Вибір оптимального рішення за критерієм севіджа

 

 

 

 

Варіант рішення	Варіант стану середовища	max, {/?,,}	mitij ma\j{Rij}
S\
/11	5,0	4,5		5,0
А1	6,0	6,0	0,5	6,0
A3	4,5		1,5	4,5	A3
А\		6,5	0,5	6,5

За критерієм Севіджа оптимальним буде альтернативне рі­шення A3 (табл. 7).

За допомогою критерію Гурвіца встановимо баланс між ви­падками крайнього оптимізму ат випадками крайнього песимізму за допомогою коефіцієнта оптимізму а. Цей коефіцієнт визнача­ється від нуля до одиниці та показує ступінь схильностей особи, що приймає рішення, до оптимізму чи песимізму. Якщо а = 1, то це свідчить про крайній оптимізм, якщо а = 0 — крайній песи­мізм. За умов задачі а = 0,6.

Оптимальну альтернативу за критерієм Гурвіца знаходимо за формулами:

для F⁺ А' =тах,(атахДк(л,.,5^}+(1-а)ттДк(л_/,5_;)}}. (5.11) для F' л;=тахД(1-а)тахДк(л,,5_у)}+атіпДк(/1,,^)}}. (5.12)

Оптимальним рішенням за критерієм Гурвіца буде альтерна­тивне рішення A3 (табл. 8).

 

 

 

 

Варіант рішення	Варіант стану середовища	max;	minj	a-maxJ{V(A„SJ)} + + (\~a)mm1{V(Ai,SJ)}	max, {a - max; {К x xmin,{(U,.S,m
	£2	S3
А\	2,5	3,5	4,0	4,0	2,5	4,0-0,6 + 2,5-0,4 = 3,4
А1	1,5	2,0	3,5	3,5	1,5	3,5 0,6 + 1,5 -0,4 = 2,7
A3	3,0	8,0	2,5	8,0	2,5	8,0 ■ 0,6 + 2,5 • 0,4 = 5,8	A3
А4	7,5	1,5	3,5	7,5	1,5	7,5 0,6+1,5 0,4 = 5,1

Висновок: розрахунок за всіма даними критеріями довів доціль­ність виробництва продукції за альтернативним варіантом A3.

5.3.2. Прийняття господарських рішень у конфліктних ситуаціях

Ситуація конфлікту є невід'ємною складовою ринкового сере­довища, під час якої кожен із суб'єктів (конкурентів) намагається завдати збиток іншому та мінімізувати власні витрати. Конфлікт­ною називається ситуація, коли стикаються інтереси двох чи бі­льше сторін, які мають суперечливі цілі, причому виграш кожної

зі сторін залежить від того, як поводитимуться інші [31; 58]. Приклади конфліктних ситуацій: «бойові» дії, біржові угоди, різ­ні види виробництва в умовах конкуренції, угоди на фондовому ринку, спортивні змагання, змагання, ігри. У житті конфлікт за­вжди супроводжується ризиком.

Рішення в умовах конфлікту завжди пов'язані з ризиком, тому необхідним є обґрунтований підхід у виборі напряму подальших дій. Підприємець у процесі своїх дій повинен вибрати таку стра­тегію, що дасть змогу йому зменшити ступінь протидії, що, у свою чергу, знизить ступінь ризику.

Математичний апарат для вибору відповідного господарсько­го рішення в конфліктній ситуації сформований у теорії ігор. За­вдяки їй:

S підприємець або менеджер краще розуміють конкретну об­становку, проблему в цілому та зводять до мінімуму ступінь ри­зику;

S можна вирішувати багато економічних проблем, пов'я­заних з вибором, визначенням найкращого стану, підпорядко­ваного тільки деяким обмеженням, що випливають з умов са­мої проблеми;

S підприємець (менеджер) спонукується розглядати всі мож­ливі альтернативи як своїх дій, так і стратегії партнерів, конку­рентів.

