Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид таких дифференциальных уравнений следу- ющий:

y ″ + ay ′ + by = f (x).                                (6.44)

Общее решение такого дифференциального уравнения по- лучается суммированием общего решения  соответствующего

однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y ″ + ay ′ + by = 0 и какого-то частного решения дифференциального уравнения (6.44).

Так как нахождение общего решения дифференциаль- ного уравнения вида (6.38) мы рассмотрели раньше, то ос- тается найти любое частное решение дифференциального уравнения (6.44).

Рассмотрим некоторые частные случаи, в которых реше- ние можно найти методом неопределенных коэффициентов.

1. Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (6.44) имеет вид

1

f (x) = P (x) e^nx.                                (6.45)

где P 1(x) — многочлен.

Тогда дифференциальное уравнение (6.44) имеет  частное

решение вида у = х^mP (x) e^nx, где P (x) — многочлен той же сте-

2                                  2

пени, что и P 1(x), причем если число n не является корнем ха- рактеристического уравнения k ² + ak + b = 0, то m = 0, а если является, то m — кратность этого корня.

Взяв решение в указанной форме, находим неизвестные коэффициенты многочлена P 2(x) по способу неопределенных коэффициентов. Правило сохраняется и в том случае, когда n =

= 0, т. е. в правой части стоит только многочлен P 1(x) (в этом случае надо проверить, не является ли ноль корнем характе- ристического уравнения, в частном случае многочлен P 1(x) мо- жет быть нулевой степени, т. е. постоянной величиной).

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 6.23.

Найдем общее решение дифференциального уравнения:

y ″ + 3 y ′ − 4 y = 4 + x.

Сначала найдем общее решение соответствующего одно- родного уравнения y ″ + 3 y ′ − 4 y = 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

k ² + 3 k − 4 = 0

D = 9 − 4⋅1(−4) = 25

Значит общее решение однородного дифференциального

уравнения будет равно y = C e^x + C e ^{−4 x}.

1       1              2

Правая часть рассматриваемого дифференциального урав-

нения имеет вид P (x) e^nx, причем n = 0, а P (x) = 4 + х.

1                                                                          1

Так как ноль не является корнем характеристического уравнения k ² + 3 k − 4 = 0, то частное решение заданного диффе- ренциального уравнения ищем в виде y 2 = Ax + B, где А и В — постоянные, которые нужно найти. Находим y ′2 = A; y ″2 = 0 и подставляем в исходное дифференциальное уравнение. Тогда получаем:

3 A − 4 Ax − 4B = 4 + x;

 

 

Поэтому частным решением заданного дифференциально- го уравнения будет функция

А его общим решением — функция

 

2.

Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (6.44) имеет вид

f (x) = a cos nx + b sin nx.                            (6.46) Если числа ± in не являются корнями характеристического уравнения, то дифференциальное уравнение (6.44) имеет част-

ное решение вида

y = A cos nx + B sin nx.

Если числа ± in есть корни характеристического уравне- ния, то частное решение (6.44) имеет вид

y = х (A cos nx + B sin nx).

В тех случаях, когда или а =0, или b =0 решение нужно ис- кать в указанном виде.

Пример 6.24. В качестве примера найдем общее решение дифференциального уравнения y ″ + 4 y ′ + 13 y = 3cos 2 x.

Сначала находим общее решение соответствующего одно- родного дифференциального уравнения y ″ + 4 y ′ + 13 y = 0.

Его характеристическое уравнение имеет вид:

(k ² + 4 k + 13) = 0;

D = −36;

k 1 = −2 + 3 i; k 2 = −2 − 3 i.

А его общее решение таково

y 1  = e ^{−2 x} (C 1cos 3 x + C 2sin 3 x).

Теперь находим частное решение исходного дифференци- ального уравнения. Его правая часть имеет вид (6.46), причем a = 3; b = 0; n = 2. Числа ±2 i не являются корнями характерис- тического уравнения, поэтому частное решение заданного не- однородного дифференциального уравнения ищем в виде y 2 =

= A cos 2x + B sin 2x, где А и В — неизвестные коэффициенты,

которые надо найти.

Дважды дифференцируем у 2 и результаты подставляем в исходное дифференциальное уравнение. Тогда получаем:

y ′2 = −2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x;

y ″2 = −4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x;

−4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x + 4(−2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x) +

+ 13 A cos 2 x + 13 B sin 2 x = 3cos 2 x;

−4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x − 8 A sin 2 x + 8 B cos 2 x +

+ 13 A cos 2 x + 13 B sin 2 x = 3cos 2 x.

Теперь приравниваем друг к другу одноименные коэффи- циенты при sin2 x и cos2 x и получаем:

И частное решение исходного дифференциального урав- нения будет следующим:

Поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения будет следующим:

3. Пусть правая часть дифференциального уравнения (6.44) имеет вид

f (x) = e^mx [ P 1(x)cos nx + P2(x)sin nx ],                            (6.47) где P 1(x) и P 2(x) многочлены.

