Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат

Если задан тройной интеграл от функции f (x, y, z), т. е.

  и область G расположена в системе декартовых координат 0 XYZ, то, разбив область G плоскостями, парал- лельными координатным плоскостям, получим частичные об- ласти, которые будут параллелепипедами с гранями, парал- лельными плоскостям 0 XY, 0 YZ, 0 XZ. Элемент объема в этом случае будет равен   dV = dx · dy · dz и поэтому будем иметь

.

1. Простейший случай

Если пространственная область G задана неравенствами a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d; k ≤ z ≤ p; т. е. представляет собой параллеле- пипед, ребра которого параллельны осям координат, то трой- ной интеграл находится по формуле

                            (5.41)

или по одной из аналогичных, так как аргументы x,y,z могут меняться местами, так же как в двойном интеграле (см. под- разд. 5.6). Выражение, стоящее в правой части формулы (5.41) называется повторными интегралом. Заметим, что внешний интеграл соответствует внешнему дифференциалу, а внутрен- ний внутреннему.

В формуле (5.41) сначала находится внутренний интеграл по переменной х при постоянных z и у, затем вычисляется средний интеграл по переменной у при постоянной z и наконец определяется внешний интеграл по переменной z.

Приведем конкретный пример применения формулы (5.41).

Пример 5.58.

Найти интеграл

 

 

2. Общий случай

Предположим, что областью интегрирования G является тело, ограниченное снизу поверхностью ψ1(х, у), а сверху − по- верхностью ψ2(х, у), причем ψ1(х, у) ≤ ψ2(х, у) и данные функции являются непрерывными в замкнутой области Е, которая явля- ется проекцией тела на плоскость 0 ХУ (рис. 5.45).

Рис. 5.45

Пусть область G будет правильной в направлении оси 0 Z, т. е. любая прямая, параллельная оси 0 Z, пересекает область не более чем в двух точках. В этом случае для любой непрерывной в области G функции f (x, y, z) будет верна формула

                        (5.42)

Формула (5.42) сводит вычисление тройного интеграла к вы- числению двойного интеграла. Сначала находится внутренний интеграл по переменной z при постоянных х и у. Нижней гра- ницей интегрирования будет аппликата точки М — точки входа прямой, параллельной оси 0 Z, в область G, т. е. ψ1(х,   у), а верх-

ней − аппликата точки N — точки выхода прямой из области G,

т. е. ψ2(х, у). Результат нахождения этого интеграла — функция

Y                                                     двух аргументов х и у.

В том случае, если об- ласть Е ограничена линиями х = а, х = b (а < b), y = ϕ1(х),

y = ϕ (х) (ϕ (х) > ϕ (х)) и дан-

2             2                 1

 

 

0    a                        b

Рис. 5.46

ные функции непрерывны на отрезке [ a, b ] (рис. 5.46), то, переходя от двойного ин-

X теграла к повторному, полу- чим формулу

 

.                (5.43)

 

Если область Е ограниченна линиями у = с, у = d (c < d), x =

= α1(y), x = α2(y) (α2(y) > α1(y)) и данные функции непрерывны на отрезке [ c, d ] (рис. 5.47), то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу

 

.                (5.44)

 

Если область G является сложной, то ее надо разбить на конечное число правильных областей, к которым можно при- менить формулы (5.43) и (5.44).

Y

d

c

0           a       b

Рис. 5.47

Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда область G будет правиль- ной в направлении осей 0 Х и 0 У.

Пример 5.59.

Найти тройной интеграл

, если об- ласть G ограничена координат- ными плоскостями х = 0, у = 0,

X z = 0 и плоскостью х + у + z = 1

(рис. 5.48).

 

 

X

Рис. 5.48

В этом случае интегрирование по z совершается от z = 0 до z = 1 − x − y. Поэтому, обозначив проекцию области G на плос- кость 0 ХУ через Е, получим по формуле (5.43):

 

 

.

 

Аналогичный результат можно получить, используя фор- мулу (5.44), т. е.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Методом непосредственного интегрирования найти ин- тегралы:

1.1.  1.2.

1.3.                       1.4.

2. Найти интегралы, использовав метод замены переменной:

2.1.  2.2.

2.3.          2.4.

