Соотношение коэффициентов чувствительности в модели арт и коэффициентов бета модели CAPM.

По утверждению У.Шарпа, между двумя выделенными коэффициентами существует связь, которую можно описать следующим соотношением:

где – ковариация между i-м фактором и доходностью рыночного портфеля.

Теперь, можно определить в следующей форме:

Каждый коэффициент может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака ковариации доходности рыночного портфеля и соответствующего фактора. Каждый фактор, учитываемый в модели АТР, может содействовать как увеличению, так и уменьшению ожидаемой доходности рассматриваемого актива или портфеля.

Уравнение линии рынка ценных бумаг, используемое в CAPM, можно представить в виде:

где – ожидаемая доходность рыночного портфеля.

Это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения ATP с единственным фактором равным доходности рыночного портфеля с .

Определение фактического риска портфеля

Для определения фактического риска портфелей могут использоваться следующие коэффициенты:

· Коэффициент Шарпа:

где - фактическая доходность портфеля и безрисковая ставка соответственно;

- фактическое стандартное отклонение портфеля

· Коэффициент Трейнора:

 

 

 

Задачи с решениями

Задача 1. Компания А, выплачивает акционерам всю чистую прибыль. По акции компании А в текущий момент выплачен дивиденд в размере 100 руб., в дальнейшем, полагают, темп прироста составит 10%. Инвесторы полагают, что акции компании А должны приносить их владельцам доходность не ниже 20%. Определить цену акции.

Решение: При заданных условиях можно применить формулу Гордона и определить цену акции по формуле (для r>g). В результате получим следующее значение цены акции:

Задача 2. Инвестор купил акцию за 1100 руб. и продал за два года через за 1200 рублей. За это время он получил два дивидендных платежа – 100 руб. и 120 руб. Определит ь ориентировочно, годовую доходность операции инвестора.

Решение: Ориентировочная доходность акции можно определить по формуле

где , цена акции в момент продажи и покупки соответственно, - средний дивидендный платеж за n лет.

0,104

чтобы определить годовую доходность,

.

В таблице Лапласа для Ф(-0,625) = 0,266. Для

 

Модель оценки стоимости активов

Задача 3. Определить ожидаемое значение доходности портфеля при следующих данных:

– безрисковая ставка;

- ожидаемая доходность рыночного портфеля;

- стандартное отклонение доходности рыночного портфеля;

- стандартное отклонение доходности оцениваемого портфеля;

Решение: Согласно соотношению , ожидаемая доходность портфеля может быть определена как

Задача 4. Доходность акций компании Альфа и рыночного портфеля представлена в таблице 3.5.7.1.

Таблица 3.5.7.1 Доходность акций компании Альфа и рыночного портфеля

Годы
доходность акций, % ()		-4
Доходность рыночного портфеля, %, ()		-2

Определить коэффициент бета акции () на основе смещенных оценок.

Определим выборочную дисперсию рыночного портфеля и ковариацию акции с рыночным портфелем (см. табл. 3.5.7.2).

Таблица 3.5.7.2 Выборочная дисперсия рыночного портфеля и ковариации акции

годы
	-4	-8		-2	-6
		-4			-2
∑							22,4

Коэффициент определим из соотношения:

Задача 5. Портфель состоит из акций типа А,Б,В с характеристиками: ). Определить бету портфеля.

Решение:

Определим бету портфеля из соотношения

Рыночная модель

Задача 6. Акции компаний А и Б имеют следующие характеристики (см. табл. 3.5.7.3):

Таблица 3.5.7.3 Данные по акциям компаний

показатели	А	Б
Ожидаемые доходности в равновесном состоянии
Коэффициент чувствительности к фондовому индексу	1,2	0,8

Задание: Написать уравнение однофакторной модели АТР.

