Некоторые приложения двойного интеграла

Мы уже говорили о том, что геометрический смысл двой- ного интеграла — это объем цилиндрического тела. Поэтому будет верна следующая формула:

,                                                          (5.35)

где f (x, y) — уравнение поверхности, которая ограничивает тело; В — проекция поверхности f(x,y) на плоскость 0 ХУ.

Если положить в формуле (5.35) f (x, y) = 1, то цилиндри- ческое тело превратится в прямой цилиндр высотой, равной единице. Его объем будет равен площади (S) основания В. Поэ- тому получаем формулу для определения площади области В:

.                                                                    (5.36)

 

Приведем некоторые примеры.

Пример 5.56.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х ² − 2 х;

у = х.

Построим фигуру В и найдем пределы интегрирования (рис. 5.41). Используем формулу (5.36) и получаем:

 

кв.ед.

 

 

 

Пример 5.57.

Рис. 5.41

Найдем объем шара, ограниченного сферой радиуса R

(рис. 5.42).

Известно, что уравнение шара имеет вид: х ² + у ² + z ² = R ²

или                     .

 

Рис. 5.42

Шар — фигура симметрич- ная. Поэтому вычислим объем 1/8 его части, которая лежит в первом октанте (рис. 5.43).

Проекция на плоскость 0ХУ — это окружность х ² + у ² = R ² или .

Теперь по формуле (5.35) по-

лучаем:

 

.                   Рис. 5.43

Чтобы упростить вычисления полученного повторного ин- теграла, перейдем к полярной системе координат: y = r · sinϕ, x = r · cosϕ, dхdy = rdrd ϕ.

Тогда получаем:

Cледовательно, искомый объем шара будет равен V = 4/3π R ³.

 

Некоторые сведения о тройном интеграле

Тройной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции трех независимых аргументов. К понятию тройного интеграла можно прийти, рассматривая, например, задачу о нахождении массы неоднородного тела.

Предположим, что имеется некоторое тело, которое зани- мает пространственную область G (рис. 5.44), а плотность рас- пределения массы в этом теле — непрерывная функция коор- динат точек этого тела, т. е. ρ = ρ(x, y, z) [9, 48].

 

Рис. 5.44

Произвольно разобьем данное тело на n частей g 1, g 2, …, g n. Их объемы обозначим ∆ V 1, ∆ V 2, …, ∆ V n. Выберем в этих частях

точки C 1(x 1, y 1, z 1), C 2(x 2, y 2, z 2), …, C n (x n, y n, z n). Далее, предпо- лагая, что в каждой из частей плотность постоянна и равна ее значению в точке , запишем приближенную формулу для массы всего тела [9, 48]:

(5.37)

 

Предел суммы (5.37) в том случае, если n → ∞ и максималь- ный диаметр каждой части стремится к нулю, и есть масса ис- ходного тела, т. е.

(5.38)

 

Сумма (5.37) называется n -й интегральной суммой, а ее предел (5.38) — тройным интегралом от функции ρ(x, y, z) по области G.

К вычислению тройного интеграла приводит, кроме рас- сматриваемой нами задачи, и ряд других задач. Теперь рас- смотрим непрерывную в области G функцию W = f (x, y, z). Ра- зобьем область G на n частей g i объемами                                                                           и в каждой части выберем  произвольную  точку    . Составим интег- ральную сумму

                                                                                  (5.39)

и  найдем  ее  предел  при  стремлении   n → ∞ и  максимального диаметра каждой части к нулю.

Этот предел и называют тройным интегралом от функции

W = f (x, y, z) по области G и обозначают следующим образом:

,              (5.40)

 

где f (x, y, z) — подынтегральная функция;

dV — элемент объема.

Теперь сформулируем теорему о существовании тройного интеграла.

Теорема 5.5. Если функция W = f (x, y, z) непрерывна в ог- раниченной замкнутой области G, то существует предел интег-

ральной суммы (5.39) при n → ∞ и max diam g i → 0 и этот предел (тройной интеграл) не зависит от метода разбиения области G на части g i и от выбора точек C i (x i, y i, z i) в них.

Свойства тройных интегралов полностью совпадают со свойствами двойных интегралов, некоторые из которых пере- числены в подразд. 5.6.