Производная по направлению и градиент

Предположим, что в каждой точке А некоторой области D задано значение скалярной физической величины W (темпера- тура, давление, влажность и т. п.). Тогда W называется скаляр- ной функцией точки и записывается так W = W (A). Если в об-

ласти D задана скалярная функция точки W (A), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Если скалярное поле не зависит от времени, оно называ- ется стационарным. В противном случае поле будет нестацио- нарным, т. е. будет зависеть не только от точки А, но и от вре- мени t.

В гиперпространстве, в котором задано поле W = W (x 1, x 2, …, x n) возьмем точку А (x 1, x 2, …, x n) и найдем скорость изме- нения функции при движении точки А в направлении некото- рого вектора . Этот вектор начинается в точке А, а косинусы углов между ним и координатными осями Х 1, Х 2, …, Х n (направ- ляющие косинусы) равны: cos 1, cos 2, …, cos n.

Приращение W, получаемое при переходе от точки А в

точку А 1, по направлению  равно:

  W = W(x 1 + x 1, x 2 + x 2, …, x n + x n) - W(x 1, x 2, …, x n).

Тогда

Производной от функции W (x 1, x 2, …, x n) в точке А (x 1, x 2, …,

x n) по направлению  называется предел

То есть производная характеризует скорость изменения функции по данному направлению.

В курсах математического анализа доказывается (см., на- пример, [9, 42]), что

Пример 4.12. Найти производную функции

в точке A (0, 1, 2, 1) по направлению к точке A 1(2, 0, 1, 3) Находим направляющие косинусы вектора :

cos 1 = 0,632; cos 2 = -0,316; cos 3 = -0,316; cos 4 = 0,632.

Далее определяем частные производные исходной функ- ции W и их значения в точке А, т. е.

 

Затем вычисляем искомую производную по направлению

Знак минус говорит о том, что функция в заданном направ- лении убывает.

Вектор, координатами которого являются значения част- ных производных функции W (x 1, x 2, …, x n) в точке А (x 1, x 2, …, x n), называют градиентом функции и обозначают grad W, т. е.

 

или

 ,

где  = (1, 0, …, 0);  = (0, 1, …, 0) …  = (0, 0, …, 1).

Теперь формулу для производной по направлению можно переписать в виде скалярного произведения grad W на единич- ный вектор  = (cos 1, cos 2, …, cos n), т. е.

  или

где — угол между вектором grad W и направлением .

Из последней формулы видно, что dW / d  достигает своего максимального значения в том случае, когда = 0. Поэтому на- правление градиента совпадает с направлением , вдоль кото- рого функция меняется быстрее всего, т. е. grad W показывает

направление скорейшего возрастания функции. А наибольшая скорость изменения функции W в точке А равна:

Пример 4.13. Найти наибольшую скорость возрастания функции  в точке А (1, 2, -1, 3).

Вначале находим частные производные

Затем получаем

и  вычисляем      и, нако-

нец,  находим  наибольшую  скорость  возрастания  функции

|grad W (A)| = 109,2.

 

Некоторые приложения дифференциального исчисления

Формула Тейлора

Пусть некоторая функция y = f (x) имеет все производные до (n + 1)-го порядка включительно на некотором интервале, включающем точку x 0. Найдем многочлен y = P n (x) степени не выше n, значение которого в точке x = x 0 равно значению функ- ции y = f (x) в этой точке, а значение его производных до n -го порядка в точке x = x 0 равны значениям соответствующих про- изводных от функции y = f (x) в этой точке, т. е.

(4.1)

Искомый многочлен будет иметь вид [9, 44]:

 

(4.2)

 

Через R n (x) обозначим разность значений данной  функции

y = f (x)и многочлена, находимого по формуле (4.2), т. е. R n (x) =

= f (x) − P n (x).

Отсюда f (x) = P n (x) + R n (x), или

 

(4.3)

 

 

где R n (x) — остаточный член, который может быть записан в разных формах. Приведем так называемую форму Лагранжа, которая имеет вид:

                                                              (4.4)

Здесь  [ x, x 0] и ее можно представить в виде  = x 0 +

+ (x - x 0), где 0 < < 1. Тогда формула для остаточного члена примет вид:

А формула

 

 

(4.5)

называется формулой Тейлора для функции y = f (x).

Если в формуле (4.5) принять x 0 = 0, то она примет вид:

 

(4.6)

 

 

Здесь 0 < <1, а формулу (4.6) часто называют формулой Маклорена. Теперь найдем разложение функции y = e^x по фор- муле (4.6).

f (x) = e^x; f (0) = 1; f (x) = e^x; f (0) = 1; f (x) = e^x;

f (0) = 1, …, f ⁽ⁿ⁾(x) = e^x; f ⁽ⁿ⁾(0) = 1.

Эти данные подставляем в формулу (4.6) и получаем:

, где 0 < <1.

Если | x | 1, то взяв n = 8, найдем оценку остаточного члена

. А если х = 1, то получим формулу для приближенного вычисления числа е [44], т. е.

Здесь верны первые четыре знака после запятой, так как ошибка не превосходит числа  или 10^-5. Заметим, что какое бы ни было х, остаточный член            при n →, т. е.

. Поэтому при   x, взяв достаточное число членов раз-

ложения, по формуле (4.6) получим e^x с любой необходимой сте- пенью точности.

