Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
К ним относятся дифференциальные уравнения вида y ″ + ay ′ + by = 0, (6.38) где a ∈ R, b ∈ R. Приведем без доказательства теоремы, помогающие на- ходить общее решение дифференциального уравнения вида (6.38). Теорема 6.3. Если функция y = y 1 — это решение диффе- ренциального уравнения (6.38), то и функция y = Сy 1 (С = const) также решение дифференциального уравнения (6.38). Теорема 6.4. Если функции y = y 1 и y = y 2 есть решения дифференциального уравнения (6.38), то и функция y = y 1 + у 2 также решение дифференциального уравнения (6.38). При этом у 1 и у 2 называются частными решениями (6.38). Два частных решения дифференциального уравнения (6.38) называют линейно независимыми, если одно из них не может быть представлено как другое, умноженное на некото- рый постоянный коэффициент С, т. е. y 2 ≠ Сy 1. Теорема 6.5. Если у 1 и у 2 — линейно независимые частные решения уравнения (6.38), то его общее решение имеет вид y = С 1 y 1 + С 2 у 2, (6.39) где С 1 и С 2 — постоянные. Для того чтобы найти общее решение уравнения (6.38), имеющее вид (6.39), надо найти два линейно независимых час- тных решения у 1 и у 2. Л. Эйлер предложил искать частное решение уравнения (6.38) вида y = ekx, где k = const и k необходимо подобрать [9, 44, 59]. Чтобы найти значение k, при котором y = ekx будет решени- ем дифференциального уравнения (6.38), подставим y = ekx и ее производные первого и второго порядка в это дифференциаль- ное уравнение. Получим y ′ = kekx; y ″ = k 2 ekx,
значит k 2 ekx + akekx + bekx = 0. ekx (k 2 + ak + b) = 0, ekx ≠ 0 для ∀ x,
k 2 + ak + b = 0. (6.40) Уравнение (6.40) называется характеристическим урав- нением для дифференциального уравнения (6.38). Решая его, можно найти неизвестные постоянные k 1 и k 2. При решении уравнения (6.40) возможны три случая: 1. D > 0, k 1 ≠ k 2, общее решение уравнения (6.38) имеет вид:
2. D = 0, k 1 = k 2 = k. В этом случае y 1 = e и можно доказать, kx что y 2 = xe, а общее решение уравнения (6.38) имеет вид: kx
(6.42) 3.
где . Частные решения дифференциального уравнения (6.38) в этом случае имеют вид:
Как правило, чтобы не иметь мнимых величин в показа- теле степени, эти решения преобразуют, используя формулы Л. Эйлера. eix = cos x + i sin x; e − ix = cos x − i sin x. Для рассматриваемого случая получаем:
Поэтому общее решение дифференциального уравнения (6.38) имеет вид: y = C ecx (cos px + i sin px) + C ecx (cos px − i sin px) = I II = C ecx cos px + iC ecx sin px + C ecx cos px − iC ecx sin px = I I II II
С 1 = С I + С II и C 2 = i (C I − C II) и окончательно получим:
Пример 6.20. Найдем частное решение дифференциального уравнения y ″ − 2 y ′ − 3 y = 0 при следующих начальных условиях Сначала будем искать общее решение исходного диффе- ренциального уравнения. k 2 ekx − 2 kekx − 3 ekx = 0, ekx (k 2 − 2 k − 3) = 0, ekx ≠ 0; k 2 − 2 k − 3 = 0, D = 4 − 4⋅(−3) = 16, Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
Теперь находим частное решение, соответствующее за- данным начальным условиям. Вначале находим y ′ = 3 C e 3 x − C e − x, 1 2 затем получаем систему уравнений для нахождения С 1 и С 2. Поэтому частное решение имеет вид: y = 2 e 3 x + 6 e − x. Пример 6.21. Найдем общее решение дифференциального уравнения. y ″ − 6 y ′ + 9 y = 0. Перепишем исходное дифференциальное уравнение в сле- дующем виде: k 2 ekx − 6 kekx + 9 ekx = 0, ekx (k 2 − 6 k + 9) = 0, ekx ≠ 0; (k 2 − 6 k + 9) = 0, D = 36 − 4⋅1⋅9 = 0, Частными решениями данного уравнения являются:
Общее решение имеет вид:
Пример 6.22. Найдем общее решение дифференциального уравнения y ″ − 4 y ′ + 13 y = 0.
k 2 ekx − 4 kekx + 13 ekx = 0, ekx (k 2 − 4 k + 13) = 0, ekx ≠ 0; (k 2 − 4 k + 13) = 0, D = 16 − 4⋅1⋅13 = −36, k 1 = 2 + 3 i; k 2 = 2 − 3 i. Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 101; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.37.129 (0.013 с.) |