Бывает случаи, когда формулу (5. 2) надо применять несколько раз.

Пример 5.7.

чим

[К интегралу                     опять применим формулу (5.2), полу-

 

u = cos x; du = -sin xdx; dv = e^xdx; v = e^x ]

=

 

 

Переносим             в левую часть равенства и получим: (постоянная может быть любой, возьмем ее равной 2 С),

Пример 5.8.

Переносим             в левую часть и получаем

 

3. Метод замены переменной. Его применяют в том слу- чае, если исходный интеграл сложно или невозможно с помо- щью алгебраических и иных преобразований свести к одному или нескольким табличным интегралам.

Способ заключается в следующем: заменяется новой пе- ременной такая часть подынтегральной функции, при диффе- ренцировании которой получается оставшаяся часть подын-

тегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить или разделить подынтег- ральное выражение).

Метод замены переменной основан на следующей теореме. Пусть некоторая функция (t) = x определена и дифференци- руема на некотором промежутке [ a, b ], пусть X — множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве Х функция f (x) имеет первообраз- ную, то на отрезке [a, b] справедлива формула

.                                       (5.3)

В некоторых случаях лучше использовать замену пере- менной не в виде x = (t), а t = (x).

Приведем конкретные примеры.

Пример 5.9.

Найти

[Можно разложить подынтегральную функцию, используя бином Ньютона, но это будет слишком длинно, поэтому де-

лаем замену переменной:                                                       поэтому полу- чим]

= [Или, возвращаясь к первоначальной переменной х, имеем]

 

Пример 5.10.

[Теперь делаем замену переменной

[Возвращаем переменную х и получаем]

Пример 5.11.

=[Теперь делаем замену переменной

[Возвращаем переменную х и получаем]

Пример 5.12.

[Заметим, что

= [Делаем замену переменной y = x ³ + 7] [Возвращаем переменную х и получаем]

Пример 5.13.

[Заметим, что

 

 

[Теперь делаем замену переменной

[Возвращаем переменную х ]

Пример 5.14.

[Заметим, что ]

[Теперь делаем замену переменной t = sin² x ] [Возвращаем переменную х ]

 

Интегрирование рациональных дробей

Любая рациональная функция R (x) может быть представле-

на в виде дроби, т. е.  где P (x) и Q (x) — многочлены.

Если степень числителя (m) больше или равна степени знаменателя (n), то, разделив P (x) на Q (x), получим многочлен P 1(x) и в остатке многочлен P 2(x) не выше (n − 1) степени, т. е.

 Интегрирование P 1(x) проходит без проблем. Надо проинтегрировать правильную рациональную дробь, степень числителя которой меньше степени знаменателя .

 можно  представить  в  виде  суммы  простейших  дробей

двух видов  где A i, B i, C i — постоянные.

Каждому множителю (x − a) ^k в представлении знаменате- ля Q (x) соответствует в разложении дроби     на слагаемые сумма k простейших дробей вида:

Каждому множителю (x ² + px + q) ^t соответствует сумма t простейших дробей вида:

 

 

Имеет место следующее разложение дроби           на слага- емые:

Пример 5.15.

[Делаем замену переменной, обозначив  тогда получим

 

 

 

Дробь              — правильная рациональная дробь; раз- ложим ее на простейшие дроби (см. 5.4)

 

где А и В неизвестные коэффициенты, которые необходимо найти. Освобождаясь от знаменателя, имеем:

1 = A (y + 1) + B (y − 1);

1 = Ay + A + By − B.

Приравнивая коэффициенты при y и y ⁰, получим систему уравнений для определения А и В.

 

и

Тогда получим:

и искомый интеграл примет вид:

[Заметим, что d (y + 1) = dy и d (y − 1) = dy ] [Возвратим переменную e^x ]