Если числа m±in не являются корнями характеристическо-

го уравнения, то частное решение уравнения (6.44) ищут в виде

y = e^mx [ R 1(x)cos nx + R 2(x)sin nx ].

Если же числа m ± in являются корнями характеристическо- го уравнения, то частное решение уравнения (6.44) ищут в виде

y = xe^mx [ R 1(x)cos nx + R 2(x)sin nx ],

где R 1(x) и R 2(x) — многочлены степени, равной высшей из сте- пеней многочленов P 1(x) и P 2(x).

Пример 6.25.

Найти общее решение дифференциального уравнения y ″ +

+ y = 4 x sin x;

m = 0;

P 1(x) = 0; P 2(x) = 4 x;

n = 1.

Этот пример дается в качестве самостоятельного задания.

Можно убедиться, что общее решение данного урав- нения имеет вид y = С1cos x + C2sin x + x (- x cos x + sin x)

Теперь приведем метод Лагранжа (способ вариации про-

извольных постоянных), который позволяет находить общее решение дифференциального уравнения

y ″ + ay ′ + by = f (x), где f (x) — любая функция.

Чтобы применить описываемый метод, надо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

y ″ + ay ′ + by = 0,                              (6.48) где а и b могут быть как числами, так и некоторыми функциями от х. Будем считать, что а и b — числа.

Предположим, что дифференциальное уравнение (6.48), соответствующее дифференциальному уравнению (6.44), име- ет общее решение:

y = C 1 y 1 + C 2 y 2,

где С 1 и С 2 — произвольные постоянные.

Будем искать общее решение дифференциального уравне- ния (6.44) в виде

y = k 1(x) y 1 + k 2(x) y 2.                      (6.49)

Здесь k 1(x) и k 2(x) — неизвестные функции, которые надо определить, а у 1 и у 2 — известные частные решения дифферен- циального уравнения (6.48).

Продифференцируем (6.49) и получим:

y ′ = k ′1(x) y 1 + k 1(x) y ′1 + k ′2(x) y 2 + k 2(x) y ′2.

Так как надо найти две функции k 1(x) и k 2(x), то одним из соотношений между ними можно распорядиться произвольно.

Поэтому положим

k ′1(x) y 1 + k ′2(x) y 2 = 0.                              (6.50) Тогда y ′ = k 1(x) y ′1 + k 2(x) y ′2.

Последнее выражение продифференцируем второй раз и

получим:

y ″ = k ′1(x) y ′1 + k 1(x) y ″1 + k ′2(x) y ′2 + k 2(x) y ″2.

Теперь подставим в левую часть дифференциального уравнения (6.44) y, y ′, y ″ и получим:

k ′1(x) y ′1 + k 1(x) y ″1 + k ′2(x) y ′2 + k 2(x) y ″2 + ak 1(x) y ′1 + ak 2(x) y ′2 +

+ bk 1(x) y 1 + bk 2(x) y 2 = k ′1(x) y ′1 + k ′2(x) y ′2 + k 1(x)(y ″1 +

+ ay ′1 + by 1) + k 2(x)(y ″2 + ay ′2 + by 2) = f (x);

y ″1 + ay ′1 + by 1 = 0; y ″2 + ay ′2 + by 2 = 0,

так как у 1 и у 2 есть частные решения дифференциального урав- нения (6.48).

Поэтому для того, чтобы функция (6.49) была общим реше- нием (6.44) необходимо выполнения двух условий.

                              (6.51)

Для того чтобы система (6.51) имела решения, необходимо, чтобы ее определитель не был равен нулю, т. е.

Заметим, что этот определитель называется определите- лем Вронского.

Из системы (6.51) сначала находим k ′1(x) и k ′2(x), а затем интегрированием определяем сами функции k 1(x) и k 2(x). Если при интегрировании k ′1(x) и k ′2(x) ввести произвольные посто- янные, то сразу получим общее решение дифференциального уравнения (6.44).

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 6.26.

Исходному дифференциальному уравнению соответству- ет однородное дифференциальное уравнение y ″ + 2 y = 0, харак- теристическое уравнение которого имеет вид

Поэтому запишем общее решение исходного дифференци- ального уравнения в виде

, здесь k 1 и k 2 — функции от x.

А затем составим систему уравнений (6.51) для нахожде- ния k ′1 и k ′2

Решаем систему и получаем

 

 

 

Интегрируем k ′1, k ′2 и находим

 

,

где С 1 — произвольная постоянная.

 

где С 2 — произвольная постоянная.

Теперь общее решение исходного дифференциального уравнения мы запишем в виде: