Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие о системах обыкновенных дифференциальных уравнений
(6.52)
Система вида (6.52), правые части которой не содержат производных искомых функций, называется нормальной. Про- интегрировать систему дифференциальных уравнений — зна- чит найти функции y 1, y 2, …, y n,, удовлетворяющие (6.52) и на- чальным условиям (6.53) если они заданы. Интегрирование системы (6.52) проводят следующим об- разом. Дифференцируем по х первое уравнение системы (6.52) и получаем: Заменяя в этом уравнении производные их вы- ражениями из (6.52) получим дифференциальное уравнение
(6.54) Из первых (n − 1) уравнений системы (6.54) получаем y 2, y 3, …, y n, выразив их через , т. е.
(6.55)
Подставляем выражения для y 2, y 3, …, y n из (6.55) в послед- нее уравнение системы (6.54) и получаем дифференциальное уравнение n -го порядка для определения y 1, т. е. Решаем уравнение (6.56) и находим у 1 (6.56) y 1 = ψ1(x, C 1, C 2, …, C n). (6.57)
(6.58)
Для того чтобы полученное решение удовлетворяло задан- ным начальным условиям (6.53) надо найти из (6.57) и (6.58) со- ответствующие постоянные C 1, C 2, …, C n. Теперь приведем конкретный пример решения системы дифференциальных уравнений.
(6.59) Из второго уравнения системы находим и, подставив в первое уравнение этой системы, получим
или (6.60) Продифференцируем по t уравнение (6.60):
После преобразований получим:
(6.61)
(6.62) Уравнение (6.62) — это линейное неоднородное дифферен- циальное уравнение второго порядка с постоянными коэффи- циентами, которые рассматривались в п. 6.3.4. Решив уравне- ние (6.62), найдем неизвестную функцию у. Вначале найдем общее решение дифференциального урав- нения без правой части, т. е. y ″ + 4 y ′ + 3 y = 0. Его характеристическое уравнение имеет вид: k 2 + 4 k + 3 = 0; k 1 = −1; k 2 = −3. А общее решение следующее:
где С 1 и С 2 — постоянные. Теперь найдем любое частное решение дифференциаль- ного уравнения (6.62): f (x) = 3cos t − 4sin t. Так как числа ± i не являются корнями характеристическо- го уравнения, то частное решение (6.62) ищем в виде y 2 = A cos t + B sin t, где А и В неизвестные постоянные, которые необходимо опре- делить. Находим y 2′ и y 2″:
или или y 2′ = − A sin t + B cos t y 2″ = − A cos t − B sin t. Поставляем y 2; y 2′; y 2″ в (6.62) и получаем: − A cos t − B sin t − 4 A sin t + 4 B cos t + 3 A cos t + 3 B sin t = = 2cos t − 4sin t 2 A cos t + 4 B cos t + 2 B sin t − 4 A sin t = 2cos t − 4sin t, cos t (2 A + 4 B) + sin t (2 B − 4 A) = 2cos t − 4sin t, 2 A + 4 B = 2 → A = 1, 2 B − 4 A = −4 → B = 0. Следовательно, y 2 = cos t. А общее решение дифференциального уравнения (6.62) имеет вид: y = y 1 + y 2 = C 1 e − t + C 2−3 t + cos t. (6.63)
(6.64) Дифференцируя по t уравнение (6.63) находим Подставляя в (6.64) найденные значения dy/dt и значение у из формулы (6.63), получаем искомую функцию х, т. е.
Задачи для самостоятельного решения 1. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) (x + 5) dy − (y + 10) dx = 0; б) (3 xy 2 + 2 x) dx + (2 y + x 2 y) dy = 0; в) г) д) 2 y cos y − sin5 xdy = 0. 2. Предположим, что темп изменения производительности труда характеризуется функцией f (t). Найти функцию произ- водительности труда y = y (t), если:
а) б) 3. Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений: а) (y − x) dx + (y + x) dy; б) в) (6 y + 4 x) dx + (3 y + 8 x) dy = 0; г) 4.
а) б) в)
г) 5. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ′ − 2 y + 7 = 0; б) 3 y ′ − 6 y + 9 = 0. 6. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ″ = 5 x; б) y ″ = cos x; в) y ″ = 18 x 2 + 2; г) y ″ = 10 x 2 + 2 x. 7.
б) y ″ = sin x при 8. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ″ − 5 y ′ + 6 = 0; б) y ″ − 3 y ′ + 16 = 0; в) y ″ − 22 y ′ + 12 = 0; г) 6 y ″ − 10 y ′ − 7 = 0; 9. Найти частные решения дифференциальных уравне- ний, удовлетворяющие заданным начальным условиям: а) y ″ + 4 y ′ + 3 = 0, если
10. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ″ − 2 y ′ + 2 y = 3 e 4 x; б) y ″ − y ′ − 2 y = e 7 x; в) y ″ + 3 y ′ + 2 y = 4 x 2 − 3 x − 16; г) y ″ + 4 y ′ + 4 y = 3sin 3 x + 2cos 3 x; д) y ″ − 12 y ′ + 36 y = 3sin x; е) y ″ − 4 y ′ − 5 y = cos 3 x. 11.
