Матрицы, определители и их свойства

Матрицей   называется прямоугольная таблица размером m (число строк) на n (число столбцов), заполненная некоторыми математическими объектами. Мы будем рассматривать матри- цы, элементами которых являются действительные числа.

Как правило матрицы обозначают большими буквами (A, B,…), а их элементы маленькими буквами с двумя индексами, указывающими номер строки и номер столбца (a ij, b ij,…). Пря- моугольную матрицу размера m n записывают следующим образом:

Если заменить строки матрицы ее столбцами (столбцы строками), то получим транспонированную матрицу, которую обозначают заглавной буквой с индексом T наверху:

Рассмотрим некоторые типы матриц.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то мы имеем квадратную матрицу:

 

Элементы a 11, a 22, …, a nn называются главной диагональю, а их сумма — это след матрицы.

Элементы a 1 n, a 2(n -1), …, a n 1 составляют побочную диагональ.

Если все элементы матрицы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, то мы имеем диагональную матрицу:

 

Если все ненулевые элементы диагональной матрицы рав- ны 1, то мы имеем единичную матрицу:

Если ненулевые элементы располагаются выше главной диагонали, то имеем верхнюю треугольную матрицу, а если ниже — нижнюю треугольную матрицу:

Матрица размера m 1 — это матрица-столбец, а матрица размера 1 n — матрица-строка:

Рассмотрим линейные операции над матрицами.

Для сложения двух матриц необходимо, чтобы они имели одинаковые размеры.

Сумму двух матриц обозначим A + B, а ее элементы равны

a ij + b ij, т. е.

 

Например,

 

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1) A + B = B + A;

2) (A + B) + C = A + (B + C);

3) Для любых двух матриц одинакового размера всегда су- ществует единственная матрица Z такая, что A + Z = B. Тогда Z есть разность матриц B и A, т. е. Z = B − A. Элементы матрицы Z равны b ij − a ij.

Произведением матрицы A = (a ij) на число k R называет- ся матрица

 

Например,

 

Для умножения двух матриц необходимо, чтобы они были согласованными. Матрицы A и B называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Пусть заданы матрицы:

 

Тогда произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C размера m p, элементы c ik которой находятся по формуле

Из определения произведения матриц следует, что

A E = E A = A.

Произведение матриц обладает следующими свойствами: 1) (A B) C = A (B C);

2) (A + B) C = AC + BC; 3) k (A · B) = (k · A) · B, k ∈ R;

4) (A · B)^T = B ^T · A ^T.

В общем случае A B B A.

Рассмотрим конкретный пример умножения двух матриц

Для квадратной матрицы размера n n вводится понятие определителя.

Определителем квадратной матрицы порядка n n (оп- ределителем порядка n) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снаб- женных знаками плюс и минус по некоторому определенному правилу. Это правило сформулируем позже.

Определитель порядка n матрицы

обозначается следующим образом:

Приведем легко запоминающиеся правила для вычисле- ния определителей второго и третьего порядков:

Например,

 

 

 

Сформулируем свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не ме- няется.

2. При перестановке строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный:

3. Если все элементы строки (столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю:

 

 

то

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) оп- ределителя можно выносить за его знак:

 

 

где         (R — множество дейст- вительных чисел).

 

5. Определитель равен нулю, если все элементы минимум двух его строк (столбцов) пропорциональны:

 

 

где

6. Если каждый элемент строки (столбца) определите- ля есть сумма двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у одного из ко- торых соответствующая строка (столбец) составлена из первых слагаемых суммы, а у другого — из вторых:

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же вещест- венное число:

 

 

где

(R — множество действительных чисел).

Дадим понятие минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим матрицу размера m n:

Выделим в ней k различных строк и k различных столбцов, причем 1 k минимального значения из m и n.

Элементы выделенных строк и столбцов образуют квад- ратную матрицу порядка k. Определитель выделенной квад- ратной матрицы порядка k называют минором k -го порядка матрицы А.

Если в выделенную квадратную матрицу порядка k вклю- чены строки и столбцы исходной матрицы, имеющие одинако- вые номера, то такой минор называется главным.

Полное обозначение минора k -го порядка следующее

где i — номера выделенных строк;

j — номера выделенных столбцов.

Общее число миноров порядка k прямоугольной матрицы размера m n можно найти по формуле

где  — число сочетаний из m по k,

— число сочетаний из n по k.

Число миноров первого порядка совпадает с общим числом элементов исходной матрицы

Рассмотрим конкретный пример

Общее число миноров первого порядка данной матрицы А

равно . Например,

Максимальный порядок миноров данной матрицы равен двум.

Общее число миноров второго порядка равно

. Например,

Рассмотрим теперь квадратную матрицу размера n n

Вычеркнем в ней все элементы i -й строки и j -го столбца. Оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу размера (n −1) (n −1). Определитель этой матрицы будет минором (n −1) порядка исходной матрицы А.

Например, вычеркнем в матрице А первую строку и вто- рой столбец и получим следующий минор (n −1) порядка исход- ной матрицы

Минор обозначаем по номеру элемента, который стоит на пересечении вычеркиваемой строки и вычеркиваемого столб- ца. В нашем случае это элемент a 12.

