Характеристика критеріїв обґрунтування господарських рішень в умовах невизначеності

Правило (критерій)

Характеристика

 

Правило максимін (критерій Валь да)

Вважається фундаментальним критерієм. Називають критерієм песиміста, оскільки він орієнтується на кращий з гірших ре­зультатів. Особа, що приймає рішення, в цьому випадку міні­мально готова до ризику. Припускаючи максимум негативного розвитку стану навколишнього середовища, вона не стільки бажає виграти, скільки не програти.

За цим критерієм обирається стратегія, що гарантує макси­мальне значення найгіршого виграшу (стратегія фаталізму). Для цього у кожному рядку матриці фіксують альтернативи з мінімальним значенням вартості капіталу і з відзначених мінімальних вибирають максимальне. Альтернативі а* з макси­мальним значенням із усіх мінімальних надається пріоритет. Використовується в тих ситуаціях, коли обирається стратегія управління, виходячи з вимоги отримання максимально мож­ливого прибутку (виграшу) в найгірших умовах. Можна засто­совувати у випадках, коли: помилки у виборі стратегії поведін­ки можуть призвести до катастрофічних наслідків; коли рі­шення можна застосовувати тільки один раз і в майбутньому його вже не вдасться змінити

Закінчення табл. 4.2

 

Правило (критерій)	Характеристика
Правило максимакс	Критерій оптимізму відповідає оптимістичній наступальній стратегії. При цьому не береться до уваги ніякий можливий ре­зультат, крім найкращого. Відповідно до цього правила вибирається альтернатива з най­вищим досяжним значенням вартості капіталу. Особа, що при­ймає рішення, не враховує ступінь ризику від несприятливої зміни навколишнього середовища. Використовуючи це правило, визначають максимальні значення для кожного рядка та вибирають найбільше з них. Спільний недолік правил максимакса й максиміна — викорис­тання тільки одного варіанту розвитку ситуації для кожної альтернативи в обґрунтуванні рішень
Правило мінімакс (критерій Севіджа)	Мінімакс орієнтований на мінімізацію жалю з приводу втраче­ного прибутку й допускає розумний ризик заради отримання додаткового прибутку. Розрахунок критерію складається з чотирьох етапів: 1. Знаходимо кращий результат кожної графи (максимум я^). 2. Визначаємо відхилення від кращого результату кожної окремої графи, тобто max, ait - ay. Отримані результати ство­ рять матрицю ризику (жалю), тому що її елементи — це недо- отриманий прибуток від невдало прийнятих рішень, допуще­ них через помилкову оцінку можливої реакції ринку. 3. Для кожного рядка матриці жалю знаходимо максимальне значення. 4. Обираємо рішення, за якого максимальний жаль буде мен­ шим, ніж за інших рішень. Критерій використовується тоді, коли необхідно обрати стра­тегію захисту об'єкта від занадто великих утрат. Використання критерію Севіджа є доцільним тільки за умови достатньої фі­нансової стабільності підприємства, коли є впевненість, що випадковий збиток не призведе до повного краху
Правило Гурвіца	Відповідно до цього правила максимакс і максимін сполучаються зв'язуванням максимуму мінімальних значень альтернатив. Це правило називають ще правилом оптимізму — песимізму. Опти­мальну альтернативу можна розрахувати за формулою: а = amaxyfly + (1 - cOmin^, де а— коефіцієнт оптимізму, а = 1..0 (коли а = 1, альтернатива вибирається за правилом максимакс, якщо а = 0 — за прави­лом максимін). В основу правила покладено використання критерію Гурвіца. За­стосовуючи правило Гурвіца, враховують більш істотну інформа­цію, ніж у разі використання правил максимін і максимакс

Приклад розрахунку критеріїв для прийняття рішень в умовах невизначеності подано в розділі 5.

4.3. Теорія корисності в системі процесів прийняття рішень

Проблема раціонального вибору є однією з головних економіч­них задач. її постійно розв'язують основні суб'єкти економіки — виробники та споживачі. Виробники намагаються найвигідніше вкласти капітал у виробництво товарів, які приносять дохід. Споживачі бажають придбати продукцію з високою споживчою цінністю та за прийнятною ціною. Кожна з цих задач розв'я­зується в умовах ризику. Результати рішень залежать від випад­кових величин, які характеризуються ймовірнісними функціями розподілу. Для того, щоб порівнювати їх ефективність, необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. Для задач прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності принцип оптимального вибору часто описується за допомогою функції ко­рисності.

Корисність виражає ступінь задоволення особи від споживан­ня товару чи виконання будь-якої дії. В економічному аналізі ко­рисність часто застосовується для того, щоб описати пріоритет у ранжуванні наборів споживчих товарів і послуг. Основним при­пущенням економічної теорії є припущення про те, що людина завжди робить раціональний вибір. Поняття функції корисності дає можливість зіставити споживчий ефект від купівлі (продажу) різних, навіть фізично несумісних, товарів (ефект від купівлі однієї сорочки й однієї книги). Корисність розглядається як певним чи­ном узагальнені втрати чи виграші, коли всі цінності зведено до однієї шкали. Корисність вимірюють у довільних одиницях, що називаються одиницями корисності, які можна пов'язати з іншими одиницями, наприклад, грошовими. Цей зв'язок і визначає вели­чину корисності для особи, що приймає рішення. Людина завжди обирає той варіант, корисність якого, на її думку, максимальна. Функцією корисності називається деяка функція U(X), визначена на множині переваг, якщо вона монотонна, тобто з того, що X < Y, випливає U(X) < U{Y). Цінні папери та майбутні інвестиції також є товаром, тому, з одного боку, їх ефективності можна розрахувати, бо вони мають грошову оцінку. Але ризикові цінні папери або ін­вестиції гарантують отримання грошей у майбутньому, і тут зіста­вити їх ефективність неможливо. Встановлення будь-якого ступе­ня ризику, характеризуючи випадкову величину одним числом, є спробою подолати цю суперечність.

Аксіоми раціональної поведінки наведено у праці Дж. Фон Ней­мана та О. Мор ген штерна. За умови виконання цих аксіом автори

довели теорему про існування деякої функції, що регулює раціо­нальний вибір, — функції корисності [31].

Аксіома 1 (повноти). Коли підприємець стикається з двома будь-якими рядами подій, він завжди може сказати, який йому більше до вподоби або йому байдуже, який із рядів подій вибра­ти. Ця аксіома записується у вигляді:

— Х> Y (X більше до вподоби, ніж Y, або байдуже);

— Х~ Y(X\ /рівноцінні);

— Х> Y (X більше до вподоби, ніж Y).

Завдяки аксіомі повноти споживач наділяється здатністю кла­сифікувати (розрізняти) ряди подій, тобто вмінням порівнювати всі альтернативи.

Аксіома 2 (транзитивності). Перевага серед різних рядів по­дій послідовна, тобто, якщо ряд Х> Y, Y> Z, то Х> Z. Завдяки ак­сіомі транзитивності виключається мінливість смаків споживача.

Припустимо, що споживач віддає перевагу ряду подій / над рядом d, а ряду d над рядом Ь, ряду b над рядом подій/

Отже, щоб господарювання було раціональне, підприємець повинен мати усталений смак, інакше він ніколи не зможе зроби­ти правильний вибір.

Аксіома 3 (неперервності). В умовах аксіоми транзитивності відносно альтернатив X, Y, Z припустимо, що з імовірністю 1 ін­дивід може отримати Y, з імовірністю р — X, а з ймовірністю (1 -р) — Z. Тоді існує таке р, за якого ці дві лотереї для індивіда рівноцінні.

Аксіома 4 (незалежності). Нехай існують блага або товари X і Y, які, на думку індивіда, однакові, та дві лотереї, які відрізня­ються лише тим, що одна містить X, а друга — Y, тоді ці дві лоте­реї для індивіда однакові.

Аксіома 5 (нерівних імовірностей). Якщо індивіду запропону­вати дві лотереї, які дають однаковий виграш із різною ймовірніс­тю, то він обирає ту, ймовірність виграшу якої більша.

Аксіома 6 (складеної лотереї). Коли призом однієї лотереї є білет іншої лотереї, то індивід приймає рішення лише з міркувань імовірностей виграшу кінцевого призу.

Для визначення корисності використовують поняття лотереї [8]. Для цього експерту пропонують порівняти дві альтернативи:

1) значення показникаХ;

2) лотерею: отримати Х_тіп з імовірністю (1-р) або Х_шах з ймовірністю р — L(X_max;p;X_mm).

Величину ймовірності (р) змінюють поступово до такої вели­чини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника X і лотерея L(X_imx;p; Х_тіа) стануть еквівалентними. Тобто всі мож­ливі результати розміщують за зростанням. Корисність найгір­шого результату оцінюється як 0, а найкращого — 1 (або як 100): U(X_mm) = 0;U(X_mJ = 100.

Для того щоб оцінити проміжний результат, особі пропонують взяти участь у лотереї. Значення р, за якого особа відмовиться від гарантованого результату на користь участі у лотереї, беруть для розрахунку корисності: U(Xj) = pU{X_mm) + (1 - p)U(X_mm) -100.

