Основные свойства степенных рядов

1. Если степенной ряд не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в каждой точке области сходимости.

2. Степенной ряд внутри его области сходимости можно интегрировать почленно, так что если

+ (x - x) + (x - x)² + … + (x - x) ⁿ + … = S (x), x E,

0       1            0          2            0                          n      0

то

 

3. Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно, так что если

0        1             0          2             0                           n       0

   + (x - x) + (x - x)² + … +  (x - x) ⁿ + … = S (x), x (x 0 - R, x 0 + R), R > 0,

то

1            2             0                              n       0

   + 2 (x - x) + … + n (x - x) ^{n -1} + … = S (x), x (x 0 - R, x 0 + R).

Это свойство сохраняет силу и для конца интервала сходи-

мости, если только последний ряд на этом конце сходится.

4. Если степенной ряд

 0 + 1(x - x 0) + 2(x - x 0)² + … + n (x - x 0) ⁿ + …

не является всюду расходящимся, то его сумма S (x) имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков. При этом

 

 0 = S (x 0); 1 = S (x 0),

 

Разложение функций в степенные ряды

 

Если функция f (x) имеет производные всех порядков при

x = x 0, то степенной ряд

(7.8)

 

называют рядом Тейлора для функции f (x). При x 0 = 0 получа- ют частный случай ряда Тейлора

                        (7.9)

который часто называют рядом Маклорена.

Для того чтобы ряд (7.8) сходился к функции f (x), необхо-

димо и достаточно, чтобы , где R n (x) — остаточный член ряда Тейлора.

Приведем теорему, которая позволяет устанавливать, стре- мится ли R n (x) к нулю при неограниченном возрастании n или нет, т. е., разлагается ли функция f (x) в ряд Тейлора или нет.

Теорема 7.3.

0

Если функция f (x) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x, имеет (n + 1)-ю производную f ^{( n +1)}(x), то остаточный член R n (x) для любой точки этого интервала имеет вид

где заключено между x 0 и x (см. гл. 4).

Приведем разложения в степенной ряд некоторых функций:

 

Некоторые приложения степенных рядов

Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть необходимо найти интеграл  и известно разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора или Мак- лорена, а верхний и нижний пределы данного интеграла лежат внутри интервала сходимости (- R; R). В этом случае можно интег- рировать ряд поэлементно. Получим ряд Тейлора или Маклорена для функции F (x), который имеет тот же радиус сходимости, что и ряд для подынтегральной функции f (x). Если интеграл  выражается  через элементарную функцию F (x), то находим  ее

разложение в ряд Тейлора или Маклорена. Если интеграл  является “неберущимся”, т. е. не выражается в элементарных

функциях, то полученный ряд может служить выражением для неэлементарной функции F (x) через элементарные степенные функции. Выражение это будет бесконечным.

 

 

0,1.

Пример 7.13.

Вычислить  определенный  интеграл         с точностью до

 

Данный интеграл является “неберущимся”, поэтому раз-

ложим функцию e^x в ряд Маклорена (это разложение было про- ведено в подразд. 7.3). Получим:

 

 

.

Пример 7.14.

В теории вероятностей большую роль играет специальная функция , которую называют нормирован- ной функцией Лапласа. Интеграл, которым выражается эта функция, является “неберущимся”. Поэтому разложим по- дынтегральную   функцию  в ряд, использовав разложение

в ряд Маклорена функции e ^x, подставив туда вместо x          . Тогда получим:

Полученный нами ряд сходится на всей числовой оси, схо- дится быстро, поэтому значения нормированной функции Лап- ласа удобно вычислять. Заметим, что для нахождения значе- ний функции Φ0(x) составлены таблицы.