Дифференциальные уравнения второго порядка, решаемые с помощью понижения порядка

Сущность данного способа состоит в том, что, используя замену переменной, исходное дифференциальное уравнение сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравне- ний, которые допускают понижение порядка.

1) y ″ = f (y).

Данное дифференциальное уравнение интегрируется с по- мощью подстановки y ′ = p, (6.37) которая приводит исходное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися перемен- ными. Получаем

.

 

Поэтому имеем                . Далее, разделяя переменные, получаем

p · dp = f (y) dy.

Из полученного уровнения получаем р, а из уравнения  находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения f (x, y, C 1, C 2) = 0.

2) y ″ = f (y ′).

Данное дифференциальное уравнение с помощью подста- новки

y ′ = p                                                                             (6.37)

приводится к дифференциальному уравнению с разделяющи- мися переменными:

, т. е. , а далее, разделяя переменные,

получаем          .

3) y ” = f (x, y ’).

Используем подстановку (6.37) и приводим данное диффе- ренциальное уравнение к следующему виду:

.

Решая данное уравнение, определяем неизвестную функ- цию p.

4) y ” = f (y, y ’)

Применяя замену переменной (6.37), приводим это диффе-

ренциальное уравнение к виду                  , где у является ар- гументом.

Теперь рассмотрим несколько конкретных примеров.

Пример 6.16.

Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение вида 3. Поэтому используем подстановку

y ′ = p и получаем

.

Полученное дифференциальное уравнение является ли- нейным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения применим метод Бернулли.

p = U · V; p ’ = U ’ · V + V ’ · U.

Используя данную подстановку, получаем:

;

.

В качестве функции V примем какое-то конкретное диф- ференциального уравнения:

V ′ − 2/ x · V = 0

Тогда функцию U найдем из дифференциального урав- нения

U ′ · V = 2 x ³;

, или .

Интегрируя, получаем ln| V | = 2ln| х |, или V = x ². Зная функцию V, ищем функцию U.

, или             .

Из последнего выражения находим

1

U = x ² + C.

1

1

Следовательно, p = (x ² + C) · x ² = x ⁴ + C · x ².

, находим ;

 

Последнее выражение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 6.17.

Найти общее решение дифференциального уравнения 1 + (y ′)² − 2 y · y ″ = 0.

Это дифференциальное уравнение вида 4. Поэтому, ис- пользуя подстановку y ′ = p, получаем

.

 

 

1

ln |1+ p ²| = ln | y | + ln | C |;

1

1 + p ² = y · C;

.

Учитывая, что  получаем , или

.

;

 

Это выражение и есть общее решение исходного диффи- ринциального уравнения.

Пример 6.18.

Найти частное решение диффиринциального уравнения

y ″ = y ′ · ln y ′, если заданы начальные условия ; .

Это уравнение 2. Поэтому используем подстановку y ′ = p. Исходное дифференциальное уравнение запишется в виде

 

; ; ;

.

Так как постоянная может быть любой,  обозначим  и тогда получаем.

Имея в виду, что    , получим . Делаем под- становку e ^x = z, x = ln z, dx = dz / z.

Тогда получаем .

.

Интеграл, стоящий в правой части последнего выражения, является “неберущимся”, т. е. он не выражается в элементар- ных функциях. Для его решения надо использовать численные методы, например разложить в ряд подынтегральную функ- цию e^z.

Мы же воспользуемся тем, что надо найти не общее, а част- ное решение исходного дифференциального уравнения. Опре-

делим это частное решение без нахождения общего, используя заданные начальные условия.

Используем  начальное  условие                  к уравнению

. Обозначим  и получим       .

После подстановки начальных условий имеем

. Поэтому имеем y ′ = 1 или y = x + C 4.

Для нахождения постоянной С4 используем начальное ус- ловие  и получаем C 4 = 0.

Поэтому получаем частное решение y = x, удолетворяю-

щее заданным начальным условиям.

Пример 6.19.

Найти  общее решение дифференциального  уравнения

. Это уравнение вида 1, поэтому применяем замену у ′ = р

и получаем .

Разделяем переменные и имеем ;

;

.

 

Учитывая, что , имеем                    . Разделяя пе- ременные, получаем.

 

,

 

,                             .

Последнее выражение и есть общее решение исходного дифференциального уравнения.