Использование CAPM для оценки рисков

Согласно теореме о разделения, инвестиционный портфель можно разделить на две части: а) безрисковые активы; б) рисковые активы. Причем, структура рисковых активов не зависит от предпочтения инвестора относительно риска портфеля, а значит одинакова для всех инвесторов. Обобщая это утверждения, можно высказать следующее положение: существующие в данный момент на рынке рисковые инструменты образуют рыночный портфель, структура которого совпадает с оптимальной структурой рисковой части индивидуальных портфелей инвесторов.

Теперь мы, в отличие от портфеля Марковица и Шарпа, исходим из априорно существующего оптимального портфеля с априорно существующей рыночной доходностью () и риском(), которые можно определить через ожидаемую доходность и дисперсию.

Уравнение рынка капитала описывает взаимосвязь между портфелями индивидуальных инвесторов и рыночным портфелем. Доходность портфелей инвесторов можно определить из следующего соотношения:

Величина , может рассматриваться как премия за единицу риска, который берет на себя инвестор. Тогда доходность портфеля определяется как .

Рыночный и нерыночный риски в модели CAPM.

Владение финансовым активом связано с двумя рисками:

· Рыночный риск, который называют систематическим, неспецифическим, недеверсифицируемым. Рыночный риск порождается макрофакторами, влияющие на весь рынок в целом. Речь в данном случае идет об экономических, технологических, отраслевых циклах, мерах государственного регулирования экономики, революциях и т.п. Макрофакторы, как правила, влияют на доходность всего рынка и в рамках национальной экономики, избежать рыночного риска практически невозможно (без смены статуса субъекта экономики- например – продать все акции и спрятать наличность дома или в банковском сейфе).

· Нерыночный или диверсифицируемый риск. Читатель имеет представления о том, что компании проходят свои стадии жизненного цикла, на которые накладываются жизненные циклы производимых продуктов. Каждая компания имеет свою структуру капитала, как в активах, так и в источниках их финансирования. Менеджмент каждой компании по своему определяет кадровую политику, корпоративную культуру, стиль управления, технологию управления продажами, производством и финансами. Рынок, оценивая цену акций отдельных эмитентов, внимательно всматривается в их сильные и слабые стороны, возможностям устойчивого роста или нестабильности. Любые новости, относительно компаний учитываются в ценовых котировках. Нестабильность цен акций, порождаемых индивидуальностью предприятия эмитента, связывают с нерыночным риском. Нерыночный риск может быть диверсифицирован. С определенной осторожностью можно утверждать, что рыночный портфель не содержит нерыночного риска.

Премии за риск. Существует суждения, что нерыночный риск в портфеле инвестора не должен компенсироваться соответствующей премией за риск. Обоснование – рациональные инвесторы за счет диверсификации сведут нерыночный риск к нулю. Те из инвесторов, что не следуют рациональным стратегиям, не должны поощряться. Наоборот, рыночный риск должен поощряться премией, поскольку инвестор, действуя в интересах общества, объективно подвергает себя повышенному риску.

Эволюция рыночного риска. Согласно исследованиям западных ученых, по второй половине 60-х, 70-х годов 20-го века, портфель, состоящий из 20 активов, мог полностью исключить нерыночный риск. В 80-90-е годы корреляция между активами уменьшилась и возросла их волатильность, связанная с нерыночным риском. В современное время, чтобы получить широко диверсифицированный портфель, требуется не 20, а 50 видов акций[3].

Роль показателя бета.

Показатель бета рассчитывается по следующей формуле:

Величина β актива позволяет оценить, насколько риск актива в форме среднеквадратического отклонения доходностей, больше риска рыночного портфеля. Точкой отсчета выступает бета рыночного портфеля, равная единице:

Если , то i-й актив обладает большей доходностью, чем рыночный портфель и относится к агрессивным активам.

Если , то i-й актив обладает большей доходностью, чем рыночный портфель и относится к защитным активам.

Бета может быть и отрицательной величиной, что можно использовать для снижения рыночного риска, однако при этом, приходится оставлять в портфеле часть нерыночного риска.