Правило Лопиталя

Данное правило помогает раскрывать неопределенности вида:  его суть выражается теоремой.

Теорема 4.5 Лопиталя. Пусть функции f (x) и (x) при x → x 0 или x → совместно стремятся к нулю или к бесконеч- ности. Если отношение производных этих функций имеет пре- дел, то отношение самих функций тоже имеет предел, который равен пределу отношения производных, т. е.

                                                   (4.7)

(4.8)

 

Теперь рассмотрим конкретные примеры применения это- го правила.

Пример 4.14.

Ранее мы сводили этот предел ко второму замечательно- му пределу и пользовались тем, что ln x является непрерывной функцией. Заметим, что простота взятия данного предела ка- жущаяся, так как дифференцирование функций само опира- ется на знание пределов.

Пример 4.15.

Пример 4.16.

Пример 4.17.

Заметим, что если производные числителя и знаменателя одновременно стремятся к нулю или к бесконечности можно применять правило Лопиталя еще раз, а в случае необходимос- ти и далее.

Пример 4.18.

Пример 4.19.

Формулы (4.7) и (4.8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), су- ществует. Приведем пример, когда отношение функций имеет предел, а отношение их производных не стремится ни к какому пределу.

Пример 4.20.

А предел производных равен:

При x → этот предел колеблется между 0 и 2 и поэтому не имеет предела. То есть к данному примеру правило Лопита- ля применить нельзя, оно не является универсальным.

При помощи правила Лопиталя можно раскрывать другие неопределенности, например:

Эти случаи сводятся к рассмотренным нами неопределен- ностям .

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4.21.

Это случай 0 ·.

Преобразуем данный предел к виду             , т. е. привели

исходный предел к случаю .

Теперь можно применить правило Лопиталя

Пример 4.22.

т. е., имеем случай −. Исходный предел преобразуем к виду

 

т. е. мы пришли к случаю, поэтому применяем правило Лопи- таля

Пример 4.23.

, т. е., имеем случай 1 . Рассмотрим предел

, а это случай, поэтому к пос-

леднему пределу применимо правило Лопиталя.

Поэтому исходный предел

Пример 4.24.

Найти , т. е. имеем случай 0⁰.

Рассмотрим предел                                                , т. е.

 

пришли к случаю . Теперь к последнему примеру применяем правило Лопиталя

Поэтому исходный предел равен

 

Асимптоты

Прямая L называется асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние от переменной точки А функции до этой пря- мой при удалении точки А в бесконечность стремится к нулю (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Различают вертикальные асимптоты (параллельные оси 0 у) и наклонные.

Сначала рассмотрим вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если

, или , или ,

то прямая x = x 0 является асимптотой функции y = f (x) и на- оборот, если прямая x = x 0 есть асимптота кривой y = f (x), то существуют указанные выше пределы.

То есть для нахождения вертикальных асимптот надо най- ти такие значения x = x 0, при приближении к которым фун- кция y = f (x) стремится к бесконечности. Например, функ- ция y = tg x имеет бесконечное число вертикальных асимптот (рис. 4.6):

Рис. 4.6

Теперь рассмотрим наклонные асимптоты. Предположим, что функция y = f (x) имеет наклонную асимптоту y = ax + b (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Нам нужно найти коэффициенты a и b. Точка А (х, у) при- надлежит функции y = f (x), а точка В (х, y 1) — асимптоте. Дли- на отрезка АС — это расстояние от точки А до асимптоты и по условию

                                                                (4.9)

Обозначим через угол наклона асимптоты к положитель- ному направлению оси 0 х и из АВС найдем

так как  и = const, то в силу (4.9) имеем

(4.10)

так как (AB) = | y - y 1| = | f (x) - ax - b |, то (4.10) принимает следу- ющий вид:

                                           (4.11)

Следовательно, если y = ax + b есть асимптота, то выпол- няется (4.11) и, наоборот, если при коэффициентах a и b выпол-

няется (4.11), то прямая y = ax + b является асимптотой. Теперь найдем коэффициенты a и b. Из (4.11) получаем

Так как x → +, то

а так как b есть число, то , поэтому получаем

или                                                                 (4.12)

Получив a, находим b по формуле

                                                 (4.13)

Следовательно, если y = ax + b является асимптотой, то a и b находятся по формулам (4.12) и (4.13). Если хотя бы один из пределов (4.12) или (4.13) не существует, то функция y = f (x) наклонной асимптоты не имеет.

Все приведенные рассуждения справедливы и при x → -. Так как асимптотическое изменение функции может быть раз- личным при стремлении х к положительной и отрицательной бесконечности, то надо раздельно рассматривать случаи x → - и x → +. Если существует асимптота в первом случае, то ее на- зывают левосторонней, а во втором случае — правосторонней.

Если при x → - и x → + пределы (4.12) и (4.13) совпадают,

то левосторонняя и правосторонняя асимптоты являются час- тями одной и той же прямой.

Заметим, что если функция дробно-рациональная, то при нахождении a и b сразу можно рассматривать произвольное стремление к бесконечности.

Рассмотрим примеры нахождения наклонных асимптот.

Пример 4.25.

Так как данная функция дробно-рациональная, то сразу рассматриваем произвольное стремление х к  

 

 

Пример 4.26.

y = 2x + ln x.

(по правилу Лопиталя)

Из последнего равенства следует, что исходная функция наклонной асимптоты не имеет.