Оценка VaR с помощью метода Монте-Карло

Эксперименты проводятся на основе модели, характеризующей динамику случайной величины. Параметры модели определяются на основе обработки статистических данных за определенный период. По результатам большого количества численных экспериментов, для моделируемого параметра делается заключение о распределении случайной величины. Закон случайный величины предполагается известным. Среднее значение смоделированных параметров предполагается считать вероятными будущими значениями реальных параметров.

Метод Монте-Карло показал эффективность при расчетах VaR портфеле, в состав которого входят активы с нелинейными зависимостями основных характеристик. При расчете VaR портфеля методом Монте-Карло определяется распределение его стоимости на конец моделируемого периода, а также распределение доходностей. Величина потерь, отвечающих квантилю(персентилю) для требуемого уровня доверительно вероятности и будет являться величиной VaR портфеля.

Поскольку в основе моделирования VaR портфеля лежит моделирование доходности акции, напомним читателю соотношение модели изменения стоимости акции, определяемой методом случайных блужданий:

где S - цена спот акции;

μ - непрерывно начисляемая ожидаемая доходность;

σ – мгновенное стандартное отклонение доходности акции;

ε – стандартная нормально распределенная случайная величина;

– период времени за который рассматривается изменение стоимости акции.

Для моделирования портфеля из нескольких видов акций различных эмитентов, необходимо учитывать степень коррелированности акций, входящих в портфель. Если доходности акций некоррелированы или имеют положительную корреляцию, изменение стоимости акций на каждом шаге моделирования можно представить следующим образом:

где - начальная цена спот i-й акции;

- прирост цены i-й акции в k-м эксперименте;

- непрерывно начисляемая ожидаемая доходность i-й акции;

– мгновенное стандартное отклонение доходностей i-й акции;

– реализация стандартная нормально распределенной случайной величины для i-й акции

Расчеты для портфеля удобно производить в матричной форме. Определить прирост доходностей на к-м эксперименте.

Возьмем и упростим предыдущее выражение

Рассматривая как разницу между стоимостью акции в текущем и прошлом периоде: , проведем дальнейшее преобразование выражения.

где - цена i-й акции в конце первого периода испытаний в k-м эксперименте;

Теперь, имея представление о количестве акций, входящих в инвестиционный портфель, можно определить его стоимость в конце первого периода, в k-м эксперименте:

Если корреляция доходностей в портфеле равна +1 или -1, стоимость портфеля акций можно определить, опираясь на следующее соотношение:

Если корреляция между доходностями активов отлична от , возникает необходимость в моделировании корреляции доходностей активов, например, с помощью разложение Холецкого. Разложение Холецкого представляет собой симметрическую матрицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц. Ковариационная матрица портфеля может быть представлена как: , где A – нижняя треугольная матрица. В развернутой матричной форме это будет выглядеть следующим образом:

Зададим значение вектора ε в форме:

Найденные значения ε подставляем в формулу и получаем стоимость портфеля с учетом структуры его корреляционной матрицы. Не стоит забывать об одном ограничению - для того, чтобы использовать разложение Холецкого, матрица А должна быть положительно определена.

Есть еще одно полезное замечание. При моделировании прироста акций за короткие сроки, тренд, или скорость движения цены акций представляет собой очень малую величину и может быть, при имитационных экспериментах, приравнена к нулю. В результате, формула примет вид:

 

 

Задачи с решениями

Оценка VaR

Задача 1. Определить VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 20 млн руб., состоящий из одного вида акций. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день равно 2,5 %.

Решение: Доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. Тогда VaR можно рассчитать по формуле: тыс. руб.

Задача 2. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 20 млн. руб., состоящий из одного вида акций. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 10 %.

Решение: Учитывая, что количество рабочих дней в году равно 252, определим стандартное отклонение доходности в расчете на 1 день: .

Доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. Тогда VaR можно рассчитать по формуле тыс. руб.

Задача 3. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 20 млн. руб., состоящий из 50 % акций А и 50 % акций Б. Стандартное отклонение доходности акции А в расчете на один день равно 1,5 %, акции Б –2,5 %. Коэффициент корреляции доходностей акций равен -0,1.

Решение: определим стандартное отклонение доходности портфеля:

.

Доверительной вероятности в 95 % соответствует 1,65 стандартных отклонений. Тогда VaR можно рассчитать по формуле: тыс. руб.

