Вычисление двойного интеграла

1. Простейший случай.

Область В задана неравенствами a x b, c y d, т. е. она является прямоугольником ADBC (рис. 5.28).

Рис. 5.28

В этом случаи двойной интеграл вычисляется по одной из приводимых ниже формул:

 

(5.25)

 

(5.26)

 

В правых частях формул (5.25) и (5.26) стоят повторные ин- тегралы.

При вычислении по формуле (5.25) сначала находится оп-

ределенный  интеграл          , причем у рассматривается как

постоянная, но результат интегрирования рассматривается как функция от у. Второе интегрирование в пределах от с до d выполняется по аргументу у. При использовании формулы (5.26) порядок действий обратный.

Двойной  интеграл                     есть объем призматичес-

 

кого тела с основанием ADBC. Заметим, что внешние знаки ин- теграла соответствуют внешним дифференциалам.

Рассмотрим конкретные примеры. Вычислить интегралы:

Пример 5.48.

Пример 5.49.

, получаем

2. Общий случай.

а) Если контур области В встречается с любой пересека- ющей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (т. N 1 и т. N 2 на рис. 5.29), то область В задается неравенствами a x b и 1(х) y 2(х),

 

 

0

Рис. 5.29

где a и b — крайние абсциссы области В;

 1(х) и 2(х) — функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий AN 1 B 1 и AN 2 B 2.

В этом случае двойной интеграл находится по формуле

[9, 44]:

(5.27)

 

б) Если контур области В встречается не более чем в двух точках с любой пересекающей его горизонтальной прямой, то аналогично случаю а) получаем (рис. 5.30).

(5.28)

 

Если контур области В не подходит ни под случай а), ни под случай б), то ее разбивают на несколько частей так, чтобы к каждой части были применимы или формула (5.27) или (5.28).

y                        D

d                        x 2 = ₂(y)

         K ₁                         K ₂

K

B

x 1 = ₁(y)

 

c                      C

0                                                                      x

Рис. 5.30

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 5.50.

Вычислим интеграл , если область В огра- ничена линиями у = х ², у ² = х (рис. 5.31). Данная задача подхо- дит под случаи а) и б).

Рис. 5.31

Используем, например, формулу (5.27) (случай а). В дан- ном случае а = 0, b = 1, 1(х) = х ², . Поэтому получим:

 

 

 

Пример 5.51.

Вычислить двойной интеграл , если область В

ограничена следующими линиями: у = х ² и х + у − 2 = 0.

Строим область интегрирования В (рис. 5.32).

Рис. 5.32

Используя формулу (5.27) получаем:

 

 

 

Пример 5.52.

Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле

Из исходных данных следует, что область интегрирования В ограничена линиями х = 0, х = 1, х = 3, у = х ²/9, у = х, у =1. Построим область интегрирования В (рис. 5.33).

Рис. 5.33

Область интегрирования В является правильной в направ- лении параллельном направлению оси 0 Х, поэтому в соответс- твии с формулой (5.28) получаем

Замена переменной в двойном интеграле

К замене переменной прибегают для того, чтобы упростить нахождение двойного интеграла. Предположим, что аргументы х и у функции z = f (x i y) связаны с переменными U и V следую- щими соотношениями: x = ϕ(U, V), y = ψ(U, V), т. е. z = (ϕ(U, V),

ψ(U, V). Кроме этого ϕ(U, V) и ψ(U, V) — непрерывные и диф- ференцируемые функции, взаимно однозначно отображающие область В плоскости 0 ХУ в область В ′ плоскости 0′ UV. При этом определитель Якоби (якобиан) сохраняет постоянный знак в области В.

 

.                                                       (5.29)

 

В этом случае верна следующая формула замены пере- менных в двойном интеграле, которую мы приводим без дока- зательства:

.     (5.30)

 

Пределы в двойном интеграле по области В ′ расставляют- ся таким же образом, как и в двойном интеграле по области В с учетом геометрии этой области. Рассмотрим отдельно част- ный случай замены переменных, часто применяемый при вы- числении двойного интеграла, а именно переход от декартовых прямоугольных координат (х, у) к полярным координатам (r, ϕ). Напомним, что прямоугольные и полярные координаты связа- ны между собой следующими формулами: х = r ·cosϕ, y = r ·sinϕ, где r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Находим якобиан этого преобразования:

Теперь используя формулу (5.29), получаем:

Следовательно, формула перехода от декартовых коорди- нат к полярным имеет вид:

(5.31)

где B ′ — область в полярной системе координат, соответствую- щая области В в прямоугольной системе координат.

На практике переход к полярной системе координат осу- ществляют по формулам: х = r cosϕ, y = r sinϕ, dxdy = rdrd ϕ. Урав- нение линий, ограничивающих область В также преобразуют к полярным координатам. Преобразование области В в область В ′ не проводят, а совмещая полярную и прямоугольную системы координат находят пределы интегрирования по r и ϕ. Заметим, что переход от двойных интегралов к повторным в правой части формулы (5.31) приводит к разным пределам в зависимости от того, где находится полюс полярной системы координат. Если

полюс (т. 0) полярной си-

стемы координат находит- ся вне области В, которая ограничена лучами ϕ = α и ϕ = β (α > β) и функция-

B

r 1 ( ϕ )

r 2 ( ϕ )

ми r 1(ϕ) и r 2(ϕ) (r 1(ϕ) < r 2(ϕ))

(рис. 5.34), то двойной ин- теграл в полярных коор- динатах приводится  к по- вторному по следующей формуле:

         a                       

0

β

Рис. 5.34

(5.32)

 

В том случае если полюс (т. 0) находится внутри области В (рис. 5.35) и уравнение границы области в полярной системе ко- ординат имеет вид r (ϕ), то в формуле (5.32) α = 0, β = 2π, r 1(ϕ) = 0, r 2(ϕ) = r (ϕ) и формула 5.32 принимает вид:

 

(5.33)

 

Когда полюс (т. 0) находится на границе области В и урав- нение этой границы в полярной системе координат имеет вид r (ϕ), то в формуле (5.32) r 1(ϕ) = 0, r 2(ϕ) = r (ϕ), а углы α и β могут принимать различные значения (рис. 5.36).

 

Рис. 5.35

Рис. 5.36

Заметим, что переход к полярным координатам часто ис- пользуется в том случае, если подынтегральная функция име- ет вид f (x ² + y ²), а область интегрирования В есть круг, кольцо или их части.

В ряде случаев, например, когда область интегрирова- ния В — эллипс или его часть, используют переход от прямо- угольных к обобщенным полярным координатам. Связь меж- ду этими системами координат осуществляется по формулам: x = ar cosϕ, y = br sinϕ, где r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, a ∈ R, b ∈ R. Якобиан данного преобразования (см. (5.29)) будет иметь вид:

 

Следовательно, искомая формула перехода такова:

(5.34)

 

В ′ — область в обобщенной полярной системе координат, соответствующая области В.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 5.53.

Вычислить двойной интеграл , если область В ограничена линиями: у = 2 х − 3, у = 2 х + 5, у = - х + 7, у = - х − 1. Данная область в декартовой системе координат будет иметь вид (рис. 5.37).

 

3 5  -2 -1 0    1 3 -1
2	-2	2
	-3
	-4
	-5

 

Рис. 5.37

Область интегрирования В данного примера не является правильной ни по направлению оси 0 Х, ни по направлению оси 0 Y. Поэтому для того, чтобы облегчить «взятие» исходного ин- теграла, сделаем замену переменной.

Положим: U = y − 2 x;

V = y + x.

Тогда получим:   U = -3; U = 5;

V = 7; V = -1.

Область В в системе координат 0 ХY перейдет в область В ′ в системе координат 0′ UV (рис. 5.38). Из рис. 5.38 видно, что об- ласть В ′ является простейшей, поэтому для вычисления двой- ного интеграла по этой области можно использовать или фор- мулу (5.25) или формулу (5.26).

Рис. 5.38

Выражаем х и у через U и V. Получаем     x = - U /3+ V /3;

y = U /3 + 2/3 · V.

Находим якобиан преобразования по формуле (5.29):

Следовательно, исходный двойной интеграл будет равен:

 

 

 

 

 

Пример 5.54.

Вычислить двойной интеграл                            , если об- ласть В интегрирования ограничена линией х ² + у ² ≤ 25.

Так как область интегрирования представляет собой ок- ружность (рис. 5.39),то для вычисления исходного интеграла гораздо рациональнее перейти к полярной системе коорди- нат. Тогда получаем x = r cosϕ, y = r sinϕ, I (U, V) = rA. Исходный двойной интеграл будет равен:

Если не переходить к полярным координатам, а воспользо- ваться формулой (5.27),то будем иметь:

 

.

 

Видно, что полученный интеграл будет решаться значи- тельно дольше, а замена переменной сильно упрощает процесс решения.

 

Рис. 5.39

Пример 5.55.

Вычислить двойной интеграл , если область В ог- раничена линией: х ²/4 + у ²/9 ≤ 1.

Область В представляет собой эллипс (рис. 5.40). Для того чтобы упростить решение исходного двойного интеграла, го- раздо рациональнее перейти к обобщенной полярной системе координат.

Получим x = 2 r · cosϕ (а = 2), y = 3 r · sinϕ (b = 3), I (U, V) = 6 r, dxdy = 6 rdrd ϕ. Получим уравнение эллипса в обобщенных по- лярных координатах:

r ² · cos²ϕ + r ² · sin²ϕ =1.

r = 1.

Следовательно r будет меняться от 0 до 1, а ϕ от 0 до 2π.

Исходный двойной интеграл будет равен:

 

 

		3
		2
		1
-2	-1	0
		-1
		-2
		-3

Рис. 5.40