Понятие о системах обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении некоторых задач физики, механики, экономи- ки часто надо находить функции y 1 = y 1(x), y 2 = y 2(x), …, y n   = y n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих искомые функции y 1, y 2, …, y n, независимую пере- менную x и производные и (или) дифференциалы искомых функ- ций. В настоящем учебнике кратко рассмотрим системы диффе- ренциальных уравнений первого порядка. Они имеют вид:

 

 

(6.52)

 

Система вида (6.52), правые части которой не содержат производных искомых функций, называется нормальной.  Про-

интегрировать систему дифференциальных уравнений — зна- чит найти функции y 1, y 2, …, y n,, удовлетворяющие (6.52) и на- чальным условиям

                              (6.53)

если они заданы.

Интегрирование системы (6.52) проводят следующим об- разом.

Дифференцируем по х первое уравнение системы (6.52) и получаем:

Заменяя в этом уравнении производные  их вы- ражениями из (6.52) получим дифференциальное уравнение

Дифференцируем его по х и, поступая аналогично преды- дущему, найдем:

 

 

Продолжая далее также, придем к дифференциальному уравнению:

 

 

Поэтому исходная система дифференциальных уравнений (6.52) примет вид:

 

 

(6.54)

Из первых (n − 1) уравнений системы (6.54) получаем y 2, y 3, …, y n, выразив их через    , т. е.

 

(6.55)

 

 

Подставляем выражения для y 2, y 3, …, y n из (6.55) в послед- нее уравнение системы (6.54) и получаем дифференциальное уравнение n -го порядка для определения y 1, т. е.

Решаем уравнение (6.56) и находим у 1

(6.56)

y 1 = ψ1(x, C 1, C 2, …, C n).                          (6.57)

Далее дифференцируем уравнение (6.57) (n − 1) раз и нахо- дим  как функции от x, C 1, C 2, …, C n. Затем под- ставляем их в (6.55) и находим искомые функции y 2, y 3, …, y n, т. е.

 

(6.58)

 

 

Для того чтобы полученное решение удовлетворяло задан- ным начальным условиям (6.53) надо найти из (6.57) и (6.58) со- ответствующие постоянные C 1, C 2, …, C n.

Теперь приведем конкретный пример решения системы

дифференциальных уравнений.

Пример 6.27. Проинтегрируем систему дифференциаль- ных уравнений

 

(6.59)

Из второго уравнения системы находим

и, подставив в первое уравнение этой системы, получим

или                                             (6.60)

Продифференцируем по t уравнение (6.60):

 

 

Подставим в это уравнение вместо его значение из (6.60), а вместо   его значение из (6.59):

 

После преобразований получим:

Найдем х из дифференциального уравнения (6.60): и подставим его значение в (6.61). Тогда получим:

 

(6.61)

 

(6.62)

Уравнение (6.62) — это линейное неоднородное дифферен- циальное уравнение второго порядка с постоянными коэффи- циентами, которые рассматривались в п. 6.3.4. Решив уравне- ние (6.62), найдем неизвестную функцию у.

Вначале найдем общее решение дифференциального урав- нения без правой части, т. е. y ″ + 4 y ′ + 3 y = 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

k ² + 4 k + 3 = 0; k 1 = −1; k 2 = −3.

А общее решение следующее:

1       1               2

y   = C e ^{− t} + C e ^{−3 t},

где С 1 и С 2 — постоянные.

Теперь найдем любое частное решение дифференциаль- ного уравнения (6.62):

f (x) = 3cos t − 4sin t.

Так как числа ± i не являются корнями характеристическо- го уравнения, то частное решение (6.62) ищем в виде

y 2 = A cos t + B sin t,

где А и В неизвестные постоянные, которые необходимо опре- делить.

Находим y 2′ и y 2″:

 

или или

y 2′ = − A sin t + B cos t y 2″ = − A cos t − B sin t.

Поставляем y 2; y 2′; y 2″ в (6.62) и получаем:

− A cos t − B sin t − 4 A sin t + 4 B cos t + 3 A cos t + 3 B sin t =

= 2cos t − 4sin t

2 A cos t + 4 B cos t + 2 B sin t − 4 A sin t = 2cos t − 4sin t, cos t (2 A + 4 B) + sin t (2 B − 4 A) = 2cos t − 4sin t,

2 A + 4 B = 2 → A = 1,

2 B − 4 A = −4 → B = 0.

Следовательно,

y 2 = cos t.

А общее решение дифференциального уравнения (6.62) имеет вид:

y = y 1 + y 2 = C 1 e ^{− t} + C 2−3 t + cos t.               (6.63)

Теперь определим неизвестную функцию х по формуле

(6.64)

Дифференцируя по t уравнение (6.63) находим

Подставляя в (6.64) найденные значения dy/dt и значение

у из формулы (6.63), получаем искомую функцию х, т. е.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) (x + 5) dy − (y + 10) dx = 0;

б) (3 xy ² + 2 x) dx + (2 y + x ² y) dy = 0;

в)

г)

д) 2 y cos y − sin⁵ xdy = 0.

2. Предположим, что темп изменения производительности труда характеризуется функцией f (t). Найти функцию произ- водительности труда y = y (t), если:

а)

б)

3. Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений:

а) (y − x) dx + (y + x) dy;

б)

в) (6 y + 4 x) dx + (3 y + 8 x) dy = 0;

г)

4. Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений и частные решения там, где заданы начальные ус- ловия:

а)

б)

в)

 

 

г)

5. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ′ − 2 y + 7 = 0;

б) 3 y ′ − 6 y + 9 = 0.

6. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ″ = 5 x;

б) y ″ = cos x;

в) y ″ = 18 x ² + 2; г) y ″ = 10 x ² + 2 x.

7. Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений: а)  при

б) y ″ = sin x при

8. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ″ − 5 y ′ + 6 = 0;

б) y ″ − 3 y ′ + 16 = 0; в) y ″ − 22 y ′ + 12 = 0; г) 6 y ″ − 10 y ′ − 7 = 0;

9. Найти частные решения дифференциальных уравне- ний, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

а) y ″ + 4 y ′ + 3 = 0, если

б) y ″ − 10 y ′ + 25 = 0, если

10. Найти общие решения дифференциальных уравнений: а) y ″ − 2 y ′ + 2 y = 3 e ^{4 x};

б) y ″ − y ′ − 2 y = e ^{7 x};

в) y ″ + 3 y ′ + 2 y = 4 x ² − 3 x − 16;

г) y ″ + 4 y ′ + 4 y = 3sin 3 x + 2cos 3 x; д) y ″ − 12 y ′ + 36 y = 3sin x;

е) y ″ − 4 y ′ − 5 y = cos 3 x.

11. Решить системы дифференциальных уравнений

 

а)

 

б)

 

 

 

 

лах:

12. Найти общее решение уравнений Бернулли: а) ;

б) .

13. Проинтегрировать уравнение в полных  дифференциа-

 

а) ;

б) .

14. Решить уравнения, допускающие интегрирующий мно-

житель вида λ = λ(х) или λ = λ(у):

а) ;

б) .

15. Найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:

а) (x − 2 y + 5) dy + (2 x + y − 3) dx = 0; б) (x − y + 7) dy + (x + y − 9) dx = 0.

16. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения , используя метод Лагранжа. Затем оп- ределить его частное решение, используя следующее началь- ное решение: y = 0; x = 1.

17. Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений:

а)

 

б)                             ;

в) y · y ″ − (y ′)² = 0

г) 2(y ′)² + y · y ″ = yy ′.

18. Найти общее решение дифференциального уравнения

y ″ − 4 y ′ + 8 y = e ^3x · (x sin x + x ² · cos x).

19. Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений

а) y = 5 xy ′ − (e^y)′;

б) y = x (y ′)² + 2(y ′)².

