Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие о предельных теоремах
Кратко рассмотрим предельные теоремы, которые уста- навливают связь между теоретическими и эксперименталь- ными характеристиками случайных величин при большом ко- личестве опытов. Предельные теоремы подразделяют на две группы: 1) группа закона больших чисел; 2) группа центральной предельной теоремы. Кратко рассмотрим группу закона больших чисел. Его фи- зическое содержание можно сформулировать следующим об- разом: при большом числе случайных явлений их средний ре- зультат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. В узком смысле слова под законом больших чисел понима- ется ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближений средних характеристик большого числа экспериментов к определенным неслучайным величинам. Все теоремы закона больших чисел опираются на нера- венство Чебышева, которое мы и проводим. Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет математическое ожидание M[ X ] и дисперсию D[ X ], то для ∀ε > 0 справедливо неравенство:
Неравенство (8.80) отграничивает вероятности больших отно- шений случайной величины X от ее математического ожидания. Для противоположного события неравенство Чебышева принимает вид: . (8.81) Неравенства (8.80) и (8.81) можно использовать для нахож- дения оценок вероятности отклонения наблюдаемой случайной величины от своего математического ожидания, если неизвес- тен закон распределения. Пример 8.6. Определить вероятность того, что случайная величина X, имеющая произвольный закон распределения, отклонится от своего математического ожидания на величину, не выходящую за пределы ±3σ[ X ]. Принимая в формуле (8.81) ε = 3σ[ X ] получаем
Для любой случайной величины Х вероятность выполне- ния правила 3σ[ X ] будет не ниже 8/9. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность попадания случайной величины в ин- тервал | X − M [ X ]| ≤ 3σ[ X ] будет равна 0,997. Теорема Чебышева (иногда ее называют законом больших чисел). Предположим, что производится n независимых измере- ний случайной величины Х, которая имеет конечные матема- тическое ожидание М [ X ] и дисперсию D [ X ]. Измерения равно- точны и не имеют систематических ошибок. В этом случае при неограниченном увеличении количества измерений n среднее арифметическое результатов измерений x i сходится по веро- ятности к математическому ожиданию этой случайной величи- ны, т. е.
где ε > 0. Из формулы (8.82) следует, что при достаточно большом ко- личестве наблюдений n существенные отклонения по абсолют- ной величине среднего арифметического результатов измере- ний от математического ожидания маловероятны. Поэтому при большом количестве наблюдений можно заменять неизвестное математическое ожидание средним арифметическим. Теорема Бернулли. Это теорема доказывает устойчивость относительной частоты случайного события, а это позволяет применять на практике статистическое определение вероят- ности наступления события. При неограниченном возрастании числа независимых опы- тов n, производимых в одних и тех же условиях, относительная частота события А (f (A)) сходится по вероятности к вероятнос- ти этого события P (A), т. е.
где ε > 0. Из теоремы Бернулли следует, что при большом количес- тве наблюдений относительную частоту появления случайного события можно принимать за вероятность этого события. Теперь кратко рассмотрим группу теорем центральной предельной теоремы. Она имеет ряд форм, которые устанавли- вают связь между законом распределения суммы случайных величин и ее предельной формой — нормальным законом рас- пределения. Различные формы центральной предельной теоремы раз- личаются между собой условиями, накладываемыми на распре- деления образующих сумму случайных слагаемых X 1, X 2,..., X n. Чем эти условия жестче, тем проще доказывается теорема.
чении n закон распределения суммы случайных величин неограниченно приближается к нормальному.
Теорема Ляпунова. Предположим, что X 1, X 2,..., X n — не- зависимые случайные величины с математическими ожидани- ями M[ X 1], M[ X 2],…, M[ X n ] и дисперсиями D[ X 1], D[ X 2],…, D[ X n ], причем n → ∞.
чайной величины неограниченно приближается к нор- мальному. Смысл условия (8.84) состоит в том, чтобы в сумме не было слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы было бы велико по сравнению с влиянием всех остальных. Также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с сум- марным влиянием остальных.
Задачи для самостоятельного решения 1. Имеются две урны. В первой находится шесть красных шаров и три синих шара, а во второй — пять красных шаров и семь синих шаров. Из каждой урны вынимают по шару. Найти вероятность того, что эти шары разных цветов. 2. Игральная кость подбрасывается восемь раз. Найти ве- роятность того, что грань с цифрой четыре выпадет хотя бы один раз. 3. Имеется колода карт (52 листа). Из нее случайным обра- зом извлекается пять карт. Найти вероятность того, что среди них есть две дамы и один валет. 4. Дан ряд распределения случайной величины Х:
Построить функцию распределения случайной величины Х (F (x)), вычислить основные числовые характеристики слу- чайной величины Х: M [ X ], D [ X ], [ X ], V [ X ]. 5. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
при 0 < х π;
Определить плотность распределения случайной величи- ны Х (f (x)), а также M [ X ], D [ X ], σ[ X ]. 6. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид f (x) = α/(1 + x 2) при х ∈ (-∞; +∞). Найти коэффициент α и P {0 < х < π/4}. 7. Матрица распределения системы двух случайных вели- чин (х, у) имеет вид (Х, Y):
Найти коэффициент корреляции r xy и сделать вывод о на- личии линейной зависимости между случайными величинами х и у.
Вопросы для самопроверки 1. Каков предмет теории вероятностей? 2. Дайте определение суммы и произведения нескольких случайных событий. 3. Приведите классическое определение вероятности. 4. Приведите статистическое определение вероятности. 5. Приведите аксиоматическое определение вероятности. 6. Каковы правила действия с вероятностями? 7. Дайте определение случайной величины. 8. Что такое функция распределения случайной величины? 9. Что такое плотность распределения случайной вели- чины? 10. Расскажите о числовых характеристиках случайной величины. 11. От каких параметров зависит нормальное распреде- ление? 12. Дайте определение системы случайных величин. 13. Какие формы закона распределения случайных вели- чин вы знаете? 14. Какие числовые характеристики системы случайных величин вы знаете? 15. В чем состоит суть закона больших чисел? 16. В чем состоит суть центральной предельной теоремы?
Глава 9. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 111; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.142.69 (0.014 с.) |