Экстремумы функций двух и многих аргументов

Понятие экстремума функции двух аргументов аналогич- но соответствующему понятию функции одного аргумента.

Пусть функция Z = f (х, y) определена в некоторой области

D плоскости Х0Y, а точки А(х 1, y 1) и В (х 2, y 2) принадлежат D. Определения. Точка А (х 1, y 1) есть точка максимума функ-

ции Z = f (х, y), если f (х 1, y 1) является наибольшим значением

функции Z = f (х, y) в некоторой окрестности точки А (х 1, y 1). Аналогично, точка В (х 2, y 2) есть точка минимума функции Z = f (х, y), если f (х 2, y 2) является наименьшим значением функ- ции Z = f (х, y) в некоторой окрестности точки В (х 2, y 2).

Часто говорят, что функция Z = f (х, y) достигает в точках

А (х 1, y 1) и В (х 2, y 2) экстремума.

Заметим, что экстремум функции двух аргументов всегда лежит внутри области определния функции (это следует из оп- ределния).

Точки максимума и минимума функции двух аргументов показаны на рис. 4.21.

 

Х

Рис. 4.21

Приведем необходимое условие экстремума функции двух независимых аргументов.

Теорема 4.7. Если в точке С (х 0, y 0) дифференцируемая функция Z = f (х, y) имеет экстремум, то ее частные производ- ные в этой точке равны нулю, т. е.

Точка С (х 0, y 0), в которой частные производные функции Z = f (х, y) обращаются в ноль, называется стационарной точ- кой функции Z = f (х, y).

Геометрически необходимый признак означает, что в экст- ремальной точке касательная плоскость к поверхности парал- лельна плоскости Х0Y.

Точками экстремума непрерывной функции двух аргумен- тов могут быть точки, в которых функция недифференцируе- ма. Этим точкам соответствуют острия поверхности графика функции Z = f (х, y) (рис. 4.22).

 

Х

Рис. 4.22

Например,  функция  имеет минимум в начале координат, но в этой точке функция недифференцируема. Дан- ная функция представляет собой круглый конус с вершиной в начале координат.

Следовательно, точками экстремума функции двух аргу- ментов могут быть точки, где либо одновременно f ′ х (х, y) = 0, f ″ y (х, y) = 0, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует. Точки этих двух типов называют критическими.

Аналогично определяется экстремум функции любого числа независимых аргументов W = f (х 1, х 2, …, х n) и вводятся необходимые условия экстремума.

Теорема 4.8. Дифференцируемая функция W = f (х 1, х 2, …, х n) имеет экстремумы только при тех значениях х 1, х 2….. х n, при которых равны нулю все ее n частных производных первого по- рядка, т. е.

 

 

Поэтому для нахождения экстремумов имеем систему n

уравнений с n неизвестными.

Однако не любая критическая точка является точкой экс- тремума.

Пример 4.32.

Для функции Z = х · y точка А (0, 0) будет критической, так как  и по необходимому признаку экстремума х =

0, у = 0. Но экстремума в этой точке нет.

Действительно, Z (0, 0) = 0, а в любой окрестности точки А (0, 0) можно найти и положительные и отрицательные значе- ния функции. Данная функция Z = ху называется гиперболи- ческим параболоидом и имеет вид седла.

Приведем достаточный признак экстремума для функции двух аргументов. Он имеет гораздо более сложный вид, чем для функции одного аргумента.

Теорема 4.9. Пусть в стационарной точке К (х 0, y 0) и в неко- торой ее окрестности функция Z = f (х, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Най- дем в точке К (х 0, y 0) значения:

;

 

;

 

.

 

Обозначим Тогда:

а) если ∆ < 0, то функция Z = f (х, y) имеет в точке К (х 0, y 0) экстремум: максимум при А < 0, С < 0 и минимум при А > 0, С > 0 (из условия ∆ < 0 следует, что А и С всегда имеют одина- ковые знаки);

б) если ∆ > 0, то точка К (х 0, y 0) не является точкой экстре- мума функции Z = f (х, y);

в) если ∆ = 0, то экстремум в точке К (х 0, y 0) может быть, а может и не быть и для определения его нужны дополнитель- ные исследования.

Пример 4.33

Найти экстремумы функции Z = x ³ − у ³ + 3 ху − 5. Используем необходимый признак экстремума и полу-

чим:

 

Далее находим х = у ², поэтому у ⁴ + у = 0, или у (у ³ + 1) = 0. Из последнего выражения находим у = 0 или у = -1 (комплекс- ные корни не учитываем).

Поэтому получаем две стационарные точки: N (0, 0) и

К (1, -1).

Для того, чтобы определить, будут ли найденные точки экстремумами исходной функции, применим достаточный при- знак экстремума. Тогда получим:

 

Рассмотрим точку N (0, 0). Найдем:

 

 

Тогда ∆ = B ² − АС = 9 > 0, т. е. точка N (0, 0) не является точ- кой экстремума исходной функции.

Рассмотрим точку К (1, -1). Найдем:

 

Тогда ∆ = В ² − АС = -27 < 0, т. е. точка К (-1, 1) будет точкой экстремума исходной функции, а так как А > 0 и С > 0, то это

точка минимума и значение функции в этой точке равно -6 (Z min = -6).