Зная величину бета каждого актива в портфеле, можно определить бету портфеля, по формуле:

где -бета i-го актива;

- удельный вес i-го актива;

n - количество активов в портфеле

Линия рынка актива. Линия рынка активы (SML-Security Market Line)- описывает, как должны оцениваться неэффективные портфели и активы. Представляет собой прямую, проходящие через точки и , в системе координат, где на оси абцисс определена бета актива, а на оси ординат доходность актива.

Уравнение SML имеет следующий вид:

Доходность актива зависит от безрисковой ставки доходности и премии за рыночный риск, определяемый величиной .

С помощью SML можно определить как доходность портфелей независимо от того, лежат ли они на множестве эффективных портфелей или нет, так и активов.

Опираясь на значение и представление о будущем состоянии рынка, инвестор может создавать портфели, которые позволят получать дополнительные преимущества против тех инвесторов, кто придерживался рациональных решений, опирающихся на CML (см. рис.3.5.1.1).

β

r

r

β

а) SML в зависимости от будущего состояния экономики

б) SML при изменении безрисковых ставок

Рис. 3.5.1.1 Различные положения SML

Если инвесторы ожидают изменение безрисковой ставки, то вид SML изменится так, как это показана на рис.3.5.1.2

Сравнение CML и SML Следует различать назначение и возможности CML и SML, представленные в форме таблицы 3.5.1 и в схемах 3.5.1.2.

Таблица 3.5.1.1 Сравнение CML и SML

	CML	SML
Объекты описание	Только эффективные портфели	Неэффективные портфели и отдельные активы
Учитываемые риски		Рыночные риски
Единица измерения риска	Стандартное отклонение доходности портфеля	Бета актива или портфеля

 

r

А

В

M

а) SML в зависимости от будущего состояния экономики

б) SML при изменении безрисковых ставок

Рис. 3.5.1.2 CML и SML

AВ

M

β

σ

CAPM с нулевой бетой. Ф. Блек предложил модифицировать CAPM для случая, когда отсутствует безрисковый актив, но существует актив, содержащий только нерыночный риск, с . Уравнение SML, проходящее через рыночный портфель и рискованный актив с имеет вид:

где – ожидаемая доходность рискованного актива с нулевой бетой.

CAPM для облигации. Оказывается, что CAPM можно использовать и для облигаций. При этом уравнение SML будет выглядеть следующим образом:

где – ожидаемая доходность рыночного портфеля облигаций;

– ожидаемая доходность i-й облигации;

– коэффициент бета i-й облигации.

Коэффициент бета i-й облигации выражается следующим образом:

где – ожидаемая доходность рыночного портфеля облигаций;

– ожидаемая доходность i-й облигации.

 

Модель Шарпа

Диагональная модель. Определяет зависимость доходности актива от показателей, характеризующих состояние рынка или индексов, которую можно формально представить следующим образом:

где – ожидаемая доходность i-го актива;

– доходность i-го актива, не зависящая от действия рыночных факторов (индексов);

– коэффициент, определяющий зависимость доходности от рыночного фактора (индекса);

– значение рыночного фактора, индекса;

– независимая случайная величина (ошибка)

Значение – определяет степень воздействие на актив нерыночных факторов, обладает следующими свойствами:

· Среднее значение равно нулю ();

· Дисперсия - постоянная величина ();

· Ковариация с значением рыночного фактора (индекса) равна 0 ();

· Ковариация с значением рыночного фактора (индекса) равна 0 ();

· Характеризуется нормальным распределением

Доходность портфеля, в терминах диагональной модели представим в следующем виде

или

где – коэффициент, показывающий влияние рыночного индекса на доходность портфеля.

Определим дисперсию доходности портфеля:

где – дисперсия доходности рыночного факторы (индекса);

– дисперсия значений независимой случайной величина i-го актива

Рыночный риск портфеля можно оценить как , нерыночный (специфический) можно оценить как .

