. Кредит на 100 млн ден. ед. планируется с 20 января по 5 марта включительно.
- Определить возможные варианты долга по точным процентам с точным числом дней кредита; по обыкновенным процентам с точным числом дней кредита; по обыкновенным процентам с приближенным числом дней кредита. Какой вариант сделки выгоднее АО, какой — банку.
31. На сумму 100 тыс. ден. ед. начисляется 10 % годовых. Проценты простые точные. Какова наращенная сумма, если операция реинвестирования проводится ежемесячно в течение 1 квартала? Принять К =365 дней.
32. Определить современную величину банковского депозита, если вкладчик через 10 лет должен получить 2 млн ден. ед. при условии, что банк производит начисление на внесенную сумму по сложной ставке 20 % годовых и в случае, если начисление процентов производится ежеквартально.
- Какую сумму необходимо проставить в договоре, если заемщику предоставлен кредит в 500 тыс. ден. ед. со сроком погашения 1,5 года, а наращение процентов производится по сложной годовой учетной ставке 20 % и в случае ежеквартального наращения?
- Предполагается, что темп инфляции составит 20 % в год. Какую ставку сложных процентов следует проставить в договоре, чтобы реальная доходность составляла 10 %? Чему равна инфляционная премия?
- Для создания страхового фонда фирма ежегодно выделяет в конце года по 100 тыс. ден. ед., которые вкладываются в банк. Определить сумму, накопленную в страховом фонде через 6 лет, если начисляются сложные проценты по годовой ставке 12 %.
- Имеется денежная сумма в рублях, которую предполагается положить на полгода в банк. Обменный курс в начале операции 20 руб. за усл. ед. валюты, ожидаемый курс обмена в конце операции — 26 руб. за усл. ед. Годовая ставка простых процентов по рублевым вкладам 15 %, по валютным вкладам — 5 %. Как выгоднее разместить вклад: рублевый или через конверсию в валюту?
- Ссуда в размере 500 тыс. ден. ед. выдана 5 января на год и 6 месяцев. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности предусматриваются платежи в банк: 5 апреля в размере 15 тыс. ден. ед.; 5 июля и 15 октября по 100 тыс. ден. ед.; 5 января в размере 50 тыс. ден. ед. Банком предусматривается начисление простых процентов по ставке 12 % годовых. Рассчитать контур финансовой операции для актуарного метода и метода торговца, определить размер последнего погасительного платежа для окончательного расчета в обоих методах. Результаты расчета сравнить.
- В 1995 г. в России состоялся аукцион по первичному размещению государственных краткосрочных облигаций со сроком обращения 36 дней. Минимальная цена продажи составляла 93,92 % от номинала. Определить доходность покупки облигаций по минимальной цене.
- Фирма приобрела 10 привилегированных акций номиналом по 100 тыс. ден. ед. с фиксированной процентной ставкой 40 % в год. Стоимость этих акций ежегодно возрастает на 8 % относительно номинальной. Полученные проценты вновь инвестируются под 30 % годовых. Определить ожидаемый доход и доходность продажи акций через три года.
- Предприниматель выделил некоторую сумму, на которую он предполагает приобрести акции четырех фирм. Эффективные процентные ставки доходности фирм составляют 16, 20, 24 и 12 %. Сравните выгодность покупки акций для трех вариантов:
Акций первой фирмы куплено на 50 %, второй — на 15 %, третьей — на 15 % и четвертой — на 20 % выделенной суммы.
Акций первой фирмы куплено на 30 %, второй — на 20 %, третьей — на 20 % и четвертой — на 20 % выделенной суммы.
Акций первой фирмы куплено на 20 %, второй — на 30 %, третьей—на 15 % и четвертой — на 35 % выделенной суммы.
Приложение 3. План изучения курса
№ раздела/темы
| Наименование разделов и тем
(I семестр)
| Задание по теме
| Срок сдачи работы
|
01.
| ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
|
|
|
1.
| РАЗДЕЛ I. Алгебра высказываний
|
|
|
1.1.
| Аксиоматический метод и его понятийный аппарат
|
|
|
1.2.
| Основные законы математической логики
| К.р. № 1
|
|
2.
| РАЗДЕЛ II. Алгебра матриц
|
|
|
2.1.
| Вычисление определителей
|
|
|
2.2.
| Вычисление обратной матрицы
|
|
|
3.
| РАЗДЕЛ III. Решение системы линейных уравнений
|
|
|
3.1.
| Решение системы уравнений методом подстановки
|
|
|
3.2.
| Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
|
|
|
3.3.
| Решение системы по правилу Крамера
|
|
|
3.4.
| Решение системы с помощью обратной матрицы
|
|
|
3.5.
| Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
| К.р. № 2
|
|
3.6.
| Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения
|
|
|
| РАЗДЕЛ IV. Алгебра комплексных чисел
|
|
|
4.1.
| Понятие комплексного числа
|
|
|
4.2.
| Алгебраическая форма комплексного числа
|
|
|
4.3.
| Тригонометрическая форма комплексного числа
|
|
|
4.4.
| Возведение комплексных чисел в степень
|
|
|
4.5.
| Извлечение корней из комплексных чисел
| К.р. № 3
|
|
5.
| РАЗДЕЛ V. Математические формулы и графики
|
|
|
5.1.
| Математические формулы
|
|
|
5.2.
| Графики и свойства элементарных функций
|
|
|
5.3.
| Построение графиков функций.
| К.р. № 4
|
|
№ раздела/темы
| Наименование разделов и тем
(II семестр)
| Задание по теме
| Срок сдачи работы
|
6.
| РАЗДЕЛ V. Пределы функций
|
|
|
6.1.
| Вычисление пределов
|
|
|
6.2.
| Первый замечательный предел
|
|
|
6.3.
| Второй замечательный предел
| К.р. № 5
|
|
7.
| РАЗДЕЛ VI. Производная и дифференциал
|
|
|
7.1.
| Вычисление производных
|
|
|
7.2.
| Производная сложной функции
|
|
|
7.3.
| Логарифмическая производная и производная степенно-показательной функции
|
|
|
7.4.
| Производная функции, заданной неявно
| К.р. № 6
|
|
7.5.
| Частные производные
|
|
|
7.6.
| Абсолютная и относительная погрешности вычислений
|
|
|
7.7.
| Приближённые вычисления с помощью дифференциалов функций одной и двух переменных
|
|
|
8.
| РАЗДЕЛ VII. Интегралы.
|
|
|
8.1.
| Неопределённый интеграл
|
|
|
8.2.
| Определённый интеграл
|
|
|
8.3.
| Несобственные интегралы
|
|
|
8.4.
| Эффективные методы вычисления определенных и несобственных интегралов
| К.р. № 7
|
|
ЛИТЕРАТУРА
Основной список
1. Красс М. С., Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов». – СПб., 2007.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. / Под ред акцией Ермакова В. И. – «Инфра - М», М., 2003.
3. http://mathprofi.ru/matematicheskie_formuly.html
Дополнительный список
4. Общий курс высшей математики под ред. Ермакова. - М., 2004.
5. Кремер Н.Ш. «Математика». - М., 2003.
6. Шипачев В.С. «Высшая математика». - М., 2003.
7. Шипачев В.С. «Высшая математика». Задачник. - М., 2003.