3. Найти интегралы, использовав метод интегрирования по частям:

3.1.  3.2.

3.3.  3.4.

4. Вычислить определенные интегралы:

 

 

4.1.	4.2.		4.3.
4.4.		4.5.
4.6.	4.7.		4.8.

 

5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы: 5.1.  5.2.

5.3.  5.4.

6. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной функцией ху =4 и прямыми х = 1, х = 4 и осью 0 х.

7. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0у

криволинейной трапеции,  ограниченной  функцией               и прямыми у = ±2 b.

8. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0 х криволинейной трапеции, ограниченной линиями 2 у ² = х ³, х = 4.

9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси 0 х криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х ³, х = 0, у = 8.

10. Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды у = sin x и осью 0 х, вращается вокруг оси 0 х. Найти объем тела вращения.

11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х ³, прямой у = 10 и осью 0 у.

12. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 12.1. у = х ², у ² = х; 12.2. у = ln x, x = e, y = 0;

12.3. y ³ = x ², y = 1; 12.4. y = x ², y = 2 x ² − 1

13. Вычислить длину дуги полукубической параболы

у ² = х ³, отсекаемой прямой х = 5.

14. Найти длину дуги кривой            от х = 0 до х = 1.

15. Найти длину дуги кривой            от у = 0 до у = 3.

16. Определите длину окружности х ² + у ² = 25.

17. Используя формулу прямоугольников, вычислить ин- теграл , приняв n = 10.

18. Используя формулу трапеции, вычислить интеграл , приняв n = 10.

19. Используя формулу Симпсона вычислить интеграл

, приняв n = 10.

20. Вычислить двойные интегралы:

20.1.

20.2.

 

21. Вычислить интеграл , если область интег- рирования В ограничена линиями:

21.1. х = 2, х = 3, у = -1, у = 5;

21.2. х = 0, х = 5, у = -2, у = 2.

22. Найти неопределенные интегралы: 22.1.;      22.2.

22.3.                           22.4.

 

22.5.                           22.6.

23. Исследовать на сходимость несобственные интегралы. 23.1. ; 23.2. ;

23.3. ;                  23.4.

24. Расставить пределы интегрирования в двойном интег- рале , если В — круговой сектор ОМС с центром в точке О(0; 0), у которого концы дуги М(1; 1), С(-1; 1).

25. Поменять порядок интегрирования в двойном интег- рале

 

26. Вычислить двойной интеграл , если область В

ограничена линиями: у ² = х, х = 0, у = 1.

27. Вычислить двойной интеграл , если об- ласть В ограничена линиями: х = 0; у = π; у = х.

28. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: Z =

= x ² + y ² + 1, Z = 5.

29. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: (х ² +

+ у ²)² = = 4(х ² − у ²).

30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: r = 4(1 +

+ cosϕ), r = 4cosϕ.

31. Вычислить тройные интегралы:

31.1.                                     ;

31.2. .

32. Найти тройной интеграл

, если область интегрирования ограничена координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1.

33. Найти неопределенные интегралы:

33.1. ;

33.2. ;

33.3. .

Вопросы для самопроверки

1. Интеграл какого вида называется интегралом от диффе- ренциального бинома?

2. В каких случаях интеграл от дифференциального бино- ма можно выразить в элементарных функциях?

3. Какая функция называется первообразной?

4. В чем состоит суть метода интегрирования по частям?

5. В чем состоит суть метода замены переменной?

6. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

7. В чем состоит суть метода замены переменной в опреде- ленном интеграле?

8. Вывести формулу для объема тела вращения.

9. В каких случаях применяют приближенные методы ин- тегрирования?

10. В чем заключается суть признаков сходимости несобс- твенных интегралов с бесконечными пределами?

11. В чем состоит теорема существования двойного интег- рала?

12. Как «берутся» интегралы от иррациональных функ- ций?

13. С помощью каких подстановок решаются интегралы вида ?

14. Дайте определение несобственного интеграла от раз- рывной функции на конечном участке интегрирования.

15. Как осуществляется замена переменной в двойном ин- теграле?

16. Как находится масса неоднородного тела по заданной плотности?

17. Сформулировать теорему существования тройного ин- теграла.

18. Как находятся тройные интегралы в декартовой систе- ме координат?

 

Глава 6. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