При практических расчетах и для наглядности дисперсию доходности портфеля можно представит в матричной форме как:

Рыночная модель

Трейнор предложил вместо значения рыночного фактора(индекса) использовать не его абсолютное значение а доходностью. Таким образом, теперь, в формуле Шарпа, присутствуют величины одного порядка. Уравнение доходности i-го актива стало иметь следующий вид:

где – коэффициент, показывающий степень изменения доходности актива при изменении доходности рыночного фактора (индекса);

– доходность рыночного фактора (индекса);

Данную модель называют рыночной моделью. Диагональную и рыночную модель удобно применять на практике, поскольку она строится на небольшом объеме данных, доступных большинству потенциальных инвесторов. Линейная зависимость доходности актива от рыночного фактора(индекса) позволяет использовать метод наименьших квадратов для оценки параметров уравнения. Так, для рыночной модели, параметр и могут быть определены из следующих соотношений:

где – ковариация между доходностью i-го актива и доходностью рыночного фактора (индекса);

– средняя доходность рыночного фактора (индекса);

– средняя доходность i-го активы за предыдущий период)

В рамках рыночной модели полный риск актива можно разделить на рыночный (недиверсифицируемый) и нерыночный (диверсифицируемый). Определим дисперсию доходности актива:

при имеет:

где – рыночный риск актива;

– нерыночный риск актива

Чтобы вычислить долю дисперсии актива, которая определяется рыночными факторами, используют коэффициент детерминации(, который можно определить следующим образом:

так как

 

3.5.4 Арбитражная теория ценообразования

Получение основного уравнение арбитражной теории ценообразования.

Введем следующие обозначения:

· – доходность j-й ценной бумаги, j=1,2,…..n;

· – значение i-го фактора, i=1,2,…..m

· - коэффициент чувствительности j-й ценной бумаги к i-му фактору;

· - свободный член уравнения;

· - свободная переменная с нулевым математическим ожиданием, ненулевой дисперсией, независимая от факторов ;

· – доля стоимости j-й ценной бумаги в инвестиционном портфеле

Доходность отдельных видов ценных бумаг на финансовом рынке, описывается следующим уравнением регрессии:

Создадим портфель из таких ценных бумаг, финансируя покупки только короткими продажами (не используются собственные средства инвестора). Тогда структура портфеля удовлетворяет следующему условию:

Предполагаем, что для сформированного портфеля разумны следующие предположения:

· при увеличении ценных бумаг в портфеле влияние случайных величин на доходность портфеля будет стремиться к нулю: при ;

· портфель нечувствителен ни к одному из факторов: ;

Доходность портфеля, описывается следующим соотношением:

Если доходность такого портфеля больше 0, то это означает что он является арбитражным, т.е., при нулевых инвестициях, можно сформировать портфель, который позволит получить прибыль. В условиях рыночного равновесия арбитражные стратегии невозможны, поэтому рассматриваемый портфель должен иметь нулевую доходность:

Далее, попытаемся описать ожидаемую доходность ценной бумаги в терминах, характеризующих доходность как функции, учитывающей риски, связанные с факторами влияющими на данную ценную бумагу.

Сначала определим ожидаемую доходность, как математическое ожидание случайной величины :

Поскольку (по определению), последний член можно отбросить. Затем, будем считать, что все равны между собой. Тогда ожидаемую доходность можно переписать в следующей форме:

Вышеприведенное уравнение является основным уравнением арбитражной теории ценообразования, которое должно выполняться для каждой ценной бумаги, безрискового актива и фондового рынка в целом.

Обратите внимание на . Эта величина, которая не зависит от влияния факторов. С содержательной точки зрения, этому свойству соответствует безрисковая ставка. Чтобы обозначить эту особенность, заменим на .

Далее, сформируем, инвестиционные портфели, ожидаемая доходность в каждом, зависит только от одного фактора и не зависит от остальных. Тогда основное уравнение арбитражной теории для каждого из рассматриваемых портфелей превращается в однофакторное, используя которое, можно показать, что , где - ожидаемая доходность портфеля, чувствительного только к i-му фактору.

Теперь, зная величины , можно определить основное уравнение арбитражной теории в следующей форме:

Из полученного уравнения следует, что в основе доходности, для каждой ценной бумаги, лежит доходность по безрисковому активу, плюс премии за дополнительные риски, которые оказывают на ценную бумагу отдельные факторы.