Решение:

Однофакторная модель имеет вид:

где - доходность актива при отсутствии влияния на него рыночного фактора (доходность актива с бетой, равной 0), – премии за риск для рыночного индекса, - коэффициент чувствительности доходности i-го актива к рыночному индексу.

На основе уравнения, запишем следующие соотношения:

Запишем систему в матричной форме:

Тогда решение запишется как

Для нашей задачи:

Запишем систему уравнений и найдем решение.

Теперь можно записать уравнение АРТ в форме:

Задача 7. При сохранении условий предыдущей задачи. Имеется акция В с ожидаемой доходностью – 18 % и коэффициентом чувствительности к рыночному индексу - 0,9. Определить возможность получения арбитражной прибыли и если такая возможность существует, определить величину арбитражной прибыли для инвестора с 200 тыс. руб.. Примечание: на рынке существует возможность коротких займов.

Решение:

Из предыдущей задачи уравнение АТР имеет вид:

Для акции В, ожидаемая доходность составляет:

Арбитраж возможен, поскольку доходность акции В, в равновесном состоянии, выше, чем фактическая доходность.

Построим арбитражную схему следующим образом: сформируем портфель из акций А и Б в короткой позиции (займем деньги с обязательством предоставить покупателю портфель из акций А и Б в оговоренном количестве) и на вырученные деньги купим акции В. Затем, продадим акции В и купим на них акции А и Б для закрытия короткой позиции.

Найдем доли акций А и Б в коротком портфеле, риск которого должен совпадать с риском акции В, используя следующее соотношение:

Где - коэффициенты чувствительности акций к индексу;

доли акций А и Б в коротком портфеле

Выразим и проведя подстановку в соседнее выражение получим:

Доля акций А в коротком портфеле равна:

Удельный вес акций Б в коротком портфеле составит 1 - 0,25 = 0,75.

Стоимость акций А составит , стоимость акций Б составит Инвестор занимает 20 000 руб. под портфель из акций А и Б и покупает акции В. В конце инвестиционного периода продаются акции В на сумму 20 000(1+0,18)=23 600 руб.

Покупая акции,согласно короткому портфелю, инвестор уплатит следующую сумму

Арбитражная прибыль составит 23 600 – 23 250 – 350 руб.

Задача 8. Рассмотрим двухфакторную АРТ. Акции компаний А, Б, В, Г имеют характеристики, приведенные в таблице 3.5.7.4

Таблица 3.7.5.4 Данные об акциях компаний А, Б, В, Г

показатели	А	Б	В	Г
Ожидаемые доходности в равновесном состоянии
Ожидаемые доходности без учета равновесного состояния
Коэффициент чувствительности к рыночному индексу Х	0,4	0,6	0,9	1,2
Коэффициент чувствительности к рыночному индексу Y	0,9	1,2	0,4	1,5

Определить ожидаемую доходность акции Г, с учетом, что ситуация на рынке относительно этой акции будет стремиться к равновесной.

Решение:

Двухфакторную модель АРТ можно записать в следующей форме:

где - доходность актива при отсутствии влияния на него рыночного фактора (доходность актива с бетой, равной 0), и – премии за риск для рыночных индекса x и y соответственно, и - коэффициент чувствительности доходности i-го актива к рыночным индексам xи y соответственно.

В записанном уравнении 3 неизвестных, чтобы его разрешить, необходима система, включающая не менее уравнений с теми же неизвестными. В нашем случае, параметры для акций А, Б, и В помогут нам решить эту проблему. Помним, очень важно, что доходности этих акций соответствуют условиям равновесия на рынке. Запишем следующую систему:

Запишем данные в матричной форме:

Запишем систему уравнений в матричной форме: Тогда решение запишется как .

В развернутой форме:

Теперь мы знаем недостающие параметры АРТ и можем записать соотношение двухфакторное уравнение АРТ для акции Д:

а также, оценить доходность акции на равновесном рынке.

Как видим, акция Б недооценена и по отношению к ней можно совершить арбитражную операцию