Задачі на неодночасний рух в різних напрямках

Задачі на рух, в який рух обох тіл починається у різний час, відносяться до задач на неодночасний рух. Розв’язання таких задач містить два етапи:

1. На першому етапі розглядається „самостійний” рух тіла, що вирушило раніше.

2. На другому етапі розглядається „одночасний” рух двох тіл.

Розглянемо кілька прикладів задач на неодночасний рух.

Задача 1. З міста вирушив пасажирський поїзд зі швидкістю 70 . Через 2 години, з цього ж міста, в протилежному напрямі, вирушив швидкий поїзд зі швидкістю 120 . Яка відстань буде між поїздами через 3 години після виходу швидкого поїзду?

- Про що йде мова в задачі? (Про рух двох поїздів.)

- Що відомо про час початку руху? (Вони вийшли неодночасно. Спочатку вирушив пасажирський поїзд, і лише через 2 год вирушив швидкий поїзд.)

- Як рухаються поїзди? (Спочатку пасажирський поїзд рухався самостійно, а коли вийшов швидкий поїзд, то вони рухалися в протилежних напрямах.)

- Отже, можна цю задачу розбити на дві частини:

1) в першій частині розглянути „Самостійний” рух пасажирського поїзду: „З міста вирушив пасажирський поїзд зі швидкістю 70 і рухався 2 години. Яку відстань він подолав?”;

2) в другій частини розглянути „одночасний” рух пасажирського та швидкого поїздів у протилежних напрямах: „З міста вирушив пасажирський поїзд зі швидкістю 70 . З цього ж міста, в протилежному напрямі, вирушив швидкий поїзд зі швидкістю 120 . Яка відстань буде між поїздами через 3 години після виходу швидкого поїзду?”

- Як знайти відстань за відомими швидкістю та часом? (Щоб знайти відстань, треба швидкість помножити на час.)

- Які висновки можна зробити при одночасному русі в протилежних напрямах? (Відстань між поїздам и весь час збільшується. Весь шлях складається з суми відстаней, яку подолали кожний поїзд. На рух поїзди витратили однаковий час, 3 год.)

- Зробимо креслення. На кресленні покажемо дві частини задачі:

 

t = 2 год. t = 3 год.

70 70 120

 

 

?

- За коротким записом поясніть числа задачі. (Число 70 означає швидкість пасажирського поїзду. 70 означає, що пасажирський поїзд за кожну годину проходить 70 км. Число 2 означає, час який пасажирський поїзд рухався „самостійно”. Число 120 – означає швидкість швидкого поїзду. 120 означає, що кожний час швидкий поїзд проходить по 120 км. Число 3 означає час руху швидкого і пасажирського поїздів при їх „одночасному” русі в протилежних напрямах. Треба знайти відстань між поїздами. Вся відстань складається з відстані „самостійного” руху пасажирського поїзду та відстані, на яку віддалилися поїзди при „одночасному” русі в протилежних напрямах.

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? (Треба знати два числові значення: 1 – відстань, яку пройшов пасажирський поїзд при „самостійному” русі, невідомо, та П – відстань, на яку віддалилися поїзди при „одночасному” русі в протилежних напрямах, невідомо.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо обидва числові значення.)

- Що треба знати, щоб дізнатися відстань, яку пройшов пасажирський поїзд при „самостійному” русі? (Треба знати два числові значення: 1 – швидкість пасажирського поїзду, відомо 70 , та П – час його самостійного руху, відомо, 2 год.)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення.)

- Чи можна одразу відповісти на це запитання? (Так, відомі обидва числові значення.) А на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо на яку віддалилися поїзди при „одночасному” русі в протилежних напрямах.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? (Треба знати два числові значення: 1 – на скільки віддаляються поїзди за кожну годину, невідомо, та П – час їх спільного руху, відомо, 3 год.)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення.)

- Чи можна одразу відповісти на це запитання? (Ні, ми не знаємо на скільки віддаляються поїзди за кожну годину.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? (Треба знати два числові значення: 1 – яку відстань проходить за кожну годину пасажирський поїзд, відомо 70 км, та П – відстань, яку проходить за кожний час швидкий поїзд, відомо, 120 км.)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання. (Так, ми від запитання перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.)

 

?

 

? +?

 

 

 

70 * 2? * 3

 

 

70 + 120

 

- Складіть план розв’язування задачі. (Першою дією дізнаємось відстань, яку проїхав пасажирський поїзд, рухаючись „самостійно”. Другою дією дізнаємось на скільки віддаляються поїзди один від одного за кожну годину при „одночасному” русі в протилежних напрямах. Третьою дією дізнаємось на скільки віддаляться поїзди за 3 год при „одночасному” русі в протилежних напрямах. Четвертою дією дізнаємось відстань між поїздами через 3 години після виходу швидкого поїзду.)

