Глава 8. Интегральные характеристики денежного потока 315

1. Пусть вектор д: допустимый. Тогда по непрерывности будут допустимы и проекты, близкие к х, а их доходность будет близка к К(х). Это означает, что множество й в (Т+ 1)-мерном векторном пространстве открыто, а функция К(х) на этом множестве непрерывна.

2. Зафиксируем некоторое число й и рассмотрим множество С(с[) векторов хейс доходностью й. Пусть д: е С(с[). Немного увеличив (уменьшив) компоненты х, можно улучшить (ухудшить) проект, при этом в силу непрерывности и монотонности его доходность немного повысится (понизится). Отсюда следует, что множество С(с1) не имеет внутренних точек. Пусть х, у е С(с1), 0 < к < 1. В силу однородности и инвариантности к одновременной реализации проекты кх, (1 - к)у и кх + (1 - к)у допустимы и принадлежат С(с[). Мы получили, что если множеству С(с[) принадлежат точки лт и у, то ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий эти точки. Это значит, что множество С(с?) выпукло. Пусть у^сХ) — проект, требующий инвестиций 1 в году I и дающий доход (1 + с1) в году (I + 1). Имея доходность <я! такие проекты при I = О,1,..., Т, очевидно, принадлежат С(с[). Поэтому множество С(с[) имеет размерность Т. Такая ситуация возможна, только если С(с[) — выпуклое множество, лежащее на некоторой Г-мерной гиперплоскости Т(с1).

3. Уравнение гиперплоскости Г(й) в общем случае имеет вид: а^х₀ +... + а^х_т = Ь, причем коэффициенты в этом уравнении могут зависеть от й и не все равны нулю. Но если проект лт имеет доходность й, то ту же доходность имеет и проект кх при любом положительном к. Поэтому из соотношения а^с₀ +... + ауК_т = Ь следует, что а^гх₀ +... + а₇кх_т = Ь. Однако это возможно, только если свободный член в уравнении равен нулю: Ь = 0. Итак, для любого лт с доходностью й должно выполняться равенство а^с₀ +... + а^х_г = 0. В частности, для проектов у^ это равенство примет вид: -а₍ + (1 + <Х)а_{1+ г} = 0 (? = 0, 1,..., Т - 1). Отсюда следует, что все коэффициенты а₁ отличны от нуля и каждый следующий коэффициент а_{1 + 1}в (1 + и) раз меньше предыдущего. Поэтому без ограничения общности можно считать, что а₀ = 1 и, следовательно, а₁ = (1 + ау¹. Итак, для всех векторов с доходностью й должно выполняться равенство

т

1=0

4. Пусть проект лт имеет доходность г. Рассмотрим Ф(лт, (X) как функ
цию от й. Очевидно, что эта функция непрерывная и обращается в 0
при й = г. Возьмем 5 > г и рассмотрим проект у₀(з) с доходностью 5.
В силу усредняемое™ проект г = ех + у₀($) при малом е > 0 будет допу
стимым и его доходность ^ будет больше й и меньше 5. Заметим, что

Часть I. Теоретические основы оценки инвестиционных проектов

функция Ф(у₀(з), (X) правильная и ее корень 5 — нормальный. Поэтому при малом е функция Ф(г, О) = еФ(х, с1) + Ф(у₀(з), с() тоже будет правильной, а ее корень <? — нормальным. Но величина Ф(у₀(5), 4) положительна, поэтому Ф(дс, ф < 0. Аналогично можно найти такое д'< г, что Ф(я; д') > 0. Таким образом, при переходе через точку г функция Ф(лг, сС) меняет свой знак с положительного на отрицательный, т. е. г является нормальным ее корнем.

5. Других корней у функции Ф(лг, О) нет. Действительно, если они есть, то среди них обязательно будет двойной или аномальный, и, как следует из утверждения, доказанного в п. 8.2.3, это приводит к нарушению условия усредняемое™. Это значит, что для допустимого проекта л: функция Ф(я; <2) правильная, т. е. ее график пересекает ось абсцисс в единственной точке г в направлении "сверху вниз". При этом доходность проекта лг совпадает с г — единственным корнем уравнения Ф(с1, х) = 0. Обратим внимание, однако, что этот корень не может быть двойным (точнее, тройным!), поскольку в этом случае найдутся проекты у, сколь угодно близкие к л; для которых уравнение Ф(# у) = 0 имеет несколько корней. Но такие проекты у будут недопустимыми, что для непрерывных показателей доходности невозможно. Осталось заметить, что величина Ф(<А, х) совпадает с интегральным дисконтированным чистым доходом проекта л:, исчисленным при норме дисконта й, а корень уравнения Ф(с1, х) = 0 — с "обычной" ВНД проекта х. т

Из приведенного рассмотрения вытекает, что:

• определение ВНД как корня или даже как единственного корня уравнения Ф(х, сГ)=0, где Ф(х, <2) — функция интегрального эффекта, в общем случае некорректно (соответствующие примеры см. в п. 8.2.3). Этот показатель может быть корректно определен не для любых проектов, а только для тех, у которых Ф(х, <2) — правильная функция;

• одной из основных причин введения модифицированных показателей ВНД как раз и явилось желание обойти эту трудность. Однако все модифицированные ВНД не обладают рядом практически полезных свойств, присущих "настоящей" ВНД. Во-первых, если "настоящая" ВНД в случае, когда она существует, разделяет множество норм дисконта на две области, в первой из которых проект эффективен, а во второй — нет, то модифицированные ВНД этим свойством не обладают. По разности между модифицированной ВНД и нормой дисконта нельзя сделать никаких выводов о запасе устойчивости проекта. Далее, при расчете в постоянных или дефлирован-ных ценах имеется представление о том, какой бывает "настоящая" ВНД для проектов, реализуемых в различных областях, и это позволя-