Мета теорії ігор — формування рекомендацій щодо оптималь­ної поведінки учасників конфлікту, тобто визначення оптималь­ної стратегії кожному з них. У теорії ігор розроблено систему власних понять [31]. Математична модель конфлікту називається грою, сторони у конфлікті — гравцями. Результат гри називаєть­ся виграшем, програшем або нічиєю, правила гри — перелік прав і обов'язків гравців. Ходом називається вибір гравцем однієї з перед­бачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті та випадкові. Особистий хід — це свідомий вибір гравця, випадковий хід — вибір дії, що не залежить від його волі. Залежно від кількості мож­ливих ходів у грі ігри поділяються на скінченні та нескінченні. Скінченні — ті, котрі передбачають нескінченну кількість ходів, нескінченні — навпаки. Деякі ігри в принципі мають вважатися скінченними, але мають так багато ходів, що належать до нескін­ченних (шахи).

Стратегією гравця називається сукупність правил, що визна­чають вибір варіанту дій у кожному особистому ході. Оптималь­ною стратегією гравця називається така, що забезпечує йому макси­мальний виграш. Ігри, що складаються тільки з випадкових ходів,

називаються азартними. Ними теорія ігор не займається. її ме­та — оптимізація поведінки гравця у грі, де поряд з випадковими є особисті ходи (стратегічні ігри). Гра називається грою з нульо­вою сумою, якщо сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю, тоб­то кожен виграє за рахунок інших. Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною.

Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальне рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же розумний, як і сам гравець. У грі грають два гравці, назвемо їх А і В. Себе прийнято ототожнювати з гравцем А. Нехай в А є т мож­ливих стратегій: А_х,А_г,...А_т, а в супротивника В — п можливих стратегій: В₁,В₂,...,В_п. Така гра називається грою тхп. Позначи­мо через а„ виграш гравця А за власної стратегії А_х і стратегії супротивника В_}. Зрозуміло, що можлива кількість таких си­туацій — тхп.

Гра може мати нормальну (матричну) форму або розгорнуту (у вигляді дерева). Гру зручно відображати таблицею, що назива­ється платіжною матрицею, або матрицею виграшів (табл. 5.2). Платіжна матриця має стільки стовпців, скільки стратегій у грав­ця В, і стільки рядків, скільки стратегій у гравця А. На перетині рядків і стовпців, що відповідають різним стратегіям, стоять ви­граші гравця А і, відповідно, програші гравця В.

Зведення гри до матричної форми саме по собі може бути важ­ким і навіть нездійсненним завданням унаслідок незнання стра­тегій, величезної їх кількість, а також через складність оцінюван­ня виграшу. Ці приклади і мають на меті показати обмеженість даної теорії, тому що в усіх подібних випадках задача не може бути розв'язана методами теорії ігор.

Скінченна парна гра з нульовою сумою називається також матричною грою, оскільки їй у відповідність можна поставити матрицю. З вигляду платіжної матриці можна зробити висновок, які стратегії є свідомо невигідними. Це ті стратегії, для яких ко­жен з елементів відповідного рядка матриці менший або дорів­нює відповідним елементам іншого будь-якого рядка. Справді, кожен елемент матриці — це виграш гравця А, і якщо для якої-небудь стратегії (рядка) всі виграші менші від виграшів іншої стратегії, зрозуміло, що перша стратегія менш вигідна, ніж друга. Така операція відбраковування явно невигідних стратегій назива­ється мажоруванням.

Якщо задачу зведено до матричної форми, то можна порушу­вати питання про пошук оптимальних стратегій. Насамперед, введемо поняття верхньої та нижньої ціни гри. Нижньою ціною гри називається елемент матриці, для якого виконується умова:

а = max min а_ц. (5-4)

І І

Нижня ціна гри показує, що хоч би яку стратегію застосовував гравець В, гравець А гарантує собі виграш, не менший за а.

