Некоторые сведения о функциях

В любой области науки мы встречаемся с различными ве- личинами. Под величиной понимают все то, что может быть из- мерено и (или) вычислено и выражено числом или числами.

В естественных, технических и гуманитарных науках имеют дело с различными величинами, например, скоростью, силой, температурой, себестоимостью, валовым внутренним продуктом какой-либо страны, количеством преступлений в каком-то регионе и др.

А в математике конкретные величины не участвуют, т. е. рассматривают величины вообще, не принимая во вниманиe их физический смысл.

Все величины можно разделить на переменные и посто- янные.

Переменной называется такая величина, которая прини- мает различные числовые значения. Величина, которая не ме- няет свое числовое значение, называется постоянной.

Все процессы характеризуются взаимоизменяемостью не- скольких переменных величин, а это приводит к важнейшему понятию математики функциональной зависимости.

Часто одни и те же величины могут в одних случаях быть переменными, а в других постоянными.

Например, в формуле F = ma величины m (масса) и a (уско- рение) могут быть как постоянными, так и переменными.

Но существуют и фундаментальные постоянные, которые сохраняют свое значение, по крайней мере, в нашей Mетага- лактике.

Например, в законе всемирного тяготения  ве- личина  — фундаментальная постоянная.

Установление и описание связей между величинами одна из основных задач математического анализа, который включа- ет в себя ряд дисциплин: теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисления, теорию рядов и др. Некоторые све- дения из этих дисциплин мы рассмотрим в главах 3−7.

Теперь приведем определение функции одного независи- мого аргумента.

Переменная величина y называется функцией переменной величины x на множестве определения D, если каждому значе- нию x D по какому-то закону поставлено в соответствие одно (несколько, бесконечно много) значение (значений) y.

В первом случае функция называется однозначной, напри- мер, y = x + 1 (рис. 3.1).

Рис. 3.1

А во втором случае — многозначной, например, y = Arcsin x

(рис. 3.2).

Величину x из области D можно брать произвольно, поэ- тому она называется аргументом или независимой переменной. А величина y будет зависеть от выбранной величины x, поэто- му ее называют зависимой переменной или функцией.

Область D может быть любой, но, как правило, использу- ются области двух видов:

• множество целых неотрицательных чисел или какие-то части этого множества;

 

Рис. 3.2

• один или несколько интервалов (конечных или бесконеч- ных) числовой оси.

В первом случае имеем функцию целочисленного аргумен- та, а во втором — непрерывного.

Тот факт, что величина y есть функция аргумента x, обыч- но записывают так: y = f (x).

Множество всех значений функции y обозначим через E. Функцию можно задать с помощью таблицы, в виде гра-

фика (преимуществом этого способа является его наглядность) или аналитически (формулой). Последний способ является са- мым распространенным.

Все функции можно разделить на два класса: элементар- ные и неэлементарные.

К элементарным функциям относятся основные элемен- тарные функции:

y = xⁿ (n R), y = a^x (a > 0, a 1);

y = log a x (a > 0, a 1), y = sin x, y = cos x; y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x;

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x

и функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий и ко- нечного числа операций взятия функции от функции и задан- ные одной формулой [44].

Например,

 

и т. д.

Все функции, не подходящие под данное определение, эле- ментарными функциями не являются.

Например, функция

-1 при x < 0;

0 при x = 0;

1 при x > 0

не является элементарной функцией, так как задана тремя формулами.

А функция f (n) = 1 · 2 · 3 · … n = n! не будет элементарной, так как количество операций умножения, которое нужно со- вершить для получения f (n), не будет являться конечным.

Элементарные функции подразделяют на два класса: ал- гебраические и трансцендентные функции.

Функция называется алгебраической, если ее значения можно получить, произведя над аргументом конечное число алгебраических действий: вычитаний, сложений, умножений, делений, возведений в степень с рациональным показателем.

Функция, которая не является алгебраической, называет- ся трансцендентной.

Алгебраическими являются следующие функции:

y = 5 x ⁵ + 2 x ³ − 7 x ² + 2 x − 5;         ;

 

;         .

 

Трансцендентнымиявляются, например, следующиефунк-

ции:

y = cos2 x, y = e^x, , y = 5 · 8 ^{x +1}.

Алгебраические функции можно разделить на рациональ- ные и иррациональные. Алгебраическая функция называется рациональной, если среди действий, которые проводятся над аргументом, отсутствует извлечение корней. Алгебраическая функция, которая не является рациональной, называется ир- рациональной.

Например, к рациональным функциям относятся:

, ,

, .

Функции ;  являются иррациональ- ными.

Функция y = f (x) называется четной, если при изменении знака у любого значения аргумента из ее области определения значения функции не изменяется,

т. е. значение f (- x) = f (x). График четной функции симметричен отно- сительно оси ординат (рис. 3.3).

Четными функциями являются, например, y = cos x, y = x ².

Функция y = f (x) называется

нечетной, если при изменении зна- ка y любого значения аргумента из

Рис. 3.3

ее области определения меняется только знак значения фун- кци и, а модуль этого значения не меняется, т. е. f (- x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3.4).

Нечетными функциями являются, например, y = sin x, y = x ³. Функция можент быть ни четной, ни нечетной. Например, таковыми будут функции: y = x − 3; y = 5 ^x.

 

Рис. 3.4

Функция y = f (x) называется пе- риодической, если существует такое число Т > 0, что для ∀ x справедливо равенство

f (x + T) = f (x).             (3.1)

Если функция является пери- одической, то выполняются следу- ющие равенства: f (x + 2 T) = f (x);

f (x + 3 T) = f (x); f (x − T) = f (x); f (x − 2 T) = f (x) и вообще f (x +

+ kT) = f (x) при ∀ x, k ∈ Z (Z − множество целых чисел).

Наименьшее положительное число Т, при котором со- блюдается условие (3.1), называется периодом функции. Пери- одической функцией является, например, функция y = cos x, y которой Т = 2π. Если периодическая функция не определена в точке x 0, то она не определена и во всех точках x 0 + kT. Напри- мер, функция y = ctg x, y которой Т = π, не определена в точках πk. Интервал аргумента, в котором функция возрастает, назы- вается интервалом возрастания функции, а интервал, в кото-

ром функция убывает, — интервалом убывания. Интервалы возрастания и убывания функции называются ин- тервалами монотонности функции, а функция в этих интервалах — моно- тонной. Например, функция y = x ² на интервале (-∞; 0) монотонно убывает, а на интервале (0; +∞) монотонно воз-

Рис. 3.5

растает (рис. 3.5).

Значение функции, большее или меньшее всех других ее значений на некотором интервале, называется соответственно наибольшим или наименьшим значением функции на этом ин- тервале. Например, функция у = х ² имеет наименьшее значе- ние у = 0 на интервале (-∞; +∞).

Рассмотрим области определения и графики некоторых основных элементарных функций. Степенная функция у = хⁿ определена на интервале х ∈ (-∞; +∞), если n ∈ Z ⁺ (целые по-

ложительные числа). Приведем графики функций у = х ⁴ (рис. 3.6); у = х ³ (рис. 3.7):

Рис. 3.6                                     Рис. 3.7

Если n ∈ Z ^- (целые отрицательные числа), то степенная функция определена при ∀х, кроме х = 0.

Приведем графики функций     (рис. 3.8) и  (рис. 3.9):

Рис. 3.8                                     Рис. 3.9

Показательная функция у = а^х определена при всех зна- чениях х. Приведем графики функций у = 2 ^х и у = (1/2) ^х (рис. 3.10)

Логарифмическая функция у = log a x определена только для х > 0 (рис. 3.11).

Тригонометрические функции:

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Функции у = sin x (рис. 3.12) и y = cos x (рис. 3.13) определе- ны при всех значениях х.

Рис. 3.12

Функция у = tg x определена при всех значениях х, кроме точек π/2 + π k, k ∈ Z (график на рис. 3.14).

Функция у = cosec x = 1/sin x определена при ∀ х, кроме

х = π k, k ∈ Z. Приведем график этой функции (рис. 3.15).

 

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Функция у = arccos х, определена на отрезке -1 ≤ х ≤ 1, а значения функции заполняют отрезок 0 ≤ у ≤ π. Приведем гра- фик этой функции (рис. 3.16).

Функция у = arctg x определена на интервале -∞ < x < +∞, а значения функции заполняют интервал -(π/2) < у < π/2 (рис. 3.17).

Приведем графики некоторых функций, которые получа- ются из основных элементарных функций. График функции у = cos (х − π/4) — косинусоида, сдвинутая вдоль оси абсцис вправо на величину π/4 (рис. 3.18).

 

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Функция  определена при 16 − х ² ≥ 0 или при

-4 ≤ х ≤ 4. Возведем в квадрвт обе части уравнения , получаем х ² + у ² = 16, а это уравнение окружности с радиусом 4,  с центром в начале координат. Так как исходная функция при- нимает только отрицательные значения, то ее графиком будет полуокужность, расположеная ниже оси абсцисс (рис. 3.19).

 

Рис. 3.19

Графиком функции у = sin x + 3 является синусоида, сдвинутая в направлени оси ординат вверх на три единицы (рис. 3.20).

Покажем, как строятся графики функций вида y = f (| x |);

у = | f (х)|; | у | = f (x). Напомним определение модуля числа:

х при х ≥ 0;

- х при х < 0.

 

Рис. 3.20

Для построения графика функции у = f (| x |) на основании определения модуля получим:

f (x) при х ≥ 0;

f (- x) при х < 0.

График данной функции состоит из двух графиков: графи- ка у = f (x) в правой полуплоскости и графика у = f (- x) в левой полуплоскости. Построим график функции.

 

у = х ² −

3 | х | +2 = х ² − 3 х + 2 при х ≥ 0;

х ² + 3 х + 2 при х < 0.

Функция у = f (| x |) четная, поэтому для построения ее гра- фика нужно построить график функции у = f (x) для ∀ х > 0 из области ее определения и отразить его симетрично оси ординат (рис. 3.21).

Для построения графика функции y = | f (x)| на основании определения модуля получим:

 

Рис. 3.21

у = | f (x)| = f (x) при f (x) ≥ 0;

- f (x) при f (x) < 0.

Отсюда  видно, что для построения графика  функции

у = | f (x)| достаточно построить график функции у = f (x)  для

∀ х из области ее определения и ту часть графика функции   у = f (x), которая расположена ниже оси абсцисс (f (x) < 0), от- разить симметрично этой оси. Следовательно, график функ- ции у = | f (x)| расположен над осью абсцисс. Например, для пос- троения графика функции у = | х ² − 4| надо построить график функции у = х ² − 4 для ∀х и ту часть графика, которая распол- жена ниже оси 0Х (-2 < x < 2), отразить симметрично этой оси (рис. 3.22).

Имея в виду, что в формуле | у | = f (x) f (x) ≥ 0 и на основа- нии определения модуля, получим:

| у | = у при у ≥ 0;

- у при у < 0.

Теперь перепишем | у | = f (x) в виде у = ± f (x) при f (x) ≥ 0 и сформулируем правило построения графика  функции

| у | = f (x). Нужно построить график функции у = f (x) для тех х из области ее определения, при которых f (x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс. Следо- вательно, график функции | у | = f (x) состоит из графиков двух

 

Рис. 3.22

функций: у = f (x) и у = - f (x) при f (x) ≥ 0. Например, график функции | у | = х имеет вид (рис. 3.23).

Рис. 3.23