Задача 3. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей. Учитываем, что активы, входящие в портфель даны в абсолютном выражении.

Инвестиционный портфель имеет характеристики, представленные в таблице 3.4.2.2

 

Таблица 3.4.2.2 Характеристики инвестиционного портфеля

Показатель	Актив А	Актив Б
Стандартное отклонение доходностей, %
Стоимость активов, тыс. руб.	1 200
Коэффициент корреляции доходностей	-0,5

Определить риск портфеля в форме стандартного отклонения доходностей.

Решение:

Определим доли активов А и Б в портфеле:

Определим риск портфеля из соотношения:

Задача 4. Определяем риск портфеля для двух активов в форме стандартного отклонения доходностей с учетом их характера связей их доходностей.

Инвестиционный портфель имеет характеристики, представленные в таблице 3.4.2.3

 

Таблица 3.4.2. 3 Характеристики инвестиционного портфеля

Показатель	Актив А	Актив Б
Стандартное отклонение доходностей, %
Ожидаемая доходность активов, %

Определить доходность безрискового портфеля из данных активов.

Решение:

Безрисковый портфель из рисковых активов возможет только в случае, когда между активами существует тесная отрицательная связь доходностей, т.е. коэффициент корреляции равен -1. Учтем это в соотношении, определяющем риск портфеля из двух активов

Учитывая, что получим

Теперь, определим ожидаемую доходность безрискового портфеля

Задача 5. Определяем риск и доходность портфеля для двух активов, учитывая, что один из активов (безрисковый), находится в короткой позиции.

Инвестор приобретает рискованный актив на сумму 1 200 тыс.руб. за счет собственных средств и занимает безрисковый актив на сумму 600 тыс.руб. по ставке 12% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А - 25% годовых, стандартное отклонение доходности 20%.

Определить риск и доходность портфеля.

Решение:

Определим удельный вес активов в портфеле:

Поскольку по активу Б происходить займ, его доля в портфеле учитывается со знаком минус, при этом общая доля активов в портфеле равна 1.

Ожидаемая доходность портфеля равна:

Определим риск портфеля, учитывая безрисковый актив:

0

Задача 6. Определяем риск и доходность портфеля для двух активов, учитывая, что один из активов безрисковый и находится в короткой позиции и подвержен валютному риску.

Российский инвестор приобретает рискованный актив X на сумму 10 000 $, купив доллары по курсу 30 руб./долл.. Стандартное отклонение доходности актива X равно 20%, стандартное отклонение валютного курса 5%. Коэффициент корреляции между доходностью акции и курсом доллара равен 0,1.

Определить риск доходности портфеля.

Решение:

В данном случае, мы не можем применить соотношение для определения риска портфеля, использованное ранее. Оба актива, входящие в портфель, содержат разные виды рисков (ценовой и валютный) и вносят его в портфель не частично, а полностью. В теории вероятностей, а также некоторых источниках, связанных с проблемой инвестирования, можно встретить следующую формулу[2]. Тогда:

Задача 7. Решим задачу Марковица для трех видов ценных бумаг методом Лагранжа. Возьмем портфель из трех активов: А, Б, В. Ожидаемые доходности активов равны следующим: . Связь между активам равна:

Определить с помощью множителей Лагранжа оптимальный портфель, который при доходности портфеля на уровне 32 % обладает наименьшим риском.

Решение:

Запишем функцию Лагранжа для нашей задачи:

В развернутом виде:

Найдем и приравняем к нулю все частные производные:

Подставим в нашу систему уравнений исходные числовые данные:

Решить данную систему уравнения можно вручную, с помощью метода Гаусса, однако, в наше компьютеризированное время, это можно сделать на компьютере, с помощью Exel, MatLab и т.п.

Решение системы можно представить в форме:

Воспользуемся функциями Exel и получим следующий результат, представленные в таблице 3.4.2.4

Таблица 3.4.2.4 Результаты расчетов Exel

	B	W
0,000341	-0,00068	0,000341	0,022457	-0,46348		0,255154
-0,00068	0,001365	-0,00068	0,055085	-1,07304		0,689693
0,000341	-0,00068	0,000341	-0,07754	2,536519		0,055154
0,022457	0,055085	-0,07754	-2,14231	34,10294		-34,4509
-0,46348	-1,07304	2,536519	34,10294	-956,592		134,7014

Оптимальный портфель включает следующие доли активов

Развитие теории портфелей.

3.5.1 Модель ценообразования капитальных активов (CAPM).

CAPM позволяет оценить справедл и вую доходность актива с учетом рисков, которую можно использовать в качестве коэффициента дисконтирования при оценке цены активов через денежные потоки или др. способом.

Предпосылки и ограничения модели CAPM: наличие эффективного рынка; ликвидность и делимость активов; отсутствие налогов, транзакционных издержек и возможности банкротства, цены активов не зависят от прошлых состояний; все инвесторы одинаково оценивают ожидаемую доходность на рынке, действуют рационально, стремятся максимизировать ожидаемую полезность, измеряют риск через дисперсию доходностей активов, имеют неограниченную возможность инвестирование и заимствование безрискового актив; рассматривается один момент времени.

Линия рынка капитала (CML- Capital Market Line). CML - описывает зависимость между риском и ожидаемой доходностью актива в форме прямой линии, уравнение которой можно представить следующим образом:

где a – соответствует ставке без риска ;

b - тангенс угла наклона CML, определяющий отношение изменение значения функции к изменению значений ее аргумента:

где – доходность рыночного портфеля;

- риск рыночного портфеля в форме среднеквадратического отклонения.

Уравнение CML можно описать следующим образом:

или

где – доходность рыночного портфеля;