Интегрирование тригонометрических функций

Интеграл вида  с помощью подставки  можно преобразовать в интеграл от рациональной функции.

Используются следующие тригонометрические формулы:

Из равенства x = 2arctg u имеем . В результате ука- занной подстановке исходный интеграл преобразуется к виду

т. е. подынтегральная функция рациональна относительно   u.

Пример 5.16.

Применим подстановку  и получаем:

[Воспользуемся формулой 16 из таблицы интегралов.]

С помощью указанной подстановки хорошо “берутся” ин- тегралы вида .

Интегрирование функций  с помощью под- становки  всегда приводит к успеху, но в силу своей об- щности она не всегда является оптимальной.

Интегралы вида   находятся следующим образом:

а) если m — целое положительное нечетное число, то при- меняется подстановка cos х = U.

Пример 5.17.

 [делаем подстановку cos x = U ] =

 

b) если n − целое положительное нечетное число, то приме- няется подстановка sin x = U.

Пример 5.18.

[делаем замену переменной sin x = U ] =

с) если (n + m) − четное отрицательное число, то применя- ется подстановка tg x = U:

Пример 5.19.

 = [делаем замену tg x = U ]

 

[делаем замену ;

;

d)
если m и n − целые неотрицательные четные числа, то используются формулы

Пример 5.20.

Интегралы от иррациональных функций

а)  Рассмотрим  интеграл , где R — ра- циональная функция своих аргументов, т. е. над величинами х, х^m/n, …, х^k/t проводятся только рациональные операции.

Пусть р — общий знаменатель дробей .

Теперь делаем подстановку х = у ^р; dx = ру ^{р −1} dy. Тогда каж- дая дробная степень х выразится через целую степень, т. е. по- дынтегральная функция преобразуется в рациональную фун- кцию от у.

Пример 5.21.

Так как общий знаменатель дробей и  это 4, то делаем замену х = у ^4, dx = 4 у ³ dу, ;.

В результате получаем .

Делим числитель на знаменатель и получаем

у ⁵                                                       y − 6                                            

− у ⁵ − 6 у ⁴                                            у ⁴ + 6 у ³ + 36 у ² + 216 у + 1296

6 у ⁴

− 6 у ⁴ − 36 у ³

36 у ³

− 36 у ³ − 216 у ²

216 у ²

− 216 у ² − 1296 у

1296 у

− 1296 у − 7776

7776

 

 

.

 

б) Теперь рассмотрим интеграл вида

Он сводится к интегралу от рациональной функции под- становкой

где S — общий знаменатель дробей              .

Пример 5.22.

В данном примере

Так как общий знаменатель дробей    и 2 равен 2, то полу- чаем х + 1 = Z ².

Поэтому dх = 2 ZdZ и исходный интеграл примет вид

 

Разлагаем подынтегральную функцию на элементарные дроби и получаем:

Отбрасываем знаменатель и имеем:

Z + 4 = А (Z ² + Z + 1) + (Z − 1) (В Z + С);

Z + 4 = А Z ² + А Z + А + В Z ² + С Z − В Z − С;

Решая полученную систему, находим искомые коэффици- енты А, В, С.

Складываем второе и третье уравнения полученной систе- мы и получаем

 .

Поэтому получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

=[делаем замену переменной                            ;                ]