Тобто із множини значень відомого показника X експерт пови­нен розрахувати два: Х_1Ш7і і Х_тіп — найбільш пріоритетне і най­менш пріоритетне, для яких X не гірше за Х_шах, а Х_шіп не гірше за X.

Корисність варіанту X визначається ймовірністю р — за якої експерту байдуже, що обирати: X гарантовано або лотерею ОД™»; р; ^_ш,„), де Х_тт і Х_тш — вектори, найбільш і найменш приоритетні порівняно з X. Наприклад, маємо два варіанти:

1) отримати гарантовано 100 грн;

2) узяти участь у лотереї: або одержати 50 грн з імовірністю 0,4, або отримати 150 грн із відповідною ймовірністю 0,6.

Для кожної людини буде своє значення ймовірності, за якої їй байдуже, що обирати: гроші гарантовано або участь у лотереї. Імовірність перетворюють на корисність, помножуючи на 100, якщо корисність визначається за 100-бальною шкалою, або по­множуючи на 10, коли за 10-бальною.

Нехай лотерея L приводить до виграшів (подій) Х_],Х₂,...Х_П із відповідними ймовірностями Р_],Р₂,...Р_П і відповідними кориснос­тями U(X_x),U(X₂),..U{X_n).

Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою:

М{х) = ІР_пХ_п. (4.1)

н=\

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корис­ність, визначають за формулою:

Л/(ї/Й)=ІВД^- (4.2)

Корисність результатів збігається з математичним сподіван­ням корисності результатів.

Взаємозв'язок ризику з функціями корисності визначається поняттям детермінованого еквіваленту. Детермінований еквіва­лент лотереї — це гарантована сума X, отримання якої екві­валентно участі в лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто

U(X) = M(U(X)). (4.3)

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ри­зику, коли для неї найбільш пріоритетною є можливість одер­жати гарантовано очікуваний виграш у лотереї, ніж узяти в ній участь.

Із теорії корисності можна зробити висновок, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її ви­падкових результатів. Відповідно до цього умова несхильності до ризику набуває такого вигляду:

U(M(x))>M(U(x)), (4.4)

тобто корисність сподіваного доходу більше сподіваної кориснос­ті. ОПР не схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності увігнута.

Для функції корисності можна розрахувати премію за ризику лотереї (к(х)) як різницю між очікуваним виграшем і детерміно­ваним еквівалентом:

п(Х)=М(Х)-х. (4.5)

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ри­зик) — це сума в одиницях виміру показника X, якою суб'єкт управління згоден поступитися із середнього виграшу, щоб уник­нути ризику, пов'язаного з лотереєю, і отримати гарантований дохід без ризику.

Коли особа, що приймає рішення, натрапляє на лотерею, менш пріоритетну, ніж стан, у якому вона в даний момент пере­буває, то постає питання, скільки б вона заплатила (в одиницях вимірювання критерію X) за свою неучасть у цій лотереї (уник­нення її).

Страхова сума (СС) — це величина детермінованого екві­валента з протилежним знаком:

СС(Х) = X. (4.6)

Умова схильності до ризику набуває такого вигляду:

U(M(x))<M(U(x)), (4.7)

тобто корисність сподіваного доходу менше сподіваної кориснос­ті. ОПР схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція ко­рисності опукла, а графік розгорнутий дзвоном униз. Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, скільки коштів ін­вестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи. Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:

U(M(x)) = M(U(x)). (4.8)

ОПР байдужа до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція ко­рисності лінійна, а графік — пряма. Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.

Розглянемо приклади функцій корисності:

Приклад 4.1

1. Зростаюча функція корисності для суб'єкта управління,
байдужого до ризику: U(x) = a + bx.

2. Зростаюча функція корисності для суб'єкта управління, не­
схильного до ризику: U(x) = log(x + b), де х > - Ь.

3. Зростаюча функція корисності для суб'єкта управління,
схильного до ризику: U(x) = х, де х > = 0.

У теорії ринку цінних паперів широко використовується квад­ратична функція корисності вигляду:

U(x) = x-A(x-M(x))\ (4.9)

де А — задане число.

Зміст цієї функції такий: інвестор вважає корисним для себе збільшити значення ефективності, але бажає уникнути відхилен­ня цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше А, тим більше тенденція запобігання ризику, тобто А — міра несхильнос­ті до ризику, а \ІА — міра схильності до ризику.

За допомогою функції корисності можна розраховувати ймо­вірність банкрутства:

U(X) = 1, якщо Х + К>0,

або 0, якщо Х + К<0,

де К — початковий капітал.

Методика побудови функції корисності для будь-якого еко­номічного показника складається з таких кроків:

Крок 1. Виявити найкращі та найгірші з можливих допусти­мих показників і присвоїти їм значення корисності відповідно 100 і 0 (якщо корисність оцінюється за 100-бальною шкалою).

Крок 2. Розглянути кілька проміжних показників і вказати їхнє значення корисності (кожним експертом окремо).

Крок 3. Розрахувати середні оцінки корисності проміжних значень, вказаних експертами.

Крок 4. Якщо спостерігається розсіювання значень якогось із показників, то потрібно повернутися до кроку 2, аби узгодити думки експертів для досягнення прийнятного діапазону розсію­вання оцінок (кроки 2—4 можуть повторюватися кілька разів).

Крок 5. Визначення функції корисності через побудову функ­ції регресії методом найменших квадратів (простіша функція ко­рисності — рівняння прямої). Вид і аналітична форма функції корисності свідчить про відношення суб'єкта, що приймає рі­шення, до ризику.

Приклад 4.2

Визначення корисності за допомогою математичних функцій.

Умови задачі

Фірма має прийняти рішення на основі трьох показників ефек­тивності, застосовуючи різне відношення до ризику: несхиль­ність, схильність, нейтральність. Показники ефективності задано лотереями: 21 = (20; 0,4; 10), 22 = (5; 0,5; 6), 23 = (10; 0,7; 30).

Несхильність до ризику задана функцією корисності: U(x) = = 1-2е-°'^]х.

Схильність задано функцією корисності: U(x) = 0,4л:.

Нейтральність задано функцією корисності: U(x) = 4 + 1,2х.

Необхідно: розрахувати премію за ризик (надбавку) та визна­чити, яким відношенням до ризику має скористатися фірма.

Розв 'язання 1. Визначимо сподіваний виграш

М(х) = £Р,Д„=20-0,4 + 10-0,6 = 14. _п=і

Сподіваний виграш показує, яку середню ефективність може мати фірма від рішення не брати участі в лотереї.

2. Визначимо очікувану корисність показника ефективнос­
ті за різних відношень до ризику (є = 2,71).

М, = (1 - 2е-°^А2°) • 0,4 + (1 - 2е~⁰'^] '^,0) • 0,6 = 0,4 - 0,8 / 2,71² -- 1,2 / 2,71 = 1 - 0,109 - 0,443 = 0,448;

М₂ = (0,4 • 20²) • 0,4 + (0,4 • 10²) • 0,6 = 64 + 24 = 88;

М₃ = (0,4 + 1,2 • 20) • 0,4 + (4 + 1,2 • 10) • 0,6 = 11,2 + 9,6 = 20,8.

3. Визначимо детермінований еквівалент — гарантовану
суму х, отримання якої еквівалентно участі в лотереї. Це середнє
значення показника ефективності за відповідного відношення до
ризику:

а) несхильність до ризику: l-2e~°''* =М,. З цього е~°^,іх =
= 0,276 => -0,1* - In 0,276 =* -0,1л: = -1,375 => х = 13,75;

б) схильність до ризику: 0,4х² = 88, звідси х = 14,83;

в) нейтральність: 4 + 1,2.г = 20,8, звідси х = 14. Завжди має дорів­
нювати х.

А=х-х,

А, =14-13,75 = 0,25; А₂ =14-14,85 = -0,85; А₃ =14-14 = 0.

Премія за ризик у випадках несхильності до ризику показує, які кошти може втратити інвестор, не ризикуючи: (0,25 / 14) х х 100% =1,78%.

Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, яку величину коштів інвестор може додатково отримати або втрати­ти, ризикуючи:

(0,85 /14) • 100 % = 6,07 %.

Премія за ризик у випадку нейтральності завжди 0.

Висновок: У даній ситуації краще ризикувати.

Приклад 4.3

Визначення корисності господарських рішень графічним ме­тодом.

Умови завдання

Підприємство має тимчасово вільні кошти — 10 000 грн і ви­рішує питання про їх використання за двома варіантами.

По-перше, можна вкласти гроші в деякий інвестиційний про­ект. У випадку невдачі підприємство втрачає свої гроші, а у ви­падку успіху — через рік отримує 40 000 грн.

По-друге, альтернативний варіант — вкласти гроші в банк під 9 % річних без ризику. У випадку вкладання коштів у інвести­ційний проект спеціаліст з маркетингу вважає, що ймовірність успіху — 0,3.

Щоби прийняти рішення стосовно використання підприєм­ством грошей, потрібно врахувати думки директора та бухгалте­ра. Відомості про погляди директора й бухгалтера щодо кориснос­ті різних сум доходів подано в табл. 1.

Таблиця 1