Алгебраическим дополнением элемента a ij   квадратной

матрицы порядка n называется число, вычисляемое по фор-

муле A ij = (−1) M, т. е., если сумма номеров строки и столб-

i+j

ца — четная, алгебраическое дополнение будет совпадать с со-

ответствующим минором, а если нечетная, то алгебраическое дополнение и минор будут иметь разные знаки.

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать общее правило вычисления определителя n -го порядка. Он вычисляется с помощью формул разложения по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. Все- го существует 2 n формул разложения определителя (по эле- ментам n -строк и n -столбцов).

Например, приведем разложение по элементам первой строки и второго столбца:

То есть каждый элемент строки (столбца) умножается на соответствующее алгебраическое дополнение.

Теоретически с помощью формул разложения можно вы- числить определитель квадратной матрицы любого порядка, но реально эти формулы используются для нахождения определи- телей не выше 4-го порядка. Объем вычислений можно несколь- ко сократить, если использовать свойства определителей.

Из формул разложения следуют приведенные нами выше правила вычисления определителей второго и третьего по- рядков.

Рассмотрим конкретные примеры вычисления определи- телей.

В данном примере мы разложили определитель по элемен- там первой строки.

Найдем определитель 4-го порядка

К этому определителю сначала применим свойство но- мер 7. Первую строку определителя умножим последователь- но на (−4); (−3); (−2) и сложим со 2-й; 3-й и 4-й строками. В ре- зультате получим

Полученный определитель разложим по элементам 1-ого столбца

К полученному определителю вновь применим свойство номер 7. Умножим последовательно третью строку на (−2) и на (−7) и сложим со второй и первой строчками. Получим

Последний определитель разложим по элементам первого столбца, т. е.

 

Теперь рассмотрим обратную матрицу и правило ее вы- числения.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, т. е. det A = 0.

В противоположном случае (det A 0) матрица А является невырожденной. А любой невырожденной матрице А соответс- твует единственная обратная матрица A ⁻¹.

Причем выполняется равенство

A ^{− 1} A = A A ^{− 1} = E.

Приведем алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Вычислить определитель матрицы А и убедиться, что он не равен нулю.

2.
Составить матрицу A 1 из алгебраических дополнений матрицы А.

3. Составить присоединенную матрицу (В), получаемую транспонированием матрицы A 1

4.
Вычислить обратную матрицу по формуле

5. Проверка полученного результата

A A ^{− 1} = A ^{− 1} A = E.

Рассмотрим конкретные примеры на обращение матриц.

Пример 2.1. Дано:

Найти: A ⁻¹

Находить   A ⁻¹  будем  в  соответствии  с  приведенным  алго- ритмом. Найдем определитель исходной матрицы

т. е. det A   0, поэтому у матрицы А есть обратная A ⁻¹

Теперь найдем алгебраическое дополнение:

A 11 = 5; A 12 = 1; A 21 = − 2; A 22 = 3.

Составим из найденных алгебраических дополнений мат- рицу A 1

Найдем матрицу В (транспонируем матрицу А 1)

Вычисляем обратную матрицу

Проверим правильность вычисления обратной матрицы.

т. е. обратная матрица А ⁻¹ вычислена верно.

Пример 2.2. Дано:

Найти A ⁻¹.

Вычисляем определитель матрицы А.

Умножаем первую строку последовательно на (−2) и на (−3) и складываем со второй и третьей, затем полученный опреде- литель раскладываем по элементам первого столбца

det A 0, т. е. исходная матрица А — невырожденная и у нее есть обратная матрица.

Теперь найдем алгебраические дополнения всех элемен- тов матрицы А

Из найденных алгебраических дополнений составляем матрицу A 1

 

Находим матрицу :

 

Вычисляем обратную матрицу

Делаем проверку правильности вычисления обратной мат- рицы A    A ⁻¹ = E

Из проверки следует, что обратная матрица вычислена верно.

Имеют место следующие равенства:

det A ^{− 1} = (det A) ^{− 1}; (A ^{− 1}) ^T = (A ^T) ^{− 1};

(A B C … F) ^{− 1} = F ^{− 1} … C ^{− 1} B ^{− 1} A ^{− 1}.

Ранг матриц. Любая матрица кроме своего порядка должна характеризоваться еще одним показателем, который устанав- ливает количество ее лтнейно-независимых строк и столбцов. Этот показатель и называют рангом матрицы. Дадим его опре- деление.

Рангом (r (A)) матрицы А называют наивысший порядок от- личных от нуля миноров этой матрицы. Ранг имеет любая мат- рица.

Ранг матрицы считается равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю.

Для матриц высокого порядка разработаны специальные вычислительные методы определения ранга, например, мето- ды жордановых исключений. Из приведенных выше свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменяется при ее транспонировании, при перестановке каких-либо строк или столбцов, при умножении каждого элемента строки или стол- бца на одно и то же число, при сложении элементов какой-то строки (столбца) с соответствующими элементами другой стро- ки (столбца), умноженными на действительное число.

Без доказательства приведем теорему и следствия из нее. Теорема 2.1. Если ранг матрицы равен k, то существует k линейно-независимых строк, от которых линейно зависят все

остальные строки матрицы.

Следствие 1. Если ранг матрицы равен k, то она имеет k линейно-независимых столбцов, от которых линейно зависят остальные столбцы.

Следствие 2. Максимальное число линейно-независимых строк матрицы совпадает с максимальным числом линейно-не- зависимых столбцов и равно рангу матрицы.