Интегрирование дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома — это интеграл вида

,                                                            (5.5)

где a, b ∈ R, m, n, p ∈ Q.

Как показал П. А. Чебышев, интегралы вида (5.5) «берутся» лишь в следующих случаях:

1) если p ∈ Z, используется подстановка x = y^k, где k − на- именьшее общее кратное знаменателей дробей n и m;

2)  ∈ Z, то применяется подстановка (bxⁿ + a) = y^S, где

S − знаменатель дроби p;

3) если  ∈ Z, то применяется подстановка a · x^-n + b =

= y^S, где S − знаменатель дроби p.

Приведем конкретные примеры:

Пример 5.23.

Рассмотренный пример относится к первому случаю. Кро- ме этого для “взятия” интеграла мы использовали метод интег- рирования по частям.

Пример 5.24.

В данном случае m = 5; n = 3; p = 2/3; . Поэтому имеем случай 2 и применяем подстановку (1 + х ³) = y ³ → х ³ = y ³ − 1;

x = (y ³ − 1)^1/3;

 .

Следовательно, получаем

 

.

 

Пример 5.25.

, т. е. в данном случае имеем

 

m = -3; n = 3; p = -1/3. Поэтому получаем                                ,

т. е. имеем случай 3. Используем подстановку 2 − x ³ = x ³ y ³ или 2 х ^-3 − 1 = y ³.

;

;

 

.

 

Следовательно, исходный интеграл примет вид

Определенный интеграл

К понятию определенного интеграла можно прийти, рас- сматривая различные задачи, например нахождение площади плоской фигуры, вычисление работы переменной силы, опре- деление пути по заданной переменной скорости.

Найдем площадь криволинейной трапеции, т. е. фигуры, которая ограничена осью 0 х, графиком непрерывной функции y = f (x) и двумя прямыми x = a и x = b (рис. 5.2). Пока будем считать, что криволинейная трапеция расположена над осью 0х, т. е. f (x) > 0.

 

 

M 1           M 2                         M 3                                      M n - 1 M n

Рис. 5.2

Разделим отрезок [ a, b ] на n частичных интервалов: [ x 0, x 1], [ x 1, x 2], …, [ x n -1, x n ].

В точках деления отрезка [ a,b ] проведем прямые, парал-

лельные оси 0 y, и разобьем криволинейную трапецию aABb на n частичных трапеций. В каждом из частичных интервалов возьмем по произвольной точке М 1, М 2,…, М n (некоторые из этих точек могут совпадать с точками деления отрезка [ a, b ]).

Через точки М 1, М 2,…, М n проведем прямые, параллельные оси 0 y до пересечения с функцией y = f (x). Отрезки этих пря- мых f (M 1), f (M 2), …, f (M n) есть ординаты графика функции y = f (x). Взяв частичные интервалы за основания, построим на них n прямоугольников с высотами, равными f (M 1), f (M 2), …, f (M n). В результате мы получим ступенчатую фигуру, состоящую из n прямоугольников. Так как площадь любого из прямоугольни- ков будет равна f (M i)(x i − x i - 1), , то площадь ступенчатой фигуры можно найти по формуле

 

(5.6)

 

При неограниченном увеличении количество частичных интервалов (n →) и при стремлении длины наибольшего из них к нулю ступенчатая фигура будет неограниченно прибли- жаться к криволинейной трапеции aABb, т. е. получим

                                          (5.7)

Зная площадь криволинейной трапеции, мы можем нахо- дить площади любых плоских фигур (этот вопрос мы подробнее рассмотрим ниже). К выражению вида (5.7) приводят и другие задачи (нахождение работы переменной силы, вычисление пути по заданной переменной скорости).

Теперь приведем строгое определение определенного ин- теграла.

Впервые для непрерывной функции оно было дано в 1823 г. французским математиком Коши, а позднее немецкий матема- тик Риман показал, что определение Коши применимо к более широкому классу функций. Это позволило ему впервые дать в общей форме определение интеграла и определить условие его существования.

Рассмотрим непрерывную на отрезке [ a, b ] функцию y =

= f (x) (f (x) не обязательно положительна на [ a, b ]).  Отрезок

[ a, b ] разбивается на n частичных интервалов точками a = x 0, x 1, x 2, …, x n = b причем x 0 < x 1 < x 2 <…< x n.

Во всех частичных интервалах [ x 0, x 1], [ x 1, x 2], …, [ x n -1, x n ]

берутся произвольно точки М 1, М 2, …, М n, находятся значения функций y = f (x) в этих точках f (M 1), f (M 2), …, f (M n).

Составляем сумму вида

 

где x i = x i − x i -1.

(5.8)

Затем находим предел интегральной суммы (5.8) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала, т. е. при max x i → 0.

(5.9)

 

В рассмотренной нами задаче о криволинейной трапеции предел (5.9) определяет ее площадь. В общем случае он называ- ется определенным интегралом от функции f (x) в пределах от a до b и читается: интеграл от a до b f (x) по dx. Таким образом, согласно определению, получаем:

.                                       (5.10)

Сумма в выражении (5.8) называется n -й интегральной суммой.

Как и в неопределенном интеграле f (x) — есть подынтег- ральное функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, пе- ременная х — переменная интегрирования, отрезок [ a, b ] на- зывается интервалом интегрирования, а числа а и b нижним и верхним пределами соответственно.

Определенный интеграл есть некоторое число, а величина его зависит только от вида функции f (x) и от чисел а и b. Заме- тим, что площадь криволинейной трапеции — это геометричес- кий смысл определенного интеграла. Вычисление определенно- го интеграла с помощью составления интегральных сумм вида

(5.8) вызывает серьезные проблемы даже в самых простых слу- чаях, поэтому для их нахождения используют другой способ, который мы рассмотрим ниже.

Теперь приведем без доказательства теорему существова- ния определенного интеграла.

Теорема 5.2. Если функция f (x) непрерывна в отрезке [ a,b ], то ее n -я интегральная сумма стремится к пределу при стрем- лении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Этот предел, т. е. определенный интеграл

 ,

не зависит ни от способа разбиение [ a, b ] на частичные интерва- лы, ни от выбора в этих интервалах промежуточных точек.