Задача 4. Инвестиционный портфель состоит иp акций двух типов: акций А и акций Б. Коэффициент корреляции между доходностями акций компании равен 0,1. Однодневный VaR с доверительной вероятностью 95 % для акции А равен 100 тыс. руб., по акциям компании Б – 200 тыс. руб. Определить VaR портфеля. портфеля из данных ценных бумаг.

Решение: если известны VaR по и отдельным активам, входящим в портфель, то VaR портфеля можно определить следующим образом:

Задача 5. Российский инвестор купил акции А на 100 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на один день составляет 0,5 %. Курс доллара – 30 руб./дол. Стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день – 1,0 %, коэффициент корреляции между доходностью акции и курсом доллара равен 0,2. Определить VaR портфеля в рублях, с доверительной вероятностью 0,95 %.

Решение: риск инвестора обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций А и падением курса доллара. Поэтому, оба фактора риска должны учитываться при расчете VaR портфеля.

Стоимость акций в рублях составляет: 100 000 долл · 30 руб. = 30,0 млн руб.

Стандартное доходности портфеля с учетом валютного риска равна:

%.

Однодневный VaR портфеля равен: тыс. руб.

Задача 6. Российский инвестор имеет акции А на 200 тыс. долл. в длинной позиции и акции Б на 300 тыс.долл. в короткой позиции, Стандартное отклонение доходности акции А в расчете на один день составляет 1,26 %, акции Б – 1,5. Курс доллара – 29 руб./дол. Стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день – 0,35 %, коэффициент ковариации между доходностью акции А и курсом доллара равен 0,11025, доходностью компании Б – 0,281. Определить VaR портфеля в рублях, с доверительной вероятностью 0,95 %.

Решение: риск инвестора обусловлен тремя факторами: возможным падением котировок акций А, котировок акций Б и падением курса доллара. Поэтому, все три фактора риска должны учитываться при расчете VaR портфеля.

Стоимость акций А в рублях составляет: 200000 дол. · 29 руб. =5,8 млн руб.

Стоимость акций Б в рублях составляет: 300000 дол. · 29 руб. = 8,7 млн руб.

Запишем среднеквадратическое отклонение доходности портфеля в следующей форме:

Удельный вес акций А в портфеле равен: , компании Б: .

Стандартное доходности портфеля с учетом валютного риска равна:

Однодневный VaR портфеля равен: тыс. руб.

Задача 7. Портфель состоит из акций компании А. Стоимость портфеля 1.0 млн. руб. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 90 % на основе исторического моделирования. Существуют данные о цене акций за 11 последних дней, которые можно использовать для расчетов (десятый день, день, предшествующий расчету VaR).

Дни
А

Решение: Определим доходность компании за последние 10 дней по формуле

Таблица 4.20 Доходность акции компании А в расчете на день

Дни
Доходность	0,2	-0,25	0,11	0,2
Дни
Доходность		-0,33	0,25		0,2

 

Изменение стоимости портфеля за каждый день для всего периода представлены в таблице 4.21

Таблица 4.21 Изменение стоимости портфеля в расчете на день

Дни
Доходность		-250
Дни
Доходность		-333

Расположим результаты в порядке возрастания:

-333; -250: 0; 0; 0; 11; 200; 200; 200; 250 и найдем значение, которое соответствует 10 % персентилю, воспользовавшись следующей формулой:

где x _i – i -е в порядке возрастание значение случайной величины;

w_i – оценка относительного положения i -го значения случайной величины в рассматриваемом наборе ее значений, и , где n – количество значений случайной величины

В нашем примере значение -333 имеет порядковый номер 1, а -250 – 2. Соответственно и .

Значение равное персентилю 10%: тыс. руб.

Таким образом, доход, соответствующий персентилю 10 %, равен -258,3 руб. Следовательно, VaR с доверительной вероятностью 90 % равен 258,3 руб.

Задача 8. Портфель состоит из акций компании А и Б, долями 20% и 80% соответственно.. Стоимость портфеля 20 млн. руб. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 90 % на основе исторического моделирования. Существуют данные о цене акций за 11 последних дней, которые можно использовать для расчетов (десятый день, день, предшествующий расчету VaR).

Дни
А
Б

Решение: Определим доходность акций , входящих в портфель и стоимость портфеля за последние 10 дней по формулам

дни	цена	доходность
А ()	Б()	А()	Б()	Портфель(r)
		0,2			0,04
		-0,25		0,2	0,11
				-0,25	-0,2
		0,33			0,07
				0,11	0,09
				0,2	0,16
		-0,25		-0,25	-0,25
		0,11		0,11	0,11
		0,2		0,2	0,2

 

Изменение стоимости портфеля за каждый день для всего периода представлены в таблице 4.21

Таблица 4.21 Изменение стоимости портфеля в расчете на день

Дни
Доходность			-4000
Дни
Доходность		-5000

Расположим результаты в порядке возрастания:

-5000; -4000: 0; 800; 1400; 1800; 2200; 2200; 3200; 4000 и найдем значение, которое соответствует 10 % персентилю, воспользовавшись следующей формулой:

где x _i – i -е в порядке возрастание значение случайной величины;

w_i – оценка относительного положения i -го значения случайной величины в рассматриваемом наборе ее значений, и , где n – количество значений случайной величины

В нашем примере значение -5000 имеет порядковый номер 1, а -4000 – 2. Соответственно и .

Значение равное персентилю 10%: тыс. руб.

Таким образом, доход, соответствующий персентилю 10 %, равен -4100 руб. Следовательно, VaR с доверительной вероятностью 90 % равен 4 100 руб.

Задача 8. Российский инвестор купил акции компании А на 400 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет 1,26 %. Курс доллара = 29 руб./долл., стандартное отклонение валютного курса в расчете на 1 день 0,35 %, коэффициент корреляции между доходностью акции компании А и курсом доллара равен 0,25. Определить величину средних ожидаемых потерь для одного дня с доверительной вероятностью 95 %. Доходность портфеля распределена нормально.

Решение: Стоимость акций А составляет: 400 тыс. долл. · 29 руб. = 11,6 млн. долл.

Дисперсия доходности портфеля с учетом валютного курса равна:

Однодневный VaR портфеля равен: 11,6 млн. руб. · 0,0138946 · 1,65 = 265,94 тыс. руб.

Стандартное отклонение портфеля в рублях равно: 11,6 млн. руб. · 0,0138946 = 161,177.

Величина средних ожидаемых потерь для одного дня для доверительной вероятности 95 % составляет:

ГЛАВА 7 ХЕДЖИРОВАНИЕ РИСКОВ

Срочные контракты

Форвардные контракты

Форвардный контракт – сделка, в которой продавец берет на себя обязательство поставить актив определенного качества и количества к конкретной дате в будущем. Форвардный контракт не имеет стоимости.

Термины, используемые при описании форвардных контрактов:

· Форвардная (срочная) цена - будущая цена на товар, о которой, в настоящее время, договариваются две стороны контракта. Ее также могут называть ценой контракта;

· Спотовая цена или цена спот – цена товара при немедленной поставке товара и уплаты за него;

· Номинальная стоимость контракта – количество товара, поставляемого по контракту, умноженное на его форвардную цену;

· Считают, что сторона, которая соглашается купить указанный в контракте товар, занимает длинную позицию, а сторона, которая соглашается продать товар – короткую позицию (по контракту);

В момент заключения форвардного контракта ни одна из сторон ничего не платит другой стороне.

В момент исполнения форвардного контракта, доход (выигрыш) от занятой позиции, определяется ценой контракта и сложившейся ценой спот :

· доход от короткой позиции (продавца контракта) составит ;

· доход от длинной позиции (покупателя контракта) составит

В дальнейшем будем считать, что соблюдаются следующие условия:

· рынок является совершенным (инвестору доступны активы в любых количествах; разрешены короткие продажи активов; отсутствуют транзакционные издержки и налоги; отдельно взятый инвестор не может повлиять на условия рынка(цены, доходность));

· по форвардным сделкам отсутствует риск исполнения контрактов;

· отсутствуют возможности арбитражных операций

Форвардная цена. Выделяют следующие подходы к форвардным ценам: а) метод затрат; б) метод ожиданий. Метод затрат основывается на детерминированных оценках затрат, связанных с содержанием базового актива в длинной позиции (владением базовым активом). Эти затраты повлияют на будущее значение базового актива, в противном случае возможны безрисковые арбитражные операции, что неприемлемо для совершенного рынка. В основе метода ожиданий лежат субъективные оценки различных групп участников рынка относительно возможных значений стохастических параметров цен на базовые активы, доходности краткосрочных активов, ликвидности и т. п. Оба подхода хорошо известны и не нуждаются в детальном описании, поэтому мы позволим себе лишь напомнить соотношения, определяющие форвардные цены (табл. 7.1).

Таблица 7.1 Методы оценки форвардных цен

Метод затрат

, где s – ставка спот по базовому активу; t – время до выполнения фьючерсного актива; – затраты (в % к активу), связанные с владением базовым активом, включающие: , где , , – затраты на хранение, финансирование, транспортировку базового актива в % к стоимости базового актива

Метод ожиданий

Форвардная цена при несклонности к риску участников рынка: , , где премия хеджирования; эффективная безрисковая ставка; предельная норма замены между будущим и текущим доходом; – цена спот за базовый актив, случайная величина, E – оператор матожидания; t – период до исполнения контракта Фьючерсная цена при нейтральности к риску: , , где – премия за риск реинвестирования; – доходность краткосрочных безрисковых инвестиций в период до исполнения контракта, случайная величина Фьючерсная цена при несклонности участников рынка к риску: , , где – премия ликвидности

 

В дальнейшем, в изложении материала и при решении задач, будет использоваться метод затрат.

При оценке форвардных цен на финансовые активы полагают, что рационально учитывать только затраты на финансирование данного актива. Тогда форвардная цена может быть определена следующим образом:

или (для коротких периодов)

где S – ставка спот по базовому активу; t – время до выполнения фьючерсного актива; r – безрисковая ставка заимствования, «дни» - количество до исполнения контракта, «база» - база используемая для расчетов (360 или 365 дней).

Форвардные цены на акции, по которым выплачиваются дивиденды, можно определить из соотношения:

· в случае, когда выплата дивидендов происходит перед самым закрытием контракта:

· в случае, когда выплата дивидендов происходит в период действия контракта:

, где

где - безрисковая ставка на период действия контракта; D – приведенная стоимость дивиденда; - период, в конце которого выплачивается промежуточный дивиденд; - ставка без риска для периода .

 

Форвардные цены на валютный курс, определяются следующим соотношением:

где S – курс спот оцениваемой валюты в прямой котировке; - безрисковая ставка котируемой валюты; - безрисковая ставка котируемой валюты.

Заключение сторонами форвардного контракта приводит к передаче второй стороне ценовых рисков, но увеличивает риск неисполнения контракта.

Цена форвардного контракта. Форвардный контракт не может быть продан или куплен, поэтому он не может иметь цены в классическом ее понимании. Ценой форвардного контракта называют выигрыш, который приобретает одна из сторон, заключивших форвардный контракт.

 

 

выигрыш

потери

цена актива

Контрактная цена

Рис. 7.1 Выигрыши и потери форвардного контракта

На рисунке 7.1 представлены области потерь и выигрыша для покупателя (лица согласившего принять поставку актива) фьючерсного контракта (обладателя длинной позиции). В случае, когда цены на рынке спот растут, владелец длинной позиции понимает, что он может, благодаря форвардному контракту получить актив дешевле, чем остальные субъекты рынка, не владеющие контрактами. Для владельца короткой позиции, график будет выглядеть зеркально.

Цену форвардного контракта для владельца длинной позиции в момент времени t можно описать следующим соотношением:

Владелец короткой позиции должен поменять знаки в этом соотношении.

Где - цена спот на актив в момент времени t, K- контрактная цена, остальные обозначения уже были введены выше.

Цена форвардного контракта зависит от поведения цен спот. Различают два типа ситуаций поведения форвардных цен и цен спот. Если разница между форвардной ценой и ценой спот положительна в период действия контракта, такая ситуация называется контанго, обратная – бэквардейшн (Рис. 7.2).

 

цена спот

контанго

бэквардейшн

время

форвардная цена

Рис. 7.2 Различные ситуации в поведении форвардной цены

0

T

При приближении к моменту поставки, разница между форвардными и спот ценами уменьшается, а в момент исполнения контракта они становятся равными.

При решении задач, предполагают, что продажа и покупка форвардных контрактов возможна. Делается это для того, чтобы более детально изучить механизм поведения форвардных цен и сделок, а также, изучить поведение участников рынка на срочном рынке. Предполагается, что купля-продажа фьючерсных контрактов производится в форме переуступки прав и обязательств по контрактам и это право переуступки одобрено второй стороной по контракту.

Задачи с решениями.