Глава 5. Элементы интегрального исчисления

Интегральное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их применение.

Интегрирование — это действие, обратное дифференци- рованию. Например, с его помощью находится скорость тела по заданному ускорению.

 

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной от функции y = f (x) на некотором проме- жутке называется функция F (x), производная которой равна исходной функции, т. е. F (x) = f (x). Из этого определения сле- дует, что любая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Рассмотрим пример y = x ⁵. Данная функция служит произ- водной для функции, так как   и ,

или в общем виде                    , где С = const.

Из данного примера видно, что любая функция будет первообразной для функцией y = x ⁵.

Теперь приведем формулировку основной теоремы о пер- вообразных.

Теорема 5.1. Любая непрерывная функция имеет беско- нечное множество первообразных, причем любые две из них друг от друга отличаются постоянным слагаемым [9, 44].

Формула F (x) + C исчерпывает множество всех первооб- разных исходной функции. Геометрически выражение F (x)+ C

есть семейство кривых (рис. 5.1.), каждая из которых получает- ся путем сдвига одной из кривых вдоль оси 0 у.

Рис. 5.1

Заметим, что первообразную можно находить не только по производной, но и по дифференциалу.

Теперь дадим определение неопределенного интеграла.

Отыскание первообразных называется неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающие совокупность всех первообразных от данной функции f (x) называется неоп- ределенным интегралом и обозначается так:

где f (x) — подынтегральная функция;

f (x) dx — подынтегральное выражение;

х — переменная интегрирования.

Заметим, что f (x) на участке интегрирования должна быть непрерывна;

 — знак интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл есть семейство функций F (x) + C, т. е.

.

Нахождение всех первообразных для данной функции f (x) и называется неопределенным интегрированием. Термин “не- определенное интегрирование” появился, потому что не указы- вается, какая первообразная имеется в виду.

Сразу скажем, что интегрирование значительно сложнее дифференцирования. Дифференцирование любых элементар- ныхфункцийпроизводитсяпоопределеннымправилам, аинтег- рирование требует в каждом конкретном случае индивидуаль- ного подхода. Разумеется, есть общие методы интегрирования, некоторые мы рассмотрим далее. Заметим, что производная от любой элементарной функции есть функция элементарная, а про неопределенный интеграл от элементарной функции этого сказать нельзя. Первообразная от элементарной функции мо- жет оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. Про такие функции говорят, что они не интегрируемы в элементарных функциях. Примерами так называемых неберущихся интегралов являются:

 

и др.

Из определения неопределенного интеграла следует, что

 

(5.1)

 

 

Найдем неопределенные интегралы от основных элемен- тарных функций, используя для этого таблицу производных от основных элементарных функций (см. главу 4 “Основы диффе- ренциального исчисления”).

Например, (sin x) = cos x. Перепишем это равенство в виде

Проинтегрируем обе части последнего равенства и с уче- том третьей формулы (5.1) получим

Это и есть табличный интеграл.

Точно так же получают и другие табличные интегралы от основных элементарных функций.

Приведем таблицу интегралов от основных элементарных функций. Справедливость приведенных формул легко прове- рить дифференцированием.

 

Таблица неопределенных интегралов

Добавим формулы интегрирования гиперболических и об- ратных гиперболических функций.

12)

13)

14)

 

15)

 

16)

 

17)

 

18)

 

Объединение формул 17 и 18 и дает формулу 11 таблицы не- определенных интегралов. Заметим, что кроме основной таблицы интегралов существуют таблицы интегралов от элементарных и специальных функций, например. (Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. — М.: На- ука, 1986; Интегралы и ряды. В 3 т. — М.: Наука, 1986).

Задача “взятия” неопределенного интеграла состоит в том, чтобы преобразовать его к табличному.

Приведем свойства неопределенного интеграла.

1.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы ко- нечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т. е.

2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак неопределенного интеграла, т. е.

где k R.

3. Любая формула интегрирования сохраняет свой вид при постановке вместо независимой переменной любой дифферен- цируемой функции от нее, т. е. если

 

 

то и

где u = u (x) — любая дифференцируемая функция от x.

В силу свойства 3 таблица неопределенных интегралов (ос- новная таблица) будет справедливой независимо от того, явля- ется ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функции от нее, т. е. основная таблица интегралов сразу значительно расширяется [9, 42. 44].

 

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Используется таб- лица интегралов, свойства неопределенных интегралов и раз- личные преобразования подынтегрального выражения.

Пример 5.1.

Пример 5.2.

Пример 5.3.

Пример 5.4.

[Воспользуемся формулами cos 2 x = cos² x − sin² x,

cos 2 x = 1 − 2sin² x, . Последнее выражение подстав- ляем вместо подынтегральной функции]

 =

[Заметим, что d 2 x = 2 dx заменяем 2 х на y, т. е. 2 х = y. ]

[Возвращаемся к прежнему аргументу] =

Таким образом, в примере 5.4 использовали еще один ме- тод интегрирования (замена переменной), который более под- робно рассмотрим ниже.

2. Интегрирование по частям. Этот метод следует из фор- мулы дифференцирования произведения двух функций.

Пусть u (x) и v (x) — дифференцируемые функции аргу- мента х, тогда имеем

(uv) = u v + v u, или d (uv) = v du + u dv, u dv = d (uv) − v du.

Интегрируем обе части последнего равенства и получим.

(5.2)

Это и есть формула интегрирования по частям.

Этот способ состоит в том, что подынтегральное выраже- ние представляется в виде произведения двух множителей u и dv и заменяется двумя интегрированиями:

1) отыскание v из выражения для dv;

2) отыскание интеграла от vdu.

Смысл способа состоит в том, что эти два интегрирования выполнить легче, чем “взять” исходный интеграл.

Рассмотрим конкретные примеры применения данного ме- тода.

Пример 5.5.

В данном примере выбор u и d v производится одно- значно, но так бывает не всегда.

Пример 5.6.

но если принять то

т. е. получим более сложный интеграл, чем исходный.