Простая модель выбора решений в условиях риска

Ожидаемый доход, r

Степень риска, σ

Рис. 2.1.1 Оптимальный выбор в условиях риска

А

Б

Предположим, что существует некоторое множество решений, относительно которых можно оценить доходность каждого решения и его риск. Для упрощения, будем считать, что объектом риска считается ставка доходности r, вернее ее ожидаемое значение, а мера риска представлена среднеквадратическим отклонением (σ) этой ставки доходности от ожидаемого значения. Представим возможные альтернативы решений с помощью заштрихованной области (см рис. 2.1.1)..

Предположим, также, что отношение субъекта к риску можно выразить с помощью кривых безразличия и графически отразить на координатной плоскости «ожидаемая доходность-риск».

Тогда, оптимальным решением назовем точку А, в которой кривая безразличия с наиболее высоким статусом (уровнем благосостояния), касается области допустимых решений.

В теории управления риском используется такое понятие как «безусловный денежный эквивалент» или «детерминированный эквивалент». Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) называется минимальная сумма денег, которую субъект готов заплатить за отказ от рисковых денежных потоков, или, максимальная сумма денег, которую субъект готов заплатить за рисковые денежные потоки.

Когда инвестор покупает облигацию, он отдает деньги (цена облигации) за право получать денежные потоки, связанные с определенным риском. Тоже самое делают те, кто вкладывает деньги в инвестиционные проекты, акции различных компаний и т.п. Если инвестор нейтрален к риску, то его БДЭ будет равно ожидаемому значению (математическому ожиданию) денежных потоков (ОД). Если инвестор склонен к риску, то БДЭ > ОД, если не склонен к риску, то БДЭ < ОД;

Критерии выбора рискового решения При выборе управленческого решения в условиях риска можно опираться на следующие критерии выбора рискосодержащего решения:

· критерий математического ожидания;

· критерий рискового предпочтения;

· критерий ожидаемой полезности

Критерий математического ожида ния предполагает, что при выборе из двух и более альтернатив предпочтение имеет альтернатива с наибольшим ожидаемым результатом и наименьшим риском. В качестве ожидаемого результата используют либо арифметическое среднее либо математическое ожидание результирующего значения. В качестве риска используют показатель среднеквадратического отклонения, либо его нормализованная форма – коэффициент вариации.

Для определенных случаев можно сформулировать правило выбора из рисковых альтернатив при наличии среднеквадратического отклонения и среднего значения .

Пусть мы располагаем двумя стратегиями А и Б, относительно которых можно получить значение и .

Предпочтение должно быть отдано варианту А в случаях:

1) ;

2) ;

3) .

Предпочтение варианту Б следует отдать в случаях:

1) ;

2) ;

3) .

Для общих случаев, когда

;

,

в литературе нет единого мнения о порядке выбора более эффективного проекта. Возможные подходы к решению данной проблемы можно увидеть ниже, на рисунке 2.1.2

r

σ

Рис. 2.1.2 Кривые безразличия для индивида: А) склонного к риску; Б) нейтрального к риску; В) несклонного к риску

А

Б

r

r

σ

σ

В

Критерий рискового предпочтения. Уже отмечалось, что склонность субъекта к риску можно описать с помощью кривых безразличия. На рис. представлены различные виды кривых безразличия индивида в зависимости от склонности к риску. Стрелкой, показано направление возрастания уровня кривых безразличия.

В случае, когда субъект испытывает склонность к риску, он готов к выбору более рискового решения, если это позволит получить дополнительный доход (прибыль, успех). Если субъект не склонен к риску, то, чтобы выбрать проект с более высоким риском, он потребует более высокого уровня дохода (прибыли, успеха). Для рискофоба любой проект, требующий дополнительного риска, неприемлем. В зависимости от отношения к риску субъекты осуществляют выбор рисковых альтернатив.

Формально, кривые безразличия для каждого типа субъекта различаются нормой предельной замены доходности на риск, который можно представить в следующей форме

Чем больший прирост дохода требует субъект на единицу риска, тем большую несклонность к риску он проявляет

Согласно статистике, на рынке доминируют субъекты, не склонные к риску, их, по разным оценкам, до 90 %.

Семейство кривых безразличие может быть описано функций рискового предпочтения, которая для каждого управленческого решения, характеризующегося ожидаемой доходностью и риском в форме среднеквардатического отклонения, позволит сопоставить некоторое число. Чем больше это число, тем предпочтительнее альтернатива, это число определяющая.

Обозначим функцию рискового предпочтения, которая будет определять поведение субъекта, F (x, σ) и выделим ее свойства:

1) если , если ;

2) чем больше доход, тем выше значение функции;

3) ;

4) для лиц, склонных к риску (рискофилы) функция возрастает с ростом риска ;

5) для лиц, не склонных к риску, (рискофобы) функция убывает с ростом риска .

В качестве конкретных форм функции рискового предпочтения используют линейные или квадратичные функции следующего вида. Например, для субъекта, не склонного к риску, она может выглядеть следующим образом:

где α – коэффициент несклонности к риску. Для субъекта, склонного к риску, в вышеприведенных функциях, знак минус следует поменять на плюс.

Если число анализируемых альтернатив конечно, то для каждого можно рассчитать значение функции рискового предпочтения и выбрать альтернативу, на котором функция принимает максимальное значение. Если же набор альтернатив описывается некоторым множеством с большим набором точек либо функцией, тогда для функции рискового предпочтения строят кривые безразличия. Чтобы построить кривую безразличия, полагаем и строим кривую относительно σ и x. Параметр а определяет конкретное значение кривой безразличия.

Критерий ожидаемой полезности. Следующий подход не предполагает непосредственного изменения риска в форме стандартного отклонения и основан на предпочтениях субъекта относительно получаемых доходов. В середине XVIII века известный ученый Даниил Бернулли обратил внимание ученых на то, что в условиях риска субъект делает выбор, ориентируясь не столько на возможный выигрыш или проигрыш, сколько на полезность для него результатов игры. Так, для небогатого человека возможность проиграть небольшую сумму снижает полезность возможного выигрыша, поскольку в случае проигрыша он окажется на грани разорения. Для человека состоятельного возможность проиграть много не является катастрофической, он все равно останется достаточно богатым. Полагают, что на отношение субъекта к риску в конкретный момент влияют следующие обстоятельства:

· финансовое состояние субъекта (возможно, субъект находится на грани банкротства);

· склонность субъекта к риску;

· настроение игрока, опыт и готовность к риску;

· другие причины.

Бернулли предложил использовать в качестве критерия при принятии рискового решения полезность выигрыша, которую можно описать функцией.

Спустя 200 лет после идеи Бернулли, в 1944 году, критерий ожидаемой полезности был использован Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном для обоснования поведения экономических субъектов. Они предложили заменить денежное выражение ожидаемого благосостояния субъекта на полезность ожидаемого благосостояния (w):

Вид функции полезности позволяет судить об отношении человека к риску, которое неодинаково у различных людей.

U (w)

Доход (w)

рискофоб

рискофил

Общая полезность

Рис. 2.1.3 Типы функций полезности

нейтральный к риску

В общем случае график функции полезности может быть трех типов (рис. 2.1.3):

· для субъекта, не склонного к риску, – строго вогнутая функция, у которой дуга лежит выше своей хорды;

· для субъекта, нейтрального к риску, – линейная функция;

· для субъекта, склонного к риску, – строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит ниже своей хорды.

Среди наиболее известных функций полезности приведем квадратичную функцию полезности типа , которую называют функцией полезности Норманна-Моргенштерна ^[1]. Другая, не менее известная функция – логарифмическая функция полезности: , для a > 0.

Конкретная форма функции полезности. Вообще говоря, в качестве функции полезности, может использоваться любая выпуклая вверх (вогнута) функция. Показатель, характеризующий степень вогнутости функции u(х):

называют абсолютной локальной степенью несклонности к риску или коэффициентом Пратта-Эрроу

Относительную локальную степень несклонности к риску описывают следующей величиной:

В практических и теоретических моделях наиболее часто используют следующие функции полезности:

· Функция с абсолютной несклонностью к риску:

, где к – константа, характеризующая степень несклонности к риску

· Функция с постоянной относительной несклонностью к риску:

, 0<λ<1,

где 1-λ – степень несклонности к риску

· Функция полезности с убывающей абсолютной несклонностью к риску в форме

· Если единственной мерой риска считать стандартное отклонение, то удобно использовать выделенную выше квадратическую функцию: