Понятие о предельных теоремах

Кратко рассмотрим предельные теоремы, которые уста- навливают связь между теоретическими и эксперименталь- ными характеристиками случайных величин при большом ко- личестве опытов. Предельные теоремы подразделяют на две группы:

1) группа закона больших чисел;

2) группа центральной предельной теоремы.

Кратко рассмотрим группу закона больших чисел. Его фи- зическое содержание можно сформулировать следующим об- разом: при большом числе случайных явлений их средний ре- зультат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле слова под законом больших чисел понима- ется ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближений средних характеристик большого числа экспериментов к определенным неслучайным величинам.

Все теоремы закона больших чисел опираются на нера- венство Чебышева, которое мы и проводим.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет математическое ожидание M[ X ] и дисперсию D[ X ], то для ∀ε > 0 справедливо неравенство:

.                                                (8.80)

 

Неравенство (8.80) отграничивает вероятности больших отно- шений случайной величины X от ее математического ожидания.

Для противоположного события неравенство Чебышева принимает вид:

.                                           (8.81)

Неравенства (8.80) и (8.81) можно использовать для нахож- дения оценок вероятности отклонения наблюдаемой случайной величины от своего математического ожидания, если неизвес- тен закон распределения.

Пример 8.6.

Определить вероятность того, что случайная величина X, имеющая произвольный закон распределения, отклонится от своего математического ожидания на величину, не выходящую за пределы ±3σ[ X ].

Принимая в формуле (8.81) ε = 3σ[ X ] получаем

.

 

Для любой случайной величины Х вероятность выполне- ния правила 3σ[ X ] будет не ниже 8/9.

Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность попадания случайной величины в ин- тервал | X − M [ X ]| ≤ 3σ[ X ] будет равна 0,997.

Теорема Чебышева (иногда ее называют законом больших чисел).

Предположим, что производится n независимых измере- ний случайной величины Х, которая имеет конечные матема- тическое ожидание М [ X ] и дисперсию D [ X ]. Измерения равно- точны и не имеют систематических ошибок. В этом случае при неограниченном увеличении количества измерений n среднее арифметическое результатов измерений x i сходится по веро- ятности к математическому ожиданию этой случайной величи- ны, т. е.

 

,             (8.82)

где ε > 0.

Из формулы (8.82) следует, что при достаточно большом ко- личестве наблюдений n существенные отклонения по абсолют-

ной величине среднего арифметического результатов измере- ний от математического ожидания маловероятны. Поэтому при большом количестве наблюдений можно заменять неизвестное математическое ожидание средним арифметическим.

Теорема Бернулли. Это теорема доказывает устойчивость относительной частоты случайного события, а это позволяет применять на практике статистическое определение вероят- ности наступления события.

При неограниченном возрастании числа независимых опы- тов n, производимых в одних и тех же условиях, относительная частота события А (f (A)) сходится по вероятности к вероятнос- ти этого события P (A), т. е.

,                  (8.83)

где ε > 0.

Из теоремы Бернулли следует, что при большом количес- тве наблюдений относительную частоту появления случайного события можно принимать за вероятность этого события.

Теперь кратко рассмотрим группу теорем центральной предельной теоремы. Она имеет ряд форм, которые устанавли- вают связь между законом распределения суммы случайных величин и ее предельной формой — нормальным законом рас- пределения.

Различные формы центральной предельной теоремы раз- личаются между собой условиями, накладываемыми на распре- деления образующих сумму случайных слагаемых X 1, X 2,..., X n. Чем эти условия жестче, тем проще доказывается теорема.

Теорема. Если X 1, X 2,..., X n — независимые случайные ве- личины, которые имеют одно и то же распределение с мате- матическим ожиданием M [ X ] и дисперсией D[ X ], то при увели-

чении n закон распределения суммы случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

Теорема Ляпунова. Предположим, что X 1, X 2,..., X n — не- зависимые случайные величины с математическими ожидани- ями M[ X 1], M[ X 2],…, M[ X n ] и дисперсиями D[ X 1], D[ X 2],…, D[ X n ], причем n → ∞.

.                      (8.84)

 

 

Ляпунов доказал, что при n → ∞ закон распределения слу-

чайной  величины         неограниченно приближается к нор- мальному.

Смысл условия (8.84) состоит в том, чтобы в сумме не было слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы было бы велико по сравнению с влиянием всех остальных. Также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с сум- марным влиянием остальных.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Имеются две урны. В первой находится шесть красных шаров и три синих шара, а во второй — пять красных шаров и семь синих шаров. Из каждой урны вынимают по шару. Найти вероятность того, что эти шары разных цветов.

2. Игральная кость подбрасывается восемь раз. Найти ве- роятность того, что грань с цифрой четыре выпадет хотя бы один раз.

3. Имеется колода карт (52 листа). Из нее случайным обра- зом извлекается пять карт. Найти вероятность того, что среди них есть две дамы и один валет.

4. Дан ряд распределения случайной величины Х:

 

х	2	3	4	5	6	7
р	0,05	0,15	0,3	0,2	0,1	0,2

Построить функцию распределения случайной величины Х (F (x)), вычислить основные числовые характеристики слу- чайной величины Х: M [ X ], D [ X ], [ X ], V [ X ].

5. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

 

при 0 < х π;

 

Определить плотность распределения случайной величи- ны Х (f (x)), а также M [ X ], D [ X ], σ[ X ].

6. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид f (x) = α/(1 + x ²) при х ∈ (-∞; +∞).

Найти коэффициент α и P {0 < х < π/4}.

7. Матрица распределения системы двух случайных вели- чин (х, у) имеет вид (Х, Y):

 

yi xi	7	11	12
2	0,3	0,15	0,05
3	0,15	0,1	0,05
8	0,05	0,05	0,05
10	0,05	0	0

Найти коэффициент корреляции r xy и сделать вывод о на- личии линейной зависимости между случайными величинами х и у.

 

Вопросы для самопроверки

1. Каков предмет теории вероятностей?

2. Дайте определение суммы и произведения нескольких случайных событий.

3. Приведите классическое определение вероятности.

4. Приведите статистическое определение вероятности.

5. Приведите аксиоматическое определение вероятности.

6. Каковы правила действия с вероятностями?

7. Дайте определение случайной величины.

8. Что такое функция распределения случайной величины?

9. Что такое плотность распределения случайной вели- чины?

10. Расскажите о числовых характеристиках случайной величины.

11. От каких параметров зависит нормальное распреде- ление?

12. Дайте определение системы случайных величин.

13. Какие формы закона распределения случайных вели- чин вы знаете?

14. Какие числовые характеристики системы случайных величин вы знаете?

15. В чем состоит суть закона больших чисел?

16. В чем состоит суть центральной предельной теоремы?

 

Глава 9. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО