Глава 9. Задачи линейного программирования

и методы их решения............................................... 431

9.1. Постановка задачи линейного программирвоания      431

9.2. Графический метод решения задач

линейного программирования................................ 433

9.3. Симплекс-метод решения задач

линейного программирования................................ 440

9.3.1. Стандартная форма задач линейного программирования      440

9.3.2. Основные понятия симплекс-метoда............. 442

9.3.3. Алгоритм симплекс-метода.......................... 445

9.3.4. Метод искусственных переменных............... 448

9.4. Двойственная задача

линейного программирования................................ 452

9.5. Анализ чувствительности задачи

линейного программирования................................ 458

9.6. Классификация методов решения задач целочисленного линейного программирования................................................................................. 463

9.7. Метод отсекающих плоскостей Гомори... 465

9.7.1. Метод Гомори для полностью целочисленных задач 465

9.7.2. Метод Гомори для частично-

целочисленных задач.................................... 470

9.8. Метод ветвей и границ.............................................. 473

Задачи для самостоятельного решения................. 476

Вопросы для самопроверки........................... 477

Глава 10. Специальные задачи

линейного программирования.................................. 478

10.1. Вербальная и математическая постановка транспортной задачи линейного программирования...................................... 478

10.2. Решение транспортной задачи................................ 482

10.3. Практическое решение задачи

оптимального планирования.................................. 492

10.4. Многопродуктовая транспортная задача.............. 499

10.5. Транспортная модель

с промежуточными пунктами................................... 503

Задачи для самостоятельного решения................. 506

Вопросы для самопроверки........................... 507

Литература................................................................................. 508

 

ВВЕДЕНИЕ

Математика проникла практически во все сферы челове- ческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что она способна создавать модели изучаемых явлений¹, а во-вторых — используется для обработки цифровых данных (как средство расчета. В настоящее время различные численные и аналити- ческие методы используются не только в естественных, но и в гуманитарных науках, например в социологии, лингвистике, юриспруденции, экономике.

С помощью математических методов можно более глубоко анализировать сложные экономические явления и процессы. Проблемы экономики стимулирует разработку новых мате- матических теорий. Например, необходимость решения задач экономического планирования привела к разработке теории линейного программирования в 30-х гг. XX в. Можно сделать вывод о том, что глубокое изучение экономических процессов и управление этими процессами невозможны без знания совре- менного математического аппарата. Математическая подготов- ка современного специалиста в области экономики имеет свои специфические особенности, связанные со сложностью прове- дения финансово-экономических операций и принятия рацио- нальных управленческих решений по ним.

Как наука математика имеет определенное математичес- кое мировоззрение, однако для специалистов в области эконо- мики, менеджмента, психологии и юриспруденции она явля- ется прежде всего мощным инструментарием при проведении необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом,

¹ Математической моделью изучаемого явления называется логи- ческая конструкция, которая отражает геометрические формы этого явле- ния и количественные соотношения между его числовыми параметрами.

на котором строится современное здание высшего профессио- нального образования.

Материал учебника представлен в виде десяти глав и пред- назначен для студентов 1-го и 2-го курсов экономических спе- циальностей и направлений вузов.

В первой главе “Основы дискретной математики” пред- ставлены основы теории множеств, введены элементы комби- наторики, основы теории графов и элементы математической логики. Вторая глава “Элементы линейной и векторной ал- гебры” посвящена матрицам, векторам, определителям и их свойствам, а также действиям над ними. Приведены методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В третьей главе “Функции и пределы” даны определение фун- кции, способы ее задания и основные свойства, а также поня- тия предела, методы его вычисления и понятие о комплексных числах. В четвертой главе “Основы дифференциального исчис- ления” кратко рассмотрены такие фундаментальные понятия, как производная, дифференциал, их геометрический смысл, дано понятие о функции многих переменных и о частных про- изводных, а также приведены некоторые сведения о прило- жениях дифференциального исчисления (формула Тейлора, правило Лопиталя, исследование функции одного и многих ар- гументов с помощью производной). В пятой главе “Элементы интегрального исчисления” раскрыто содержание интеграль- ного исчисления, приведены определения и свойства неопреде- ленного, определенного, несобственного и кратного интегралов, а также способы их вычисления. Рассматриваются некоторые приложения интегрального исчисления. Шестая глава “Неко- торые сведения о дифференциальных уравнениях” написа- на на основе материалов, изложенных в предыдущих главах. В ней представлены обыкновенные дифференциальные урав- нения первого и второго порядка, а также методы их решения. Особое место занимает решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Дано также понятие о решении систем дифференциальных уравнений. В седьмой главе “Ряды” имеются сведения о числовых, функциональных

и  степенных  рядах  и  рядах  Фурье.  Восьмая  глава  “Краткие свединия из теории вероятностей” посвящена основам иссле- дованиям случайных событий, величин и векторов. Основные понятия дают возможность на новом качественном уровне ис- следовать процессы и явления экономической жизни. В девя- той главе “Задачи линейного программирования и методы их решения” рассматриваются задачи оптимизации, крайне необ- ходимые в практике экономических расчетов и задачах мате- матического программирования. Десятая глава “Специальные задачи линейного программирования” является заключитель- ной,  в  которой  представлены  методы  решения  транспортной задачи и специальной многопродуктовой задачи по оптимиза- ции маршрутов перевозок.

Представленный курс математики охватывает большинст- во разделов, изучаемых студентами экономических специаль- ностей и направлений вузов. При написании книги авторы при- держивались современных точек зрения на понятия, о которых идет речь, и не отступали от общепринятых взглядов. Авторы стремились изложить материал в доступной для студентов форме. Однако авторы издания не претендуют на исчерпываю- щую широту охвата учебного материала из-за ограничений на объем книги.