Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка
Дифференциальное уравнение . (6.6)
1) .
(6.7)
где t и k постоянные. После замены дифференциальное уравнение (6.6) прини- мает следующий вид: (6.8) Для того чтобы полученное дифференциальное уравне- ние стало однородным, необходимо выполнение следующих условий: (6.9) Из решения системы (6.9) получим неизвестные постоян- ные t и k, подставим их в (6.8) и получим однородное диффе- ренциальное уравнение, метод решения которого мы рассмат- ривали ранее. 2) . В этом случае используем подстановку a 1 x + b 1 y = p, с по- мощью которой исходное дифференциальное уравнение сво- дится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Пример 6.6. Найти общее решение дифференциального уравнения. (2 x – y + 1) dx + (- x + 2 y - 1) dy = 0; (x - 2 y + 1) dy = (2 x – y + 1) dx. ,
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид:
Неизвестные постоянные t и k найдем из решения системы: Умножаем второе уравнение системы на (-2) и складываем с первым: 3 k − 1 = 0. Поэтому k = 1/3. Из второго уравнения системы находим t = 2 k − 1 = 2/3 − 1 = = -1/3. Подставляем найденные значения k и t в уравнение (6.10) и получаем
. Полученное дифференциальное уравнение является одно- родным. Для его решения сделаем еще одну замену, обозначим z = v / u. Далее получаем v = z · u. . После подстановки однородное дифференциальное урав- нение принимает вид:
Интегрируем обе части последнего выражения: Далее получаем:
Делаем обратную подстановку и получаем: Теперь надо возвратиться к переменным y и x. Учитывая, что u = x + 1/3, а v = y − 1/3, получаем:
Последнее выражение и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Пример 6.7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
т. е. имеем второй случай. Исходное дифференциальное уравнение представляется в виде Делаем замену x + 2 y = p, дифференцируем р по аргумен- ту х и получаем: . Далее имеем: . После подстановки исходное дифференциальное уравне- ние принимает вид:
т. е. получили дифференциальное уравнение с разделяющими- ся переменными. Разделяя их, получаем:
Интегрируем обе части последнего выражения и получаем: . Для взятия интеграла делим числитель подынтегрального выражения на знаменатель, т. е. – 2р + 3 4р + 5 2р + 2,5 1/2 1/2 Поэтому получаем: ; ; ; . Делаем обратную замену и получаем: . Полученное выражение и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 124; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.252.140 (0.012 с.) |