Некоторые сведения о векторах

Цифровые данные, используемые в экономике, можно представить в виде списков чисел, каждое из которых имеет определенный смысл.

Например, списки цен различных товаров в магазинах, объемы продукции разных видов, выпущенных каким-либо предприятием за год и т. д. В математике такие упорядоченные списки чисел называют векторами. Дадим определение n-мер- ного вектора (n = 1, 2, ….).

Упорядоченный набор n чисел x 1, х 2, х 3, …, х n называется n - мерным вектором. Мы будем обозначать векторы заглавными буквами со стрелками над ними, т. е.

, числа x 1, х 2, х 3, …, х n есть координаты вектора, а n — его размерность.

Два n -мерных вектора называются равными, если их соот- ветствующие координаты равны, например:

Вектор, все координаты которого нули, называется ноль- вектором и обозначается .

Алгебраической суммой двух n -мерных векторов

и

называется вектор , каждая координата которого равна алгебраической сумме соответствующих  координат  векторов   и , т. е.

            (2.21)

Произведением действительного числа k на n -мерный век- тор  называется n -мерный вектор , каждая координата которого равна произведению числа k на соответс- твующую координату вектора , т. е.

                                         (2.22)

Множество n -мерных векторов, для которых определе- ны действия алгебраического сложения (2.21) и умножения на число  (2.22), называют n -мерным векторным пространством и обозначают Rⁿ (в случае n = 1 оно совпадает с множеством действительных чисел R).

В случае n = 2 и n = 3 имеем соответственно двумерное (R ²) и трехмерное (R ³) векторные пространства, а двумерные и трехмерные вектора имеют геометрическую интерпретацию: они изображаются направленными отрезками на плоскости и в пространстве.

Пусть в Rⁿ заданы вектора

,

Приведем свойства линейных действий векторами: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Длина (норма) вектора  в пространстве Rⁿ

находится по формуле

 

(2.23)

 

Например, задан вектор  = (5, 3, −2). Используя (2.23) найдем, что его длина равна

Введем понятие скалярного произведения в действитель- ном пространстве Rⁿ.

Скалярным произведением двух векторов

= (x 1, х 2, …, х n) и    = (у 1, у 2, …, у n)

в R ⁿ (х   R, у   R, ) называется число, получаемое по фор-

i        i

мулам:

(2.24)

 

(2.25)

где  есть угол между n -мерными векторами  и  (в случае n = 2 и n = 3 будет углом между направленными отрезками на плоскости и в пространстве, а при n > 3 векторы  и  являются математическими абстракциями).

Из формулы (2.25) следует, что угол между n -мерными векторами  и  равен

 

(2.26)

 

Если угол между векторами  и  равен, то скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е.

(2.27)

Пример 2.10.

Например, заданы векторы

 = (2, 3, 7) и  = (1, 6, 5) в 3-мерном пространстве R ³. Найти угол между ними.

По формуле (2.26) получим

∧

 

Скалярное произведение в пространстве Rⁿ обладает сле- дующими свойствами:

1) (при этом равенство нулю будет только в том случае, если            );

2)

3)

Здесь  — векторы в Rⁿ, а k и t — действительные числа.

Пространство Rⁿ, в котором введено понятие скалярно- го произведения по формуле (2.24), называется евклидовым n -мерным пространством.

 

Векторное произведение

Введем новое действие над векторами — векторное про- изведение. При этом будем считать, что в трехмерном про- странстве задана декартова система координат. Напомним, что декартова прямоугольная система координат в пространс- тве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпенди-

кулярных осей, которые пронумерованы в некотором порядке. Точка пересечения осей — это начало координат, а оси — это координатные оси, причем первую называют осью абсцисс (x), вторую — осью ординат (y), а третью — осью аппликат (z).

Определение. Векторным произведением вектора на век- тор  называется вектор, который обозначается                                                                        или  и определяется следующими условиями:

а)                             , где α — угол между векторами  и б) вектор       перпендикулярен к каждому из векторов

и;

в) если  вектора , ,    приведены к общему началу,

то вектор      должен быть направлен так, чтобы из его кон- ца кратчайший поворот вектора  к вектору  был соверша- ем против часовой стрелки. Такая тройка векторов называется правой (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Приведем свойства векторного произведения:

1. Если  и  коллинеарные векторы, то их векторное про- изведение равно нулю, т. е.  = 0.

В данном случае α = 0° или α =180°, а синус α в обоих слу- чаях равен нулю.

2. Если векторное произведение  векторов  и  равно нулю, то они коллинеарны.

3. Если векторы  и  приведены к общему началу, то мо- дуль векторного произведения    равен площади парал- лелограмма, построенного на этих векторах. Из элементарной геометрии известно, что площадь параллелограмма (S) рав- на произведению длин смежных сторон на синус угла между ними, т. е.  = S, поэтому имеем  = S.

Из данного свойства следует, что векторное произведение можно записать в виде:

,

где — единичный вектор, т. е. , а его расположение видно из рис. 2.3.

Рис. 2.3

4. Векторное произведение на — это вектор, обратный векторному  произведению  на, т. е.       .

5. Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю k:

, или .

6. Распределительное свойство относительно сложения:

, или .

Приведем без доказательства теорему, позволяющую на- ходить векторное произведение двух векторов, если заданы их координаты.

Теорема 2.4. Если заданы координаты векторов  и :

= (x 1, y 1, z 1), = (x 2, y 2, z 2), то векторное произведение вектора  на вектор определяется формулой:

 .                        (2.28)

Формулу (2.28) можно переписать в виде

 

(2.29)

 

где , ,  — орты координатных осей, т. е. , а их расположение видно из рис. 2.4.

 

Х

Рис. 2.4

Рассмотрим некоторые задачи на применение векторного произведения.

Пример 2.11.

Дано:  = (2, 5, 7);  = (1, 2, 4). Надо найти площадь треуголь- ника, построенного на этих векторах. Обозначим искомую пло- щадь S тр.  и воспользуемся свойством 3. Получим  = S пар, где S пар — площадь параллелограмма, построенного на векто-

рах  и . Из элементарной геометрии известно, что            . Следовательно, получаем по формуле (2.28)

 

Пример 2.12.

Дано: координаты вершины треугольника АВС: А (4, -14, 8); В (2, -18, 12); С (12, -8, 12). Надо найти длину его высоты, опу- щенной из вершины С на сторону АВ.

Обозначим: площадь треугольника АВС через S тр, искомую высоту через h c.

Из элементарной геометрии известно, что

 

,

где  — длина стороны АВ.

С другой стороны из свойства 3 векторного произведения имеем

,

где  — модуль векторного произведения векторов  и

.

Сравнивая обе формулы, получаем

или

Находим = (-2, -4, 4);

 = (8, 6, 4);

И окончательно получаем

 

Смешанное произведение

Определение. Смешанным произведением трех векторов ,

, называется число, которое равно векторному произведению

, скалярно умноженному на вектор . Обозначим смешан- ное произведение векторов , ,  следующим образом.

Выполняются следующие равенства                                    .

Геометрический смысл смешанного произведения виден из теоремы 2.5.

Теорема 2.5. Смешанное произведение      равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,, , взятому со знаком плюс, если тройка , ,  — правая, и со знаком минус, если это тройка левая (в этом случае, если смотреть из конца вектора , кратчайший поворот вектора    к вектору    осу- ществляется по часовой стрелке).

Если же векторы , ,  компланарны, т. е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то .

Приведем свойства смешанного произведения.

1. , т. е. смешанное произведение не ме- няется при циклической перестановке его сомножителей.

2. ; ; , т. е. смешан- ное произведение меняет свой знак при перестановке местами любых двух векторов-сомножителей.

3.                                    ;                                    .

4. , где k ∈ R,

где R — множество действительных чисел.

В том случае, если векторы , ,  заданы своими коорди- натами, т. е. = (х 1, y 1, z 1); = (х 2, y 2, z 2); = (х 3, y 3, z 3), их сме- шанное произведение находится по формуле

 

(2.30)

 

Объем параллелепипеда, который построен на векторах , , , вычисляется по формуле

 

(2.31)

 

В формуле (2.31) знак берется одинаковым со знаком опре- делителя.

Теперь приведем конкретный пример применения сме- шанного произведения.

Пример 2.13. Дано:  = (1, 5, 4);  = (6, -4, 4);  = (10, -1, 10).

Надо доказать, что заданные векторы компланарны.

Из теоремы 2.5 следует, что если векторы , ,  компла- нарны, то их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Далее используем формулу (2.30) и получим

 

При решении определителя вынесли общие множители третьего столбца и второй строки, затем умножили первую строку на (-3) и сложили со второй. После этого умножили пер-

вую строку на (-10) и сложили с третьей, а затем разложили получившийся определитель по элементам первого столбца. После этого вынесли общий множитель второго столбца. Так как при решения определителя мы получили ноль, то доказано, что заданные векторы , ,  компланарны.

 

Базис пространства Rⁿ

Пусть в пространстве Rⁿ задано n векторов:

 

Базисом пространства Rⁿ называется любая система из n

линейно независимых векторов этого пространства.

Любой вектор из пространства Rⁿ единственным образом можно разложить по векторам базиса. Например, вектор мож- но разложить по линейно независимым векторам следующим образом:                 , где числа p 1, p 2, …, p n   —координаты вектора в данном базисе.

Заметим, что в пространстве R ² базис составляют два не- коллинеарных вектора, а в пространстве R ³ — три некомпла- нарных вектора.

Система векторов  называется линейно незави- симой, если выполняется равенство

 

где k 1 = k 2 = … = k n = 0.

,                           (2.32)

В том случае, если хотя бы одно значение k i,              в фор-

муле (2.32) не равно нулю, система векторов  будет линейно зависимой и базиса не составляет.

Заметим, что система векторов, которая содержит ноль- вектор, всегда линейно зависима.

Перепишем выражение (2.32), поставив вместо векторов   их координаты.

