Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка

Дифференциальное уравнение

.                                                          (6.6)

можно свести к однородному дифференциальному уравнению. Возможны два случая:

1)                   .

 

Делаем замену

(6.7)

 

где t и k постоянные.

После замены дифференциальное уравнение (6.6) прини- мает следующий вид:

  (6.8)

Для того чтобы полученное дифференциальное уравне- ние стало однородным, необходимо выполнение следующих условий:

                                                                                      (6.9)

Из решения системы (6.9) получим неизвестные постоян- ные t и k, подставим их в (6.8) и получим однородное диффе- ренциальное уравнение, метод решения которого мы рассмат- ривали ранее.

2)  .

В этом случае используем подстановку a 1 x + b 1 y = p, с по- мощью которой исходное дифференциальное уравнение сво- дится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 6.6.

Найти общее решение дифференциального уравнения. (2 x – y + 1) dx + (- x + 2 y - 1) dy = 0;

(x - 2 y + 1) dy = (2 x – y + 1) dx.

,

т. е. имеем первый случай. Делаем замену переменной:

 

 

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид:

.                        (6.10)

 

Неизвестные постоянные t и k найдем из решения системы:

Умножаем второе уравнение системы на (-2) и складываем с первым: 3 k − 1 = 0.

Поэтому k = 1/3.

Из второго уравнения системы находим t = 2 k − 1 = 2/3 − 1 =

= -1/3.

Подставляем найденные значения k и t в уравнение (6.10) и получаем

.

 

Из сделанной нами замены переменных следует, что dx = du, а dy = dv. Поэтому имеем:

 

.

Полученное дифференциальное уравнение является одно- родным. Для его решения сделаем еще одну замену, обозначим z = v / u. Далее получаем v = z · u.

.

После подстановки однородное дифференциальное урав- нение принимает вид:

 

Полученное дифференциальное уравнение является диф- ференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и получаем:

Интегрируем обе части последнего выражения: Далее получаем:

 

Делаем обратную подстановку и получаем:

Теперь надо возвратиться к переменным y и x. Учитывая, что u = x + 1/3, а v = y − 1/3, получаем:

Последнее выражение и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пример 6.7.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

,

т. е. имеем второй случай.

Исходное дифференциальное уравнение представляется в виде

Делаем замену x + 2 y = p, дифференцируем р по аргумен- ту х и получаем:

.

Далее имеем: .

После подстановки исходное дифференциальное уравне- ние принимает вид:

.

 

,

т. е. получили дифференциальное уравнение с разделяющими- ся переменными. Разделяя их, получаем:

.

Интегрируем обе  части  последнего  выражения  и  получаем: .

Для взятия интеграла делим числитель подынтегрального выражения на знаменатель, т. е.

– 2р + 3 4р + 5      

 2р + 2,5 1/2

1/2

Поэтому получаем:

;

;

;

.

Делаем обратную замену и получаем:

 .

Полученное выражение и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.