Этапы математического моделирования.

1. построение математической модели

2. решение математической модели (выбор наиболее рационального решения)

3. перевод результата решения математической задачи в исходное положение (ситуацию).

Аксиоматический метод:

1) составить набор математических утверждений, полученные таким образом математические предложения пока логически не связаны друг с другом, поэтому необходимо логически организовать имеющийся математический материал;

2) найти исходные утверждения, на основе которых могут быть доказаны остальные;

3) провести доказательство утверждений, не отнесенных к числу исходных;

4) сформулировать аксиомы, определения, теоремы.

Сравнение - выявление сходства и различия сравниваемых предметов.

Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: 1) сравниваемые понятия однородны; 2) сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют для них существенное значение. Сравнение - почва для аналогии (греческое - соответствие, сходство).

Обобщение - мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.

Абстрагирование - это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных (с математической точки зрения) или не общих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание.

Абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.

Под конкретизацией понимают переход от более общего к менее общему, от общего к единичному.

Процесс специализации - мысленное выделение некоторого свойства из множества свойств изучаемого объекта.

Анализ - логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого. Анализ - это рассуждение от неизвестного к известному (аналитическое рассуждение). Ведущий вопрос: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?

Синтез - логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое. Синтетические рассуждения - это путь от данного к искомому. Ведущий вопрос: что можно узнать по данным условиям?

Индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок.

Дедукция -форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение.

М.Н. Скаткин предлагают классификацию общедидактических методов по уровню познавательной самостоятельности школьников, в которой выделяют две группы. Первая - репродуктивные: объяснительно-иллюстративные и собственно-репродуктивные; вторая -продуктивные: проблемное изложение, частично-поисковые (эвристические), исследовательские. Существенным признаком продуктивных методов обучения (проблемного изложения, частично-поискового, исследовательского), в процессе применения которых осуществляется творческое усвоение знаний и умений, является поисковая деятельность учащихся. Поисковая деятельность организуется средствами выполнения творческой самостоятельной работы проблемного характера.

Объяснительно-иллюстративные отражают деятельно учителя и ученика, состоящую в том, что учитель сообщает готое информацию разными путями, с использованием демонстраций, учащиеся воспринимают, осмысливают и запоминают ее. При необходимости воспроизводят полученные знания.

Репродуктивные способствуют усвоению знаний (на основ заучивания), умений и навыков (через систему упражнений). При этом управленческая деятельность учителя состоит в подборе необходимых инструкций, алгоритмов и других заданий, обеспечивающих многократное воспроизведение знаний и умений по образцу.

Методы проблемного обучения:

• проблемное изложение, рассчитанное на вовлечение ученика
в познавательную деятельность в условиях словесного обучения, когда учитель сам ставит проблему, сам показывает пути ее решения, а учащиеся внимательно следят за ходом мысли учителя, размышляют, переживают вместе с ним и тем самым включаются в атмосферу научно-доказательного по искового решения;

• частично-поисковые, или эвристические методы, используются для подготовки учащихся к самостоятельному решению познавательных проблем, для обучения их выполнению отдельных шагов решения и этапов исследования;

• исследовательские методы - способы организации поисковой, творческой деятельности учащихся по решению новыхдля них познавательных проблем.

Эти методы наиболее полно решают задачи развития учащихся при обучении

Методы научного познания в обучении математике.

К ним относятся:

1) логические методы познания: индукция, дедукция, анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, моделирование, классификация, доказательство.;

2) эмпирические методы познания.

Наблюдение, описание, измерение и эксперимент, которые не являются характерными для математики. История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как науки, самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и ТСО предполагает применение различных эмпирических методов, помогающих избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу.

Задача. Найти все такие натуральные числа, квадрат которых оканчивается цифрой 7.

Поиск решения данной задачи предполагает небольшой числовой эксперимент и формулирование гипотезы в процессе обобщения полученных данных.

Метод измерения применим к поиску решения планиметрических задач, когда производим инструментальное исследование чертежа данной фигуры. Измерение: вывод о сумме внутренних углов в произвольном треугольнике, для чего учащимся предлагается вырезать из бумаги остроугольный, тупоугольный треугольники, транспортиром измерить величины их углов и найти их сумму:. Опыт: по табличным данным или отмеченным точкам на координатной плоскости определить вид функции:

а); б); в); г).

Наблюдение: простые и составные числа; сформулировать определения. Простое ли число 1?

Приемы обучения: Общеучебные приемы, не зависящие от специфики предмета математики и используемые (и формируемые) поэтому во всех учебных предметах. Эту группу можно разделить на две подгруппы: 1) приемы общей (внешней) организации учебной деятельности - приемы слушания, наблюдения, рассматривания, измерения, переписывания, зарисовывания, планирования работы с учебником и другими средствами информации, пересказа информации, самоконтроля, организации учебного общения, организации домашней работы и т.п.; их можно также назвать приемами управления учебной деятельностью; 2) приемы познавательной (внутренней) деятельности - приемы внимания, запоминания; оперирования образами, представлениями, понятиями, суждениями, умозаключениями, мыслительными операциями и действиями; приемами словесного описания, объяснения, формулировки вопросов или проблем; приемы рефлексии и др.

Общие приемы учебной деятельности по математике (общематематические приемы), используемые (и формируемые) во всех математических дисциплинах, которые делятся на те же две подгруппы. Это 1) например, приемы работы с математической книгой и математическими таблицами, организации самостоятельной работы по математике, ведения тетради по математике, приемы заучивания и воспроизведения математического материала и т.д. Они незначительно отличаются от соответствующих общеучебных приемов, но все-таки имеют свои особенности, связанные со спецификой математики; 2) приемы познавательной деятельности в сфере математических объектов - приемы оперирования математическими понятиями, суждениями (аксиомами и теоремами разных видов), умозаключениями (индуктивными и дедуктивными доказательствами теорем), приемы характерных для математики мыслительных операций (анализа, абстрагирования, обобщения и др.) в их специфической форме и т.д.

Приемы обучения в дидактике рассматриваются как конкретные операции
взаимодействия педагога и учащегося в процессе реализации методов обучения,
которые характеризуются предметным содержанием, организуемой ими
познавательной деятельностью и обусловливаются целью применения на каждом
учебном или внеучебном занятии. В педагогической литературе они часто
трактуются как часть метода обучения, отдельный акт, наименьшая структурная
единица процесса обучения, цикл действий, направленных на решение элементарных
учебных задач и др.
Нет сомнения, что реальная деятельность обучения состоит из определенных
приемов. На уровне учебного предмета сочетание приемов составляют методики и
даже целостные методические системы. Поскольку приемов обучения по каждому
учебному предмету множество, то критерием определения их сущности, полноты,
достаточности являются общедидактический метод, конкретно воплощаемый данным
приемом, и организуемая педагогом познавательная деятельность обучаемых. При
этом некоторые из них способны служить осуществлению ряда методов обучения,
другие - обслуживают только один. Однако сколько бы ни было приемов обучения,
все они определяются общедидактическими методами обучения и не выходят за их
рамки. пример: игровые приемы обучениz математике.
В интересах достижения одной и той же цели обучения конкретная методика
включает множество сочетаний различных приемов обучения, что создает условия
для выбора соответствующих приемов, их сочетания и конструирования новых. Это
обусловлено особенностью содержания обучения, способом и планируемым уровнем
усвоения, степенью его эффективности. При этом также учитываются уровень
подготовки учащихся, конкретная учебная ситуация и особенно имеющиеся средства
его реализации (средства обучения).
Средства обучения являются обязательным элементом оснащения учебных кабинетов
и их информационно-предметной среды, а также важнейшим компонентом учебной
материально-технической базы образовательных учреждений. К ним относят
материальные объекты созданные специально для учебных целей, вовлекаемые в
учебный процесс в качестве носителей учебной информации и инструмента
деятельности педагога и учащихся. Термину «средства обучения» соответствуют
эквиваленты: «учебное оборудование», «учебно-наглядные и учебные пособия»,
«дидактические средства».
Особый вид составляют технические средства обучения (ТСО). По своей сути они
являются вспомогательными устройствами, призванными расширить возможности
обучающего и обучаемых, повысить производительность их учебно-познавательной
деятельности. По мере роста и усложнения знаний, а также развития науки и
техники происходит совершенствование учебной материально-технической базы
образовательных учреждений, способствующее лучшему восприятию учебной
информации, ее интеллектуальной переработки, хранению в памяти и применению на
практике.

Средства обучения:Учебник математики, наглядность, дидактический материал, справочная и научно-популярная литература, опорные таблицы, дидактические игры, компьютер