Несобственный интеграл первого рода

Распространим понятие определенного интеграла на слу- чай бесконечного интервала интегрирования.

Предположим, что функция y = f (x) непрерывна на интер- вале [ a, +). Тогда можно найти интеграл от функции f (x), ко- торый взят по любому интервалу [ a, b ], где b > a.

Интеграл  тем лучше выражает значение, которое надо принять в качестве интеграла от функции f (x) в интерва- ле [ a, +), чем больше b.

Пусть b неограниченно возрастает, тогда есть две возмож-

ности:  или  при b → + имеет предел, или данный ин- теграл предела не имеет, а это означает, что он или стремится    к бесконечности, или колеблется, т. е. не стремится ни к какому пределу.

Теперь дадим определение несобственного интеграла.

Несобственным интегралом от функции f (x) в интервале

[ a, +) называется предел интеграла               при b →. Это за- писывается следующим образом

(5.13)

 

Если предел (5.13) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходя- щимся.

Если первообразная функция F (x) для подынтегральной функции f (x) известна, то можно определить, сходится несобс- твенный интеграл или нет. Используем формулу Ньютона- Лейбница и получим:

Поэтому если предел первообразной F (x) при x → + су- ществует, то несобственный интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл в ин- тервале (-; b):

Если функция f (x) определена и непрерывна в интервале (-; +), то получим

Если оба интеграла в правой части последнего выражения сходятся, то интеграл    сходится, а если хотя бы один из

них расходится, то и             расходится. Если известна первообразная F (x), то

 

 

Сходящиеся несобственные интегралы имеют опреде- ленный геометрический смысл. Например, график функции y = f (x) ограничивает криволинейную трапецию с бесконечным основанием (рис. 5.4).

Если несобственный  интеграл   сходится, то за- штрихованная фигура имеет площадь, которая равна этому интегралу. А если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.

Теперь приведем конкретные примеры решения несобс- твенных интегралов.

Пример 5.34.

Вычислим

 

Рис. 5.4

[Делаем замену переменной  Затем меняем пределы интегрирования y (0) = 0; y () = -.] Тогда получим

 

 

т. е. несобственный интеграл        сходится и равен

Пример 5.35.

рал расходится.

Пример 5.36.

т. е. данный интег-

 

 

Величина                          не стремится к определенному пределу при b → (колеблется).

Пример 5.37.

т. е. данный интеграл расходится.

Часто важно знать не конкретное значение несобственного интеграла, а сходится он или расходится. Для этого использу- ются признаки сравнения, которые мы и приводим.

1.
Если для x (x a) выполняется неравенство 0 f (x) (x) и если  сходится, то сходится и , при этом выпол- няется неравенство

Например, проверим сходится ли интеграл

 

При х 1,

Теперь рассмотрим, сходится ли несобственный интеграл:

т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходит- ся  и его значения меньше 1.

2. Если для x (x a) выполняется неравенство 0 (x) f (x), причем  расходится, то расходится и

Например, проверим сходимость интеграла

Очевидно, что

 

Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл

т. е. данный интеграл расходится. Поэтому по признаку 2 рас- ходится

 

 

3. Если несобственный интеграл  сходится, то схо- дится и интеграл . Последний интеграл в этом случае называется абсолютно сходящимся.

В качестве примера проверим сходимость интеграла

На интервале [1;) подынтегральная функция           знако- переменная.

Видно, что             . Теперь рассмотрим, сходится ли

несобственный интеграл

т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится

а, следовательно, по признаку 3 сходится и интеграл

При использовании признаков сравнения надо иметь запас функций, несобственные интегралы от которых или сходятся, или расходятся и результат этот нам известен заранее. Эти функции мы будем использовать в качестве (х).