Глава 4. Основы дифференциального исчисления

Дифференциальное исчисление — это раздел математи- ческого анализа, связанный в основном с понятиями производ- ной и дифференциала функции.

 

 

Производная первого порядка. Дифференциал. Производные высших порядков

Производной функции y = f (x) называется предел отноше- ния приращения функции к приращению аргумента при про- извольном стремлении последнего к нулю.

т. е. производная функции

есть некоторая функция, полученная по определенным прави- лам из заданной функции.

Значение производной функции y = f (x) в какой-то точке

x 0 обозначают обычно так:

f (x 0) или .

Механический смысл производной — это предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени, т. е. мгно- венная скорость.

Геометрический смысл производной вытекает из следую- щей теоремы.

Теорема 4.1. Если значение производной от функции y = f (x) при x = x 0 равно      , то прямая, проведенная через точку M 0(x 0, y 0) с угловым коэффициентом, равным , яв- ляется касательной к графику функции в точке M 0.

Геометрический смысл производной иллюстрируется на

рис. 4.1.

Рис. 4.1

Проведем через точки M 0 и M 1 секущую, угол между се- кущей и положительным направлением оси 0 x равен:

Будем перемещать точку M 1 по кривой в сторону точки M 0 т. е. устремим x к нулю. Предельным значением секущей бу- дет касательная, проходящая через точку M 0. Тогда получим:

Установим связь между непрерывностью и дифференци- руемостью функции. Она видна из следующей теоремы,

Теорема 4.2. Если функция дифференцируема в некото- рой точке, то в этой точке она непрерывна. Обратное утверж- дение неверно. В качестве примера возьмем функцию y = | x |. Ее график показан на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Из него видно, что в точке х = 0 данная функция не имеет определенной касательной, а значит, не имеет в этой точке и производной.

Из определения производной следует способ ее вычисления.

Найдем производную функции y = xⁿ, где n Z, исходя из определения производной

Итак, (x ⁿ)  = nx ^{n −1}, например (x ⁸)  = 8 x ⁷.

Можно доказать, что полученная формула верна для всех

n R [42, 44].

Из приведенного примера видно, что использовать оп- ределение производной для ее вычисления дело достаточно трудоемкое. Поэтому гораздо проще, используя определение производной, вывести производные основных элементарных функций и сформулировать правила дифференцирования ал- гебраической суммы, произведения, частного функций, слож- ной функции, обратной функции. По полученным формулам и правилам можно будет находить производные любых элемен- тарных функций.