Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Общие понятия

Дифференциальные уравнения второго порядка имеют следующий вид

F (x, y, y ′, y ″) = 0,                                     (6.33)

или

 

 

Если уравнение (6.33) можно разрешить относительно вто- рой производной, то получим одно или несколько уравнений вида

y ″ = f (x, y, y ′).                               (6.34)

Простейшим случаем дифференциального уравнения вто- рого порядка является дифференциальное уравнение вида

y ″ = f (x),                                        (6.35)

которое решают двукратным интегрированием, т. е.

 

 

В качестве примера найдем общее решение дифференци- ального уравнения

Заметим, что дифференциальное уравнение вида (6.34) имеет бесконечное множество решений, которые задаются формулой

y = ϕ(x, c 1, c 2),                                (6.36)

содержащей две произвольные постоянные. Выражение вида (6.36) называется общим решением дифференциального урав- нения (6.34).

Частное решение дифференциального уравнения (6.34) на- ходится при помощи задания начальных условий:

и

Найдем частные решения рассмотренного дифференци- ального уравнения y ″= x ² при следующих начальных условиях

 и

Тогда получаем следующую систему уравнений для на- хождения постоянных С 1 и С 2.

Поэтому частное решение исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Геометрический смысл начальных условий заключается в том, что помимо точки с координатами (х 0, у 0), через которую должна проходить интегральная кривая, задают еще угловой коэффициент касательной (y ′0) к этой кривой. Так как общее решение дифференциального уравнения второго порядка за- висит от двух произвольных постоянных, то через данную точ- ку проходит бесконечное множество интегральных кривых, но одна из них имеет заданный угловой коэффициент (y ′0).

Будем считать, что правая часть дифференциального

уравнения (6.34) f (x, y, y ′) является функцией трех независи- мых аргументов, так как при задании начальных условий ко- ординаты х 0, у 0 и угловой коэффициент касательной y ′0 ничем между собой не связаны.

Тогда сформулируем теорему существования и единствен- ности решения дифференциального уравнения вида (6.34).

Теорема 6.2. Если функция f (x, y, y ′) непрерывна в окрес- тности значений х 0, у 0, y ′0, то дифференциальное уравнение вида (6.34) имеет решение y = y (x) такое, что y (x 0) = y 0 и y ′(x 0) = y ′0. Если кроме этого непрерывны и частные производные

 и  то это решение единственное [9, 44, 59].

Как и для дифференциального уравнения первого поряд-

ка, задача отыскания частного решения по начальным услови- ям называется задачей Коши.

Для дифференциальных уравнений второго порядка вы- деление частного решения можно проводить путем задания так называемых краевых условий. В этом случае задаются значе- ния функции у в двух различных точках

 и

В качестве примера найдем частное решение дифферен- циального уравнения y ″= x ² при следующих краевых условиях:   и .

Подставляя эти значения в общее решение исходного урав-

нения, получим систему уравнений для нахождения неизвест- ных постоянных С 1 и С 2.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

В рассмотренном случае получилось одно частное реше- ние, удовлетворяющее заданным краевым условиям, но так бывает не всегда. Дифференциальное уравнение вида (6.34) мо- жет не иметь решения, удовлетворяющего заданным краевым условиям или иметь бесконечное множество таких решений.

В этом состоит коренное отличие задания краевых условий от задания начальных условий.