Получим:

 

 

.        (2.33)

 

Из формулы (2.33) следует:

 

 

.                   (2.34)

 

Полученная система однородных уравнений (2.34) всегда совместна.

Из теоремы Кронекера-Капелии (см. теорему 2.3) следует, что если определитель системы не равен нулю, т. е.

 

 

,                                      (2.35)

 

то система (2.34) имеет единственное решение k 1 = k 2 = … = k n = 0, а это значит, что векторы  линейно независимы и со- ставляют базис пространства Rⁿ.

Пример 2.14. Составлют ли векторы  = (1, 0, 0, …,  0);  =

= (0, 1, 0, …, 0); …;  = (0, 0, 0, …, 1) базис пространства Rⁿ?

Составляем из координат заданных векторов определи- тель (2.35):

 

Видно, что данный определитель не равен нулю, поэтому векторы  составляют базис пространства Rⁿ.

Данный базис называется ортонормированным, так  как

.

Пример 2.15. В пространстве R ³ заданы векторы: = (2, 1, 0); = (1, 0, 5);  = (0, 3, -1);   = (5, 16, 10). Показать, что векто-

ры   образуют базис и разложить вектор по векторам этого базиса.

Из координат векторов  составляем определитель (2.35):

Вторую строчку мы домножили на (-2) и сложили с первой, а затем полученный определитель разложили по элементам первого столбца. Определитель не равен нулю, поэтому векто- ры  составляют базис пространства R ³.

Теперь расклыдываем вектор  по векторам базиса , т. е.  или

Далее имеем:

 

.

 

Третье уравнение полученной системы умножаем на 3 и складываем со вторым. Тогда получаем:

.

Второе уравнение полученной системы умножаем на (-2) и складываем с первым. В результате получаем:

, т. е.     .

Далее определяем

И наконец вычислим

Таким образом, окончательно получим:

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти произведения матриц

 

1.1.

1.2.

1.3.

2. Вычислить определители:

 

 

2.1.                               2.2.

2.3.

3. Найти матрицы, обратные данным:

 

3.1.                     3.2.                  3.3.

4. Найти ранги матриц:

 

 

4.1.                                   4.2.

4.3.

5. Решить СЛАУ методами Гаусса и Крамера:

 

5.1.                            5.2.

5.3.

6. Найти собственные числа и собственные векторы матриц:

 

6.1.                  6.2.                     6.3.

6.4.

7. Дано:  = (1, −5, 6, 7, 10);  = (−2, 7, 8, 11, −6).

Найти угол между векторами  и .

8. Даны два ортогональных вектора

= (3, х 2, 7) и = (1, 6, 8).

Найти координату х 2.

9. В трехмерном пространстве заданы три точки М (1; 1; 1);

N (2; 2; 2); P (4; 3; 5). Найти площадь треугольника MNP.

10. В трехмерном пространстве заданы четыре точки М (1; 1; 1); N (4; 4; 4); P (3; 5; 5); Q (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра MNPQ.

11. Даны векторы  = (-4; -8; 8),  = (4; 3; 2). Найти их век- торное произведение, синус угла между ними, площадь треу- гольника, построенного на этих векторах.

12. Проверить, что точки М (5; -1; -1); N (4; 2; 2); P (5; 3; 1);

Q (8; 0; -5) лежат в одной плоскости.

13. Записать в матрично-векторном виде квадратичные формы:

13.1 f (х, х, х) = 7 x ² − 3 x ² − 0,5 x ² − 5 х

х + 17 х

х + 22 х х.

1   2  3               1              2

3              1 2

1  3               2 3

13.2 f (х, х, х) = -32 x ² − 0,5 x ² + 11 x ² + 92 х

х − 66 х х

− х х

1   2  3

1                   2                   3

1  2              1  3     2 3

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей? Типы матриц.

2. Правило и свойства сложения матриц.

3. Правило и основные свойства перемножения двух матриц.

4. Как найти матрицу, обратную заданной? Любая ли мат- рица имеет обратную?

5. Что называется определителем?

6. Что такое ранг матрицы?

7. Как определить, совместна ли заданная СЛАУ?

8. В каких случаях однородные СЛАУ имеют ненулевые решения?

9. В чем суть итерационных методов решения СЛАУ?

10. В чем состоит метод Гаусса решения СЛАУ?

11. В чем состоит метод Крамера решения СЛАУ?

12. Какие числа называются собственными значениями матрицы?

13. Что такое след матрицы?

14. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы?

15. Дать определение n-мерного векторного пространства.

16. Что называется нормой вектора?

17. Как найти угол между двумя векторами в n-мерном векторном пространстве?

18. Какое n -мерное пространство называется евклидовым?

19. Что называется квадратичной формой?

20. Приведите матрично-векторную запись квадратичной формы.

21. Дать определение векторного произведения.

22. Как находится веторное произведение, если заданы ко- ординаты составляющих его векторов?

23. Дать определение смешанного произведения векторов. Каков его геометрический смысл?

24. Как определить смешанное произведение, если заданы координаты составляющих его векторов?

 

Глава 3. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