 

Вопросы для самопроверки

1. Какое дифференциальное уравнение называется диф- ференциальным уравнением первого порядка?

2. Что такое общее решение дифференциального уравне- ния первого порядка?

3. Что такое частное решение и в чем суть начальных усло- вий для дифференциального уравнения первого порядка?

4. Дать формулировку теоремы существования и единс- твенности решения дифференциального уравнения первого порядка.

5. Что является геометрической иллюстрацией общего и час- тного решений дифференциального уравнения первого порядка?

6. Что такое дифференциальное уравнения первого поряд- ка с разделяющимися переменными и каким методом его мож- но решить?

7. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными, каков их метод решения?

8. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков их метод решения?

9. В чем состоит метод Лагранжа решения линейных диф- ференциальных уравнений первого порядка?

10. Какие функции называются однородными функциями

n- го измерения?

11. Как найти общее решение линейного дифференциаль- ного уравнения первого порядка с постоянными коэффициен- тами?

12. Чем отличается задание краевых условий от задания начальных условий в дифференциальных уравнениях второго порядка?

13. Какие дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами называются однородными?

14. Как найти общее решение однородного дифференци- ального уравнения второго порядка с постоянными коэффици- ентами?

15. Как найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянны- ми коэффициентами?

16. Что называется системой дифференциальных уравне- ний и ее решением?

17. Как система дифференциальных уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению высшего порядка?

18. Какое уравнение называется уравнением Бернулли и каков метод его решения?

19. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах?

20. Каковы методы решения уравнений в полных диффе- ренциалах?

21. Что такое интегрирующий множитель и каков метод его нахождения?

 

Глава 7. РЯДЫ

Числовые ряды

Выражение ,

где w 1, w 2, …, w n, … — некоторые числа, называют числовым ря- дом; w 1, w 2, …, w n, … — это члены ряда.

Для любого числового ряда  можно построить после- довательность его частичных сумм S n:

S 1 = w 1;

S 2 = w 1 + w 2;

S 3 = w 1 + w 2 + w 3;

……………………...

S n = w 1 + w 2 + w 3 + … + w n, n = 1, 2, 3, …                  (7.1)

Если существует конечный предел               , то его назы- вают суммой ряда и говорят, что этот ряд сходится. Если этот предел не существует, то говорят, что ряд (7.1) расходится и суммы не имеет.

Приведем конкретные примеры.

Пример 7.1.

Гармонический ряд  расходится.

Пример 7.2.

Геометрическая прогрессия

w + wq + wq ² + … + wq^{n -1} + … (w 0)

сходится при | q | < 1 и расходится при | q | 1. Если | q | < 1, то .

Пример 7.3.

Обобщенно гармонический ряд   схо- дится при a > 1 и расходится при a 1.

Пример 7.4.

,

т. е. данный ряд сходится и его сумма равна (е – 1).

При исследовании рядов одним из важнейших вопросов является вопрос о том, сходится изучаемый ряд или расхо- дится. Далее рассмотрим достаточные признаки, на основании которых можно решить этот вопрос. Сейчас же приведем не- обходимый признак сходимости рядов, т. е. условие, при невы- полнении которого ряды расходятся.

Теорема 7.1. Если ряд сходится, то его n- й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Следствие. Если n- й член ряда не стремится к нулю при   n →, то ряд расходится. Данный признак не является доста- точным, т. е. он может выполняться, а ряд будет расходиться. Например, гармонический ряд из примера 7.1 расходится, не- смотря на то,  что .

 

Основные свойства сходящихся числовых рядов

1. Сходимость числового ряда не нарушится, если припи- сать или отбросить конечное число его членов.

2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число k, то его сходимость не нарушится.

3. Два сходящихся ряда u 1 + u 2 + … + u n + … = S 1; v 1 + v 2 + … +

+ v n + … = S 2 можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд (u 1 ± v 1) + (u 2 ± v 2) + … + (u n ± v n) + … будет сходится, а его сумма будет равна S 1 ± S 2.