- Запишіть розв’язання по діях з поясненням.

Розв’язання

1) 70 * 2 = 140 (км) – відстань, яку проїхав пасажирський поїзд, рухаючись „самостійно”;

2) 70 + 120 = 190 (км) – на стільки віддаляються поїзди один від одного за кожну годину при „одночасному” русі в протилежних напрямах;

3) 190 * 3 = 570 (км) – на стільки віддаляться поїзди за 3 год при „одночасному” русі в протилежних напрямах;

4) 140 + 570 = 710 (км) – відстань між поїздами через 3 години після виходу швидкого поїзду.

П спосіб.

1) 70 * 2 = 140 (км) – відстань, яку проїхав пасажирський поїзд, рухаючись „самостійно”;

2) 70 * 3 = 210 (км) – проїхав пасажирський поїзд після виходу швидкого;

3) 120 * 3 = 360 (км) – проїхав швидкий поїзд;

4) 210 + 360 = 570 (км) – проїхали швидкий і пасажирський поїзди разом при „одночасному” русі в протилежних напрямах;

5) 570 + 140 = 710 (км) - відстань між поїздами через 3 години після виходу швидкого поїзду.

Відповідь: 710 км.

 

Задача 2. З пункту К виїхав велосипедист зі швидкістю 14 . Через 2 год із цього пункту в протилежному напрямі виїхав вантажний автомобіль зі швидкістю 58 . Через скільки годин після виходу автомобіля відстань між ними становитиме 244 км?

t -? t = 2 год.

14 14 К 58

 

 

244 км

Розв’язання

1) 14 * 2 = 28 (км) - відстань, яку проїхав велосипедист, рухаючись „самостійно”;

2) 58 + 14 = 72 (км) - на стільки віддаляються велосипедист і вантажний автомобіль один від одного за кожну годину при „одночасному” русі в протилежних напрямах;

3) 244 – 28 = 216 (км) – на стільки віддалилися велосипедист і автомобіль за весь час „одночасного” руху в протилежних напрямах;

4) 216: 72 = 3 – стільки годин рухався автомобіль.

Відповідь: через 3 години відстань між велосипедистом і автомобілем становитиме 244 км.

 

Задача 3. З Москви до Архангельська, відстань між якими 1120 км, вирушив поїзд зі швидкістю 35 . Через 23 год з Архангельська назустріч йому вийшов поїзд. З якою швидкістю їхав поїзд з Архангельська, якщо поїзди зустрілися через 5 год після виходу другого поїзду?

t = 23 год t = 5 год.

35 35 ?

 

 

1120 км

Розв’язання

1) 35 * 23 = 805 (км) - відстань, яку проїхав поїзд з Москви, рухаючись „самостійно”;

2) 1120 – 805 = 315 (км) – відстань, на яку наблизилися поїзди при „одночасному” русі назустріч;

3) 315: 5 = 63 (км) – на стільки наближаються поїзди один до одного за кожну годину;

4) 63 – 35 = 28 (км) – проходе другий поїзд за кожну годину, тому швидкість другого поїзду 28 .

Відповідь: 28 .

Зазначимо, що для цієї задачі існую другий спосіб розв’язання.

Задачі на неодночасний рух можна декілька ускладнити:

4. Відстань між містами А та В 520 км. У 8 годині ранку з А в В вийшов автобус зі швидкістю 56 , а об 11 годині дня з В в А вийшла вантажівка зі швидкістю 32 . О котрій годині вони зустрінуться і на якій відстані від міста А вони зустрілися?

5. О півдні від пристані відійшов пароплав зі швидкістю 16 . Через 3 год від тієї самої пристані в тому ж напрямі відійшов другий пароплав і через 12 год після виходу догнав перший пароплав. Визначити швидкість другого пароплаву.

6. Два поїзди вийшли у різний час назустріч один одному з двох станцій, відстань між якими 794 км. Перший поїзд йшов зі швидкістю 52 , а швидкість другого на 10 менше. До місця зустрічі перший поїзд пройшов 416 км. Який поїзд вийшов раніше і на скільки?

7. З міста А у напрямі до міста В вийшов поїзд зі швидкістю 50 . Через 12 годин з того ж міста вилетів літак зі швидкістю у 7 разів більшою за швидкість поїзду, і наздогнав поїзд на половині шляху від А до В. Визначити відстань між містами.

8. Від пристані А до пристані В відправився пароплав зі швидкістю 24 , а за 9 год до нього в цьому ж напрямі вийшов буксир з баржами зі швидкістю 8 и прибув в В на 15 год пізніше пароплава. Знайди відстань між пристанями.