Верхньою ціною гри називається елемент, що задовольняє умову:

р = min max а_и. (5-5)

J і

Верхня ціна гри гарантує для гравця В, що гравець А не отри­має виграш, більший за р\

Точка (елемент) матриці, для якої виконується умова

а = % (5.6)

називається сідловою точкою. У цій точці найбільший з мінімаль­них виграшів гравця А точно дорівнює найменшому з максима­льних програшів гравця В, тобто мінімум у якому-небудь рядку матриці збігається з максимумом у будь-якому стовпці. Сідлова точка є розв'язком матричної гри, в якій мінімаксним стратегіям притаманна стійкість [4].

Під час аналізу платіжної матриці можливі два випадки оці­нювання вибору [31]:

Випадок 1. Платіжна матриця має сідлову точку. Оскільки ми прийняли умову максимальної розумності гравців, то саме ці ря­док та стовпець і являють собою оптимальні стратегії гравців. За

умови використання одним із гравців оптимальної стратегії ін­шому гравцю невигідно відступати від своєї оптимальної страте­гії, тобто стратегії, що відповідають сідловій точці, є найбільш вигідними для обох гравців. Метод вибору стратегій на основі сід­лової точки називається «принципом мінімаксу», який інтерпре­тується так: чини так, аби за найгіршої для тебе поведінки супро­тивника отримати максимальний виграш.

Випадок 2. Платіжна матриця не має сідлової точки. Це, зви­чайно, поширеніший випадок. У цій ситуації теорія пропонує ке­руватися так званими мішаними стратегіями, тобто тими страте­гіями, в яких випадковим чином чергуються особисті стратегії. Цей метод широко використовується на інтуїтивному рівні. На­приклад, продавець, не знаючи, який з товарів матиме попит, прагне по можливості урізноманітнити асортимент; оптимальний портфель цінних паперів складають з паперів різних видів. Точ­ний метод знаходження оптимальної мішаної стратегії зводиться до задачі лінійного програмування і, хоча й не є дуже складним, досить трудомісткий. Існують спеціальні комп'ютерні програми, що реалізують цей метод.

У теорії ігор мішана стратегія — модель мінливої, гнучкої тактики, коли жоден із гравців не знає, як поведе себе против­ник у даній ситуації. Мішана стратегія гравця — це застосуван­ня всіх його чистих стратегій у разі багаторазового повторення гри в тих самих умовах із заданими ймовірностями. Умови за­стосування мішаних стратегій: гра без сідлової точки; гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із зада­ними ймовірностями; гра багаторазово повторюється в подібних умовах; під час кожного з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем; допускається осереднення результатів ігор.

Коли гравець приймає рішення, керуючись чистою стратегі­єю, то з усіх своїх варіантів він обере один, який і використає. Якщо ж він діє відповідно до цієї стратегії, то розраховує (або апріорно задається) ймовірності кожного з можливих рішень [14]. Гравець А розраховує ймовірності p_vp₂,---,p_m (причому Рі + р₂+---+ Р_т =1) застосування стратегій А_{,А₂,...А_П1, а гравець В — імовірності q_l,q₂---,q„ застосування стратегій В₁,В₂,...,В_п, де

_qi+q₂+.... + q_n=\.

Чисті стратегії гравця є єдино можливими неспільними подія­ми. У матричній грі, знаючи платіжну матрицю, можна визначи-

ти за заданих векторів р і q середній виграш (математичне споді­вання) гравця А:

(5.7)

дер і с/ — вектори відповідних імовірностей;

p_l,q_i — компоненти цих векторів.

Через застосування своїх мішаних стратегій гравець А намага­ється максимально збільшити свій середній виграш, а гравець В — довести цей ефект до мінімально можливого значення. Гравець А прагне досягти виконання умови:

(5.8)

Гравець В домагає ови:

(5.9)

Позначимо р° і <7° вектори, що відповідають оптимальним мішаним стратегіям гравців А і В, тобто такі вектори р~° і q°, за яких здійсниться рівність:

(5.10)

Ціна гри у — середній виграш гравця А за використання обома гравцями мішаних стратегій. Отже, розв'язком матричної гри є: р° — оптимальна мішана стратегія гравця A; q° — оптимальна мішана стратегія гравця В; у — ціна гри.

Мішані стратегії будуть оптимальними (р~° і q°), якщо вони утворюють сідлову точку для функції M(A,p⁰,q~°), тобто

(5.11)

За вибору оптимальних стратегій гравцю А завжди буде гаран­тований середній виграш, не менший, ніж ціна гри, за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В навпаки). Активни­ми стратегіями гравців А і В називають стратегії, що входять до складу оптимальних мішаних стратегій відповідних гравців з імовірностями, відмінними від нуля. Отже, до складу оптималь­них мішаних стратегій гравців можуть входити не всі апріорі за­дані їхні стратегії.

Перші роботи з теорії ігор характеризувалися спрощеністю припущень та високим ступенем формальної абстракції, що ро­било їх малопридатними для практичного використання. Але за останні 10—15 років становище змінилося. На сучасному етапі застосування методів теорії ігор можливе для обгрунтування рі­шень щодо проведення принципової цінової політики, виходу на ринок, створення спільних підприємств, корпорацій, розрахунку часу розробки нової продукції, формування та розвитку внутрішньо-фірмових культур. Положення даної теорії в принципі можна ви­користовувати для всіх видів рішень, якщо на їх прийняття впли­вають інші суб'єкти (ринкові конкуренти, постачальники, провід­ні клієнти, працівники).

Але існують певні межі застосування аналітичного інструмен­тарію теорії ігор [49]. Він може бути використаний лише за умо­ви отримання додаткової інформації в таких випадках:

• коли в підприємств склалися різні уявлення про гру, в якій вони беруть участь, чи коли в них бракує інформованості віднос­но можливостей один одного (наприклад, може мати місце неясна інформація про платежі конкурента, структуру витрат); якщо не­стача інформації стосується надто важливих питань, то можна оперувати зіставленням подібних випадків з урахуванням визна­чених розходжень;

• за безлічі ситуацій рівноваги; ця проблема може виникнути навіть у ході простих ігор з одночасним вибором стратегічних рішень;

• якщо ситуація прийняття стратегічних рішень дуже складна, то гравці часто не можуть вибрати кращі для себе варіанти (на­приклад, на ринок у різний час можуть вийти кілька підприємств або реакція вже діючих там підприємств може виявитися більш складною, ніж має бути).

Експериментально доведено, що в разі розширення гри до де­сяти і більш етапів гравці вже не в змозі скористатися відповід­ними алгоритмами і далі грати з рівноважними стратегіями. Та­ким чином, за допомогою теорії ігор суб'єкт господарювання дістає можливість передбачити дії (ходи) своїх партнерів і кон­курентів. Але через складність дану теорію доречно використо­вувати тільки для прийняття одиничних, принципово важливих господарських рішень.

Оскільки знаходження оптимальних стратегій методами кла­сичної теорії ігор вимагає здебільшого застосування методів імі­таційного моделювання, розглянемо на прикладах більш прості випадки.

Приклад 5.2

Дано платіжну матрицю (табл. 1). Спростити матрицю за ра­хунок відбраковування явно невигідних стратегій [31].

Таблиця 1

ПЛАТІЖНА МАТРИЦЯ

 

Стратегія гравців	«і	В2	В}	Й4
Лі
Аг	3 540
г Аз		1 070
А,		2 920
А,
А,

Розе 'язання

У матриці всі елементи стратегії А} менші за відповідні елеме­нти стратегії А\. Отже, стратегія Л₃ є невигідною, порівнюючи зі стратегією А\, і може бути відкинута. Так само елементи стратегії As менші за відповідні елементи стратегії Аг. Тому і стратегія Аг може бути відкинута. Тож, платіжну матрицю в спрощеному ви­гляді зображено в табл. 2.

Таблиця 2