Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление площадей плоских фигур
Так как определенный интеграл от непрерывной неотрица- тельной функции равен площади соответствующей криволиней- ной трапеции, а площадь любой плоской фигуры можно пред- ставить как сумму и (или) разность площадей криволинейных трапеций, то, следовательно, определенный интеграл можно ис- пользовать для вычисления площадей плоских фигур [9, 35].
.
y y f (x)
S 1
0 a b x Рис. 5.9 Рис. 5.10 Если функция y = f (x) находится полностью или частично под осью 0 х (рис. 5.11 и 5.12), то получаем: . y f (x) Рис. 5.11 Рис. 5.12 Если функция x = (y) или плоская фигура ABCD прилега- ют к оси 0 y, то (рис. 5.13 и 5.14)
Рис. 5.13 Рис. 5.14 Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующей схеме: 1) В соответствии с условиями задачи делают схематичес- кий чертеж. 2) Искомую площадь представляют как сумму и (или) раз- ность площадей криволинейных трапеций. 3) Находят пределы интегрирования. 4) Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и искомую площадь фигуры. Теперь рассмотрим конкретные примеры вычисления пло- щадей плоских фигур. Пример 5.40. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: х = = 4 − у 2 , х = 0. Сначала по условиям задачи строим схематический чер- теж (рис. 5.15). Рис. 5.15 x = 4 − у 2 — парабола. Найдем ее вершину х = -2 у. y = 0, х = = 4 (max) и точки пересечения с осью 0 у. 4 − у 2 = 0, у = 2, у = -2. y 1 = -2 и y 2 = 2 являются пределами интегрирования. Теперь найдем искомую площадь. Так как парабола сим- метрична относительно оси абсцисс, то можно записать. кв. ед. Пример 5.41. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 − 6 x + 8; y = 0. Построим схематический чертеж искомой фигуры (см. рис. 5.16)
Рис. 5.16 Кривая y = x 2 − 6 x + 8 есть парабола, ветви которой на- правлены вверх. Найдем ее характерные точки. y = 2 x − 6; y = 0; 2 x − 6 = 0; x = 3, y = -1 (min); x 2 − 6 x + 8 = 0; D = 36 − 4·1·8 = 4; (пределы интегрирования). Теперь находим искомую площадь (знак модуля ставится, так как фигура находится под осью 0 х).
Пример 5.42. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 6, x + y − 7 = 0. Построим схематический чертеж (рис. 5.17) и найдем пре- делы интегрирования:
(пределы интегрирования)
Рис. 5.17 Теперь находим искомую площадь
= 35 − 17,5 − 6ln6 = (17,5 − 6ln6) кв. ед. Нахождение длины дуги кривой Пусть в плоскости х 0 у уравнением y = f (x) задана кри- вая линия. Вычислим длину дуги АВ этой кривой, заключенной между прямыми х = а и х = b (рис. 5.18). Рис. 5.18 На дуге АВ возьмем точки А, А 1, А 2, …, В с абсциссами х 0 = = а, х 1, х 2, …, b = х n. Проведем хорды АА 1, А 1 А 2, …, А n -1 В, длины которых соответственно обозначим l 1, l 2, …, l n. В результате получим ломаную линию А А 1 А 2 … А n -1 В, которая вписана в
(5.14) Рассмотрим конкретный пример. Пример 5.43 Найти длину дуги кривой , отсеченной осью 0 х. Сначала построим график исходной функции и найдем а и b (рис. 5.19)
Находим а и b.
Теперь по формуле (5.14) нахо- дим искомую длину дуги. [Так как исходная парабола симметрична относительно оси 0у, то получаем]
x Рис. 5.19 Найдем
. Тогда получим:
В нашем случае получаем . Поэтому l 1 примет вид:
. Объем тела вращения Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси 0 х криволинейной трапеции aABb, ограниченной функцией y = f (x), осью 0 х и прямыми x = a и x = b (рис. 5.20). Рис. 5.20
= y 2 i-1 x i, [в данном случае поперечные сечения с абс- циссами x 0 = a, x 1, …, x n -1, x n = b есть окружности]. Поэтому объем n-ступенчатого тела будет равен: Переходим к пределу при n → и при стремлении max x i → 0 и получаем искомый объем тела вращения [9]: (5.15) В том случая, если тело образовано вращением вокруг оси 0 у криволинейной трапеции cCDd, ограниченной функцией х = (у) и прямыми у = с, у = d (рис. 5.21), то его объем находит- ся по формуле (5.16) Рис. 5.21 Теперь рассмотрим конкретный пример. Пример 5.44. Найдем объем двухосного эллипсоида вращения, канони- ческое уравнение которого имеет вид , где а и b — большая и малая полуоси соответственно (одной из моделей Земли как раз и является двухосный эллипсоид вращения, в России принят рефенц-эллипсоид с параметрами а = 6378245 м, ). Его сечением, в плоскости х 0 z будет эллипс:
(рис. 5.22).
оси 0х функции , ограниченной прямыми х = - а и х = а, и осью 0 х. Рис. 5.22 Тогда по формуле (5.15) получаем:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 155; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.206.68 (0.027 с.) |