Производные основных элементарных функций

(xⁿ) = nx^{n -1};

 

 

(a^x) = a^x ln a; (e^x) = e^x;

(sin x) = cos x; (cos x) = − sin x;

Дополним таблицу производных производными от гипер- болических и обратных гиперболических функций, которые не являются основными элементарными функциями, но часто ис- пользуются в различных приложениях.

К гиперболическим функциям относятся гиперболические синус (sh x), косинус (ch x) и тангенс (th x), которые находятся по формулам:

Все эти функции определены на множестве действитель- ных чисел (R) и связаны между собой следующими соотноше- ниями:

ch² x - sh² x = 1; ch2 x = ch² x + sh² x; sh2 x = 2sh x ch x;

Функции, обратные sh x, ch x, th x, являются обратными ги- перболическими функциями и обозначаются Arсh x (ареа-ко- синус гиперболический), Arsh x (ареа-синус гиперболический), Arth x (ареа-тангенс гиперболический):

 

Производные гиперболических и обратных гиперболичес- ких функций находятся по формулам:

Правила дифференцирования

1. Производная алгебраической суммы функций:

(f 1 (x) ± f 2 (x) ± … ± f n (x)) = f 1 (x) ± f 2 (x) ± … ± f n (x);

2. Производная произведения функций:

(f 1 (x) · f 2 (x)) = f 1 (x) · f 2 (x) + f 1 (x) · f 2 (x).

Исходя из этого правила для трех функций, получим,

(f 1 (x) · f 2 (x) · f 3 (x)) = (f 1 (x) · f 2 (x)) · f 3 (x) + f 1 (x) · f 2 (x) · f 3 (x) =

= f 1 (x) · f 2 (x) · f 3 (x) + f 2 (x) · f 1 (x) · f 3 (x) + f 3 (x) · f 1 (x) · f 2 (x);

3.
Производная частного двух функций:

4. Производная сложной функции. Сформулируем теорему.

Теорема 4.3. Производная сложной функции равна про- изводной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной, т. е. если y = f (u), a u = (x) и y = f ((x)), то согласно данной теореме

Аналогично выводится формула при любом числе проме- жуточных аргументов, т. е. производная сложной функции рав- на произведению производных от функций ее составляющих.

Например, найдем производную функции

y = cos² 4 x.

y = 2cos 4 x · (−sin 4 x) · 4 = −8cos 4 x · sin 4 x = −4sin 8 x;

5. Производная обратной функции находится по формуле

или

т. е. производные от взаимно обратных функций обратны по ве- личине. В качестве примера найдем производную функции

 

 

Примеры нахождения производных

 

Пример 4.1.

Прежде чем найти производную от заданной функции пе- рейдем к другому основанию и найдем производную исходной функции по правилу производной частного.

 

 

Пример 4.2.

y = x sin x.

Данная функция  называется сложной показательной функ- цией. Чтобы найти производную от такой функции прологариф- мируем ее левую и правую части, а затем продифференцируем полученные выражения, помня, что у есть функция от х

Дадим понятие о дифференциале функции.

Если задана непрерывная функция y = f (x), имеющая про- изводную , то:

где (x) — бесконечно малая величина при x → 0.

Далее получаем:

  y = f (x) · x + (x) · x.

Дифференциалом (от латинского слова differentia — раз- ность) функции называется главная часть приращения этой функции, линейная относительно приращения аргумента х, т. е.

dy = f (x) · x.

Геометрический смысл дифференциала виден из рис. 4.3.

Рис. 4.3

Дифференциал функции геометрически изображает- ся приращением ординаты касательной, проведенной в точке М (х,у) при данных значениях х, х.

Рассмотрим функцию у = х.

Для нее получим, что dy = x, а так как у можно заменить на х по условию, то имеем dx = x.

Следовательно, дифференциал функции равен dy = y dx.

Отсюда следует формула:

Дадим понятие о производной второго порядка. Предполо- жим, что нам задана функция y = f (x) имеющая производную y = f (x).

Эта производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее можно взять производную. Она будет называться производной второго порядка:

Например, найдем вторую производную функции.

Пример 4.3.

y = 3 x ² + sin³ x.

y = 6 x + 3sin² x · cos x.

y = 6 + 3(2sin x · cos² x − sin³ x).

С помощью первой и второй производных можно исследо- вать функцию на экстремум (max, min), находить точки пере- гиба и участки выпуклости и вогнутости функции.

Производная второго порядка   также является функцией, и производная от нее будет называться производ- ной третьего порядка от исходной функции и обозначаться сле- дующим образом:

Производная от производной третьего порядка называет- ся производной четвертого порядка от исходной функции и обо- значается так:

 и т. д.

Производной n -го порядка называется производная от производной (n − 1) порядка, т. е.

.

Производные четвертого, пятого и высших порядков обоз- начаются либо y ⁽⁴⁾, y ⁽⁵⁾, …, либо , , …, либо y ^IV, y ^V, ….

Например, найдем производную третьего порядка для функции y = x ² · sin x + ln² x.