Признаки сходимости положительных числовых рядов

Признаки сравнения

Если все члены рядов

u 1 + u 2 + … + u n + …                                  (7.2)

v 1 + v 2 + … + v n + …                                (7.3)

неотрицательны и u n v n, n = 1, 2, 3, …, то из сходимости ряда (7.3) следует сходимость ряда (7.2). Из расходимости ряда (7.2) следует расходимость ряда (7.3).

Если все члены рядов (7.2) и (7.3) положительны и сущест- вует  0 < C < +, то эти ряды сходятся или расходят- ся одновременно.

Пример 7.5.

Ряд  расходится, так как гармонический ряд  расходится и

Пример 7.6.

Ряд  расходится, так как его члены (начиная со второго) больше соответствующих членов гармони- ческого ряда , который расходится.

Признак Коши

Если все члены ряда w 1 + w 2 + … + w n + … неотрицательны и  существует , то при b < 1 этот ряд сходится, а при b > 1 расходится (при b = 1 данный признак не дает возможнос- ти судить о поведении ряда).

Пример 7.7.

Исследуем сходимость ряда

Применяем к данному ряду признак Коши

и видим, что он сходится.

Признак Даламбера

Если все члены ряда w 1 + w 2 + … + w n + … положительны и существует , то при l < 1 этот ряд сходится, а при l > 1 этот ряд расходится (при l = 1 данный признак не дает возмож- ности судить о поведении ряда).

Пример 7.8. Исследуем сходимость ряда

Применяем к данному ряду признак Даламбера

 

и видим, что он сходится.

Интегральный признак сходимости Коши

Если W n = f (n), n = 1, 2, 3, …, где f (n) — значение при x = n некоторой функции f (x), непрерывной, положительной и не воз- растающей при x 1, то ряд w 1 + w 2 + … + w n + … сходится или расходится в зависимости от того, существует или нет конечный

.

Пример 7.9.

Исследуем сходимость ряда

Применяем к данному ряду интегральный признак сходи- мости Коши, положив  :

,

 

т. е. ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов

Числовой ряд

w 1 + w 2 + … + w n + …                                (7.4) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, состав- ленный из абсолютных величин его членов:

| w 1| + | w 2| + … + | w n | + …                           (7.5)

Абсолютно сходящийся ряд всегда сходится. Если ряд (7.4) сходится, а ряд (7.5) расходится, то говорят, что ряд (7.4) схо- дится условно.

Теперь приведем теорему Лейбница, которая применяется для знакочередующихся рядов; т. е. рядов, у которых положитель- ные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.

Теорема 7.2. Ряд

w 1 - w 2 + w 3 - w 4 + … + (-1) ^{n -1} w n + …,

где все w n > 0, сходится, если все его члены таковы, что w 1 > w 2 >

> w 3 > … > w n > … и , а его сумма положительна и не

превосходит первого члена.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

1. Если ряд сходится абсолютно, то новый ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

2. Если ряд сходится условно, то какое бы число S ни взять, можно так переставить члены в этом ряде, чтобы сумма преоб- разованного ряда была равна именно S.

3. Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены в этом ряде, что новый ряд будет расходиться.

Функциональные ряды

Выражение вида

(7.6)

 

где W 1(x), W 2(x), …, W n (x), … — некоторые функции, определен- ные на одном и том же множестве D, называется функциональ- ным рядом.

Множество E D всех значений x, при которых функцио- нальный ряд (7.6) сходится (как числовой ряд), называется об- ластью сходимости этого ряда. Функция S (x), x E является суммой ряда (7.6), если

,

где S n (x) = W 1(x) + W 2(x) + … + W n (x).

Если функция S (x), x P (P E) является суммой ряда (7.6), то говорят, что этот ряд сходится на множестве Р к функ- ции S (x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящим- ся на множестве P к функции S (x), если для числа > 0 су- ществует такой номер N, что при n N сразу для всех x P выполняется неравенство

| S (x) - S n (x)| <.

Если функциональный ряд сходится на множестве P, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, но на некотором подмножестве множества P сходимость может оказаться равномерной.

Приведем признак равномерной сходимости Вейерштрас- са. Если члены функционального ряда

W 1(x) + W 2(x) + … + W n (x) + …

удовлетворяют на множестве P неравенствам

| W n (x)| W n (n = 1, 2, 3, …), где W n — члены сходящегося числового ряда

W 1 + W 2 + … + W n + …,

то функциональный ряд сходится на множестве P равномерно.

Пример 7.10.

Ряд                                          сходится на P = (-; +)

равномерно, так как всегда                 и ряд  сходится.

Если функции W n (x) непрерывны на [ a, b ], а составленный из них ряд W 1(x) + W 2(x) + … + W n (x) + … сходится равномерно на этом отрезке к функции S (x), то:

1) функция S (x) на [ a, b ] непрерывна;

2)

Пример 7.11.

Ряд 1 + x + x ² + … + x^{n -1} + … на отрезке  сходится рав- номерно к функции, поэтому

или .

Если функции W n (x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a, b ] и на этом отрезке:

1) ряд W 1(x) + W 2(x) + … + W n (x) + … сходится к функции S (x);

2) ряд W 1 (x) + W 2 (x) + … + W n   (x) + …

сходится равномерно, то S (x) имеет на [ a, b ] непрерывную про- изводную и

S (x) = W 1 (x) + W 2 (x) + … + W n   (x) + ….

Степенные ряды

Функциональный ряд.

                                                  (7.7)

где a n (n = 0, 1, 2, …) и x 0 — некоторые числа, называют степен- ным рядом с центром в точке x 0.

Возможны следующие три случая:

1) степенной ряд (7.7) сходится только при x = x 0 (везде расходящийся ряд);

2) степенной ряд (7.7) сходится (причем абсолютно) при любых значениях (всюду сходящийся ряд);

3) существует число R > 0 такое, что ряд (7.7) сходится аб- солютно при | x - x 0| < R и расходится при | x - x 0| > R (радиус сходимости ряда). R = 0 для всюду расходящегося ряда и R = для всюду сходящегося ряда.

Интервал (x 0 - R, x 0 + R) называют интервалом сходимости степенного ряда (7.7). При этом на концах интервала сходимос- ти степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример 7.12.

Найдем область сходимости степенного ряда

Положим  Тогда по признаку Даламбера имеем

следовательно, данный степенной ряд сходится абсолютно при

| x | < 2 и расходится при | x | > 2, а радиус его сходимости равен 2 (R = 2).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходи- мости: при x = 2 ряд  расходится, а при x = -2

ряд  сходится. Поэтому область схо- димости исходного степенного ряда E = [-2; 2).