Собственные числа, собственные векторы матриц и квадратичные формы

Проблема собственных чисел играет существенную роль не только в линейной алгебре, но и в других разделах матема-

тики, а также во многих прикладных областях (в менеджменте, психологии, юриспруденции).

Пусть задана квадратная матрица А размера (n n), эле- ментами которой являются действительные числа (R) и вектор неизвестных Х размера (n 1):

Предположим, что — это некоторое неизвестное дейс- твительное число.

Если и ненулевой вектор Х удовлетворяют уравнению

AX =  X,                                              (2.15)

то называется собственным числом или собственным значе- нием матрицы А, а Х — собственным вектором этой же матри- цы, соответствующим.

Преобразуем уравнение (2.15) к следующему виду:

     X − A X = 0, (E − A) X = 0,     (2.16)

где Е — единичная матрица.

Матрица

называется характеристической матрицей.

Так как по условию вектор неизвестных Х не равен нулю, то среди его координат x 1, x 2, …, x n должна быть хотя бы одна ненулевая. А для того, чтобы система линейных однородных уравнений (2.16) имела ненулевое решение, необходимо и до- статочно, чтобы определитель этой системы был равен нулю (это следует из теоремы Кронекера-Капелли).

Поэтому получаем

 

 

(2.17)

 

 

Число = k, где  будет собственным числом только в том случае, если матрица (k E − A) — вырожденная.

Уравнение (2.17) называется характеристическим уравне- нием матрицы А и представляет собой алгебраическое уравне- ние степени n относительно:

1           2                    n

det (E − A) = ⁿ + p ^{n − 1} + p ^{n − 2} +…+ p  = 0.       (2.18)

Уравнение (2.18) имеет n корней 1, 2, …, n. Множество всех корней уравнения (2.18) называется спектром матрицы А. Заметим, что уравнение det (A − E) = 0 имеет те же корни,

что и уравнение (2.17), т. е.

det (A − E) = ( − 1)ⁿ det (E − A).

Каждому собственному значению спектра матрицы А ста- вится в соответствие собственный вектор, определенный с точ- ностью до скалярного множителя. Если k есть кратный корень характеристического уравнения, то для произвольной квад- ратной матрицы число соответствующих собственных векто- ров может быть не равно кратности корня. С геометрической точки зрения собственный вектор определяет в пространстве некоторое направление (прямую, проходящую через начало координат), которое в результате преобразования не изменя- ется и вдоль которого пространство испытывает растяжение или сжатие в раз.

1

n

Полином   ⁿ + p   ^{n −1} + … + p   = 0 называют характеристи-

ческим полиномом. Коэффициенты p k          можно вычис- лить по следующим рекуррентным формулам [57]:

 

(2.19)

 

 

Здесь                — след матрицы (сумма элементов,  стоя-

щих на главной диагонали матрицы А). Заметим, что p n = (−1)  

n

  det A. При отыскании собственных чисел даже для матриц не- высокого порядка неизбежно большое количество вычислений. Для общего случая нельзя предложить оптимальный способ на- хождения собственных чисел и собственных векторов матрицы. Рассмотрим случай, когда собственные числа находятся сразу исходя из вида матрицы (исходная матрица либо диаго- нальная, либо верхняя или нижняя треугольная). В этом случае собственные числа 1, 2, …, n совпадают с элементами главной

диагонали исходной матрицы a 11, a 22, …, a nn.

Пусть задана верхняя треугольная матрица А размера (n n):

Тогда имеем

Отсюда видно, что собственные числа равны:

  1 = a 11, 2 = a 22, …, n = a nn.

С появлением ЭВМ получили распространение итераци- онные методы нахождения собственных чисел, которые не ис- пользуют вычисление характеристического полинома. К этим способам относятся: степенной метод, метод обратных итера- ций, QR -алгоритм, метод вращений Якоби, QL -алгоритм и др. Причем применение конкретного итерационного метода зави- сит от вида исходной матрицы А [4].

Теперь рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2.8. Дана матрица А размера (3 3)

Найти собственные числа и собственные векторы матри- цы А.

Из условия задачи видно, что матрица А является верхней треугольной матрицей. Поэтому собственными числами данной матрицы будут элементы ее главной диагонали

Теперь найдем соответствующие найденным собственным числам собственные векторы. Для этого мы используем урав- нение (2.16).

Для 1 = −4 получаем

( − 4E − A) X 1 = 0,                                 (2.20)

 

где

Далее раскроем матричное уравнение (2.20)

В результате получим

 

или

Так как матрица этой системы вырождена, то она имеет ненулевые решения, которые имеют вид:

т. е. получены искомые собственные вектора для 1

Для 2 = 3 = 1 получаем

 

где

или в подробной записи

 

В результате получаем

5х 1 − 4х 2 − х 3 = 0 или х 3 = 5х 1 − 4х 2,

т. е. это уравнение имеет ненулевые решения, которые и будут искомыми собственными векторами для 2.

Эти решения запишем в виде

Пример 2.9. Дана матрица А размера (2 2). Найти собст- венные числа и собственные матрицы А

Запишем характеристическое уравнение (2.17) для данно- го случая

 

 

Теперь найдем собственные векторы исходной матрицы А, соответствующие 1 = 1 и 2 = −4.

Для 1 = 1 имеем

где  .

В подробной записи получим

  или

Так как определитель полученной матрицы равен нулю, то она имеет ненулевые решения, которые и являются собствен- ными векторами Х 1, которые мы и находим

Из первого уравнения системы получаем х 2 = 2 х 1. Из вто- рого уравнения системы получаем х 2 = 2 х 1, т. е. она имеет бес- конечное множество решений. И искомый собственный вектор Х 1 будет иметь вид

Аналогично, для 2 = −4 находим

В заключение приведем два полезных правила [38]:

1)
сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы, т. е.

2) произведение собственных чисел матрицы А равно оп- ределителю этой матрицы

Кратко рассмотрим квадратичные формы.

Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких пременных. Обозначим их х 1, х 2,

… х n.

Квадратичную форму в общем виде можно записать так:

, где b ij ∈ R.

В качестве примера рассмотрим квадратичную форму трех переменных:

Введем обозначения:

Тогда квадратичная форма примет вид

Дополнительно вводим симметричную матрицу В, век- тор .

 

В этом случае квадратичная форма примет вид Последняя формула представляет собой матрично-век-

торный вид квадратичной формы.

А в общем случае получим:

где

 

 

где   b ii − коэффициенты  при  для всех i = 1, 2, …, n, а  равны полусуммам коэффициентов при элементах, содержа- щих произведения x i x j и x j x i при всех i, j = 1, 2, …, n, i ≠ j.

Матрица В является матрицей квадратичной формы.

В качестве примера запишем в матрично-векторном виде квадратичную форму

В данном случае получаем:

b11 = 2; b22 = 3; b33 = 1; b12 + b21 = -6; b13 + b31 = 8; b23 + b32 =

= 14, т. е. ; ;            .

Матрица данной квадратичной формы принимает вид

А ее матрично-векторная запись такова: