Некоторые сведения о функциях многих переменных. Понятие о частной производной

Ранее были рассмотрены функции, которые зависели от одного независимого аргумента. Но в реальной действительнос- ти чаще приходится иметь дело с функциями, которые зависят от двух, трех и большего числа независимых аргументов.

Например, площадь прямоугольника со сторонами а и b бу- дет функцией двух независимых аргументов. Функция эта име- ет вид S пр = a · b, где a и b могут быть любыми действительными положительными числами, так как и стороны прямоугольника, и его площадь не могут быть отрицательными величинами.

Положение какого-либо объекта на поверхности планеты определяется тремя координатами: широтой, долготой и высо- той, т. е. является функцией трех независимых аргументов.

Положение космического аппарата (КА), движущегося по невозмущенной эллиптической орбите вокруг Земли, есть фун- кция шести аргументов (трех координат (x, y, z) и трех состав- ляющих скорости ). Эта функциональная зависимость имеет следующий вид:

В гуманитарных науках, например в юриспруденции и экономике, жестко детерминированные функциональные свя- зи встречаются нечасто. Там используются многофакторные статистические взаимосвязи вида

Z = f(x 1, x 2, …, x n) + f(x 1, x 2, …, x n) + (y 1, y 2, …, y m).

где x 1, x 2, …, x n — учтенные признаки, под влиянием которых меняется функция Z,

  x 1, x 2, …, x n — ошибки учтенных признаков,

y 1, y 2, …, y m — неучтенные признаки, которые могут влиять на функцию Z.

Сначала рассмотрим функцию двух независимых аргу- ментов х и у. Переменная величина Z называется функцией переменных величин х и у на множестве D, если каждой точ- ке этого множества соответствует одно определенное значение величины Z.

Множество D называется областью определения функции

Z. Обычно она представляет собой часть плоскости х 0 у, ограни- ченной одной или несколькими линиями. Тот факт, что Z есть функция независимых аргументов х и у записывают так:

Z = f(x, y).

Функция двух аргументов может задаваться следующими способами:

1)
аналитическим, т. е. приводится формула, при помощи которой по заданным значениям аргументов х и у находят зна- чения функции Z. Например,

2) табличным, т. е. для некоторого количества пар аргумен- тов (х, у) приводятся значения функции (Z).

 

y x	y 1	y 2	…	y n
x 1	Z 11	Z 12	…	Z 1 n
x 2	Z 21	Z 22	…	Z 2 n
…	…	…	…	…
x n	Z n 1	Z n 2	…	Z nn

3) графическим.

Графиком функции двух независимых аргументов в сис- теме прямоугольных координат называется множество точек,

 

 

Рис. 4.4

абсциссы и ординаты которых являются значениями х и у, а ап- пликаты — соответствующими значениями Z. Графиком функ- ции двух непрерывных аргумен- тов обычно служит поверхность. Например, графиком функции Z = x ² + y ² является параболоид вращения (рис. 4.4).

Теперь дадим определение функции n независимых аргу-

ментов x, x, …, x.

1   2             n

Переменная величина W называется функцией перемен- ных величин x 1, x 2, …, x n, если каждой рассматриваемой сово- купности этих величин соответствует одно определенное зна- чение W.

Тот факт, что W есть функция аргументов x 1, x 2, …, x n, за- писывают так:

W = f (x 1, x 2, …, x n).

Геометрическая иллюстрация функций от n независимых аргументов теряет наглядность при n > 2.

При исследовании поверхностей 2-го порядка часто приме- няют метод сечений, который заключается в том, что определе- ние вида поверхности по ее уравнению производится путем изу- чения кривых, образованных при пересечении этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Дадим определение предела функции двух независимых аргументов.

Число b называется пределом функции Z = f (x, y) при x → x 0 и y → y 0, если для всех значений х и у, достаточно мало отличающихся от x 0 и y 0, соответствующие значения функции f (x, y) как угодно мало отличаются от числа b.

Тот факт, что b есть предел функции Z = f (x, y) при x → x 0

и y → y 0  записывают так:

Теперь введем понятия частных производных по незави- симым аргументам.

Рассмотрим функцию двух независимых аргументов х и у

Z = f (x, y).

Предположим, что y = const и рассмотрим f (x, y) как фун- кцию одного независимого аргумента х.

Если эта функция дифференцируема, то существует предел

Нижний индекс (х) указывает на то, что производная бе- рется по аргументу х.

Частной производной по х от функции Z = f (x, y) называ- ется функция переменных величин х и у, которая получается при дифференцировании f (x, y) по х в предположении, что y = const.

Она обозначается так:

Аргумент у считается постоянным только в процессе диф- ференцирования. После нахождения частной производной функция  будет зависеть от двух аргументов х и у.

Аналогично определим частную производную по у от фун- кции Z = f (x, y) при x = const. Как предел

Она обозначается так: . При нахождении частных производных используются формулы и правила диф- ференцирования функции одного независимого аргумента. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 4.6.

Z = 5 x ³ · cos y.

Пример 4.7.

Z = 6 x ⁴ · tg y + 5 x · ln y,

 

Аналогично можно определить частные производные от любого числа независимых аргументов.

Например, имеем функцию n независимых переменных

W = f (x 1, x 2, …, x n)

Определим частную производную по аргументу x 1

Аналогично определим частную производную по аргумен- ту x 2

и так далее.

Пример 4.8.

W = 2 x 1 · cos x 2 · ln x 3;

 

Дифференцирование сложных функций

Пусть имеем функцию двух независимых аргументов Z = f (u, v), причем аргументы являются функциями независи- мых переменных х и у, т. е. u = (x, y); v = (x, y), следовательно

Z = f [ (x, y), (x, y)].

В этом случае частные производные функции Z по аргу- ментам х и у будут вычисляться по формулам.

 

Пример 4.9.

Z = e ^3xy · sin (5 x + y).

Пример 4.10.

Z = sin (x ³ y ²)·ln (3 y + x ²).