Классическая портфельная теория Г.Марковица.

Основные понятия и гипотезы портфельных теорий.

Предпосылки классической теории выбора портфеля:

1. Инвестор принимает решения только на один период;
2. Портфель состоит только из рисковых активов;
3. Для каждого актива можно определить ожидаемую доходность, стандартное отклонение и ковариацию доходностей любой пары активов;
4. Доходности активов, рассматриваемые как случайная величины, могут характеризоваться нормальным распределением.
5. Налоги и транзакционные издержки не учитываются

Анализ риска и доходности с помощью дисперсии

Инвестиционный портфель состоит из активов (финансовых инструментов). Риск- это возможность того, что ожидаемая доходность по рассматриваемому инвестиционному портфелю (отдельному активу) не будет получена. Мера риска – стандартное отклонение доходности портфеля (актива).

Предполагается:

· инвесторы предпочитают более высокие ожидания и выбирают дисперсию поменьше;

· существуeт n активов с случайными доходностями .

Пусть ожидаемыми доходностями являются величины . Из этих n активов можно сформировать портфель с весами ( -доля стоимости i-го актива в общей стоимости портфеля. В общем случае портфель можно определить как

Обозначим - доходность портфеля, которая определяется как . Так как является случайной величиной, то и также будет являться случайной величиной с средним и дисперсией , которые определяют следующим образом:

Где - дисперсия случайной величины , ковариация случайных величин и

Совокупный риск, если он измеряется дисперсией, можно разделит на две части:

· систематический риск , связанный с корреляцией между доходностями активов;

· несистематический риск , связанный только с индивидуальными дисперсиями активов.

При условии , в портфеле исключаются короткие продажи.

Некоторые свойства портфеля

Если доходности активов некоррелированы, (), то стремиться к нулю, при условии, что портфель широко диверсифицирован. Например, при

Диверсификация имеет пределы. Предположим: а) все доходности имеют одинаковую дисперсию; б) коэффициенты корреляции являются постоянной величиной; в)

Как можно видеть, не может превышать

Из перечисленных свойств следует, что систематический и несистематический риск ведут себя по разному. Если число активов в портфеле увеличивается и он хорошо диверсифицирован, то портфель содержит только систематический риск

Риск портфеля, состоящего из двух активов

Если портфель состоит из двух активов, то его риск, в форме стандартного отклонения доходности портфеля можно определить из соотношения:

Время

Доходность

Время

Доходность

Время

Доходность

А)

Б)

В)

Доходности активов X и Y коррелируют со значением: А) Б) В)

X

Y

X

Y

X

Y

Рис. 3.4.1 Доходности активов при разных видах корреляции

где индексами x и y обозначим активы, а – ковариацию доходностей активов x и y (выше ковариацию мы обозначали как ).

То же самое, выраженное через коэффициент корреляции, будет выглядеть следующим образом:

r

r

r

А)

Б)

В)

X

Y

X

Y

А) Б) В)

Рис. 3.4.2 Множества допустимых портфелей, состоящих из двух активов X и Y с разной корреляционной зависимостью:

Можно выделить четыре связи (см. рис 3.4.1) между доходностями двух активов: 1) сильную положительную (); 2) сильную отрицательную (); 3) отсутствие связи ; 4) положительные и отрицательные связи в интервале возможных значений, принимаемых от -1 до +1. Поведение доходностей активов при разных видах связей (см. рис.) определяет множество возможных портфелей с данными активами (см. рис 3.4.2.)

Если , то риск портфеля описывается как:

тогда

Если , риск портфеля изменится:

тогда

В данном случае можно получить безрисковый портфель. Для этого приравняем к нулю:

= 0

тогда

Поскольку , выражение можно представить в форме:

При этом, доля актива y будет равна:

а доля актива x:

Для портфеля с нулевой корреляцией

при этом

 

Риск портфеля из двух активов с минимальной дисперсией