б)
лах: 12. Найти общее решение уравнений Бернулли: а) ; б) . 13. Проинтегрировать уравнение в полных дифференциа-
а) ; б) . 14. Решить уравнения, допускающие интегрирующий мно- житель вида λ = λ(х) или λ = λ(у): а) ; б) . 15. Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений: а) (x − 2 y + 5) dy + (2 x + y − 3) dx = 0; б) (x − y + 7) dy + (x + y − 9) dx = 0. 16. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения , используя метод Лагранжа. Затем оп- ределить его частное решение, используя следующее началь- ное решение: y = 0; x = 1. 17. Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений: а)
б) ; в) y · y ″ − (y ′)2 = 0 г) 2(y ′)2 + y · y ″ = yy ′. 18. Найти общее решение дифференциального уравнения y ″ − 4 y ′ + 8 y = e 3x · (x sin x + x 2 · cos x). 19. Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений а) y = 5 xy ′ − (ey)′; б) y = x (y ′)2 + 2(y ′)2.
Вопросы для самопроверки 1. Какое дифференциальное уравнение называется диф- ференциальным уравнением первого порядка? 2. Что такое общее решение дифференциального уравне- ния первого порядка? 3. Что такое частное решение и в чем суть начальных усло- вий для дифференциального уравнения первого порядка? 4. Дать формулировку теоремы существования и единс- твенности решения дифференциального уравнения первого порядка. 5. Что является геометрической иллюстрацией общего и час- тного решений дифференциального уравнения первого порядка? 6. Что такое дифференциальное уравнения первого поряд- ка с разделяющимися переменными и каким методом его мож- но решить? 7. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными, каков их метод решения? 8. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков их метод решения? 9. В чем состоит метод Лагранжа решения линейных диф- ференциальных уравнений первого порядка? 10. Какие функции называются однородными функциями
n- го измерения? 11. Как найти общее решение линейного дифференциаль- ного уравнения первого порядка с постоянными коэффициен- тами? 12. Чем отличается задание краевых условий от задания начальных условий в дифференциальных уравнениях второго порядка? 13. Какие дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами называются однородными? 14. Как найти общее решение однородного дифференци- ального уравнения второго порядка с постоянными коэффици- ентами? 15. Как найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянны- ми коэффициентами? 16. Что называется системой дифференциальных уравне- ний и ее решением? 17. Как система дифференциальных уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению высшего порядка? 18. Какое уравнение называется уравнением Бернулли и каков метод его решения? 19. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах? 20. Каковы методы решения уравнений в полных диффе- ренциалах? 21. Что такое интегрирующий множитель и каков метод его нахождения?
Глава 7. РЯДЫ Числовые ряды Выражение , где w 1, w 2, …, w n, … — некоторые числа, называют числовым ря- дом; w 1, w 2, …, w n, … — это члены ряда. Для любого числового ряда можно построить после- довательность его частичных сумм S n: S 1 = w 1; S 2 = w 1 + w 2; S 3 = w 1 + w 2 + w 3; ……………………... S n = w 1 + w 2 + w 3 + … + w n, n = 1, 2, 3, … (7.1)
Приведем конкретные примеры. Пример 7.1. Гармонический ряд расходится. Пример 7.2. Геометрическая прогрессия w + wq + wq 2 + … + wqn -1 + … (w 0) сходится при | q | < 1 и расходится при | q | 1. Если | q | < 1, то . Пример 7.3. Обобщенно гармонический ряд схо- дится при a > 1 и расходится при a 1. Пример 7.4.
т. е. данный ряд сходится и его сумма равна (е – 1). При исследовании рядов одним из важнейших вопросов является вопрос о том, сходится изучаемый ряд или расхо- дится. Далее рассмотрим достаточные признаки, на основании которых можно решить этот вопрос. Сейчас же приведем не- обходимый признак сходимости рядов, т. е. условие, при невы- полнении которого ряды расходятся.
Теорема 7.1. Если ряд сходится, то его n- й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Следствие. Если n- й член ряда не стремится к нулю при n →, то ряд расходится. Данный признак не является доста- точным, т. е. он может выполняться, а ряд будет расходиться. Например, гармонический ряд из примера 7.1 расходится, не- смотря на то, что .
Основные свойства сходящихся числовых рядов 1. Сходимость числового ряда не нарушится, если припи- сать или отбросить конечное число его членов. 2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число k, то его сходимость не нарушится. 3. Два сходящихся ряда u 1 + u 2 + … + u n + … = S 1; v 1 + v 2 + … + + v n + … = S 2 можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд (u 1 ± v 1) + (u 2 ± v 2) + … + (u n ± v n) + … будет сходится, а его сумма будет равна S 1 ± S 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 94; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.37.129 (0.083 с.) |