Задачі на подвійне наведення до одиниці

 

В 4 класі учні знайомляться з складнішими задачами на подвійне зведення до одиниці. Розглянемо методику введення таких задач.

Задача 1. (Підготовча). Два трактори за 4 год роботи витратили 200 л бензину. Скільки палива витратить один трактор за одну годину?

Це задача відомого виду, учні впізнають її і розв’язують самостійно:

: 2 тр., 4 год. – 200 л   1 тр., 1год. -?

 

1 спосіб. Першою дією дізнаємося про об’єм бензину для 2 тракторів на 1 год. Другою дією дізнаємося про об’єм бензину для 1 трактора на 1 годину.

2 спосіб. Першою дією дізнаємося про об’єм бензину для 1 трактора на 4 години. Другою дією дізнаємося про об’єм бензину для 1 трактора на 1 годину.

Розв’язання:

1 спосіб::

1) 200: 4 = 50 (л) бензину 2 тракторам на 1 годину.

2) 50: 2 = 25 (л) бензину 1 трактору на 1 годину.

Або 200: 4: 2 = 25 (л)

П спосіб::

1) 200: 2 = 100 (л) бензину 1 трактору на 4 години.

2) 100: 4 = 25 (л) бензину 1 трактору на 1 годину.

Або 200: 2: 4 = 25 (л)

Відповідь: 25 л бензину витратить 1 трактор за 1 годину.

Далі вчитель продовжує задачу:

Задача 2. Два трактори за 4 години роботи витратили 200 л бензину. Скільки палива витратить один трактор за 5 годин?

Учні записують задачу коротко:

: 2 тр., 4 год. – 200 л   1 тр.,5 год. -?

 

 

Порівнюють цю задачу з попередньою і встановлюють, що вона є її продовженням. Отже ця задача також має два способи розв’язання. Ставимо стрілочку і проводимо аналітичний пошук розв’язання, згідно першому способу:

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі “ Скільки бензину треба 1 трактору на 5 годин?”. (Треба знати два числові значення: 1 – скільки літрів бензину треба 1 трактору на 1 годину (не відомо), та П – час роботи трактору (5 годин).)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією множення.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, ми не знаємо об’єм бензину для 1 трактору на 1 годину.)

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання “Скільки літрів бензину треба 1 трактору на 1 годину?” (Треба знати два числові значення: Об’єм бензину для 1 трактору на весь час роботи (не відомо), та П – час роботи (відомо, 4 години).

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання. (Дією ділення.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Не можна, ми не знаємо об’єм бензину для 1 трактора на 4 години.)

- Що треба знати, щоб знайти об’єм бензину для 1 трактора на 4 години? (Треба знати два числові значення: 1 – загальний об’єм бензину (200 л), та П – кількість тракторів (відомо, 2).

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією ділення.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Так, нам відомі обидва числові дані.)

- Отже ми від запитання перейшли до числових даних, аналіз закінчено.

 

 

?

 

 

3)? * 5

 

 

 

2)?: 4

 

 

1) 200: 2

 

 

Складаємо план розв’язування задачі.

Першою дією дізнаємося про об’єм пального на 4 години для 1 трактора. Другою дією дізнаємося про об’єм пального на 1 годину для 1 трактора. Але ми ще не відповімо на запитання задачі – це лише “ключ” для її розв’язку. Третьою дією відповімо на запитання задачі, і дізнаємося про об’єм пального на 5 годин для 1 трактора.

Розв’язання:

:

1) 200: 2 = 100 (л) бензину на 4 години для 1 трактора.

2) 100: 4 = 25 (л) бензину на 1 годину для 1 трактора.

3) 25 * 5 = 125 (л) бензину на 5 годин для 1 трактора.

 

- Чим відрізняється другий спосіб розв’язання? (Першою дією.) Поставте дужку.

: 2 тр., 4 год.– 200 л   1 тр., 5 год. -?

 

 

- Складіть план розв’язування задачі. (Першою дією ми дізнаємося про об’єм бензину для 2 тракторів на 1 годину. Другою дією дізнаємося про об’єм бензину для 1 трактора на 1 годину – це “ключ” до розв’язання задачі. Третьою дією ми відповімо на запитання задачі, дізнаємося про об’єм бензину для 1 трактора за 5 годин.)

- Запишіть розв’язання задачі.

Розв’язання:

:

1) 200: 4 = 50 (л) бензину для 2 тракторів на 1 годину.

2) 50: 2 = 25 (л) бензину для 1 трактора на 1 годину.

3) 25 * 5 = 125 (л) бензину для 1 трактора на 5 годин.

- Порівняйте обидва способи розв’язання. Що в них спільного? (В них спільні останні дії і пояснення до другої дії.) Чим вони відрізняються? (Першими діями і поясненнями до них та другими діями.)

- Покажемо обидва способи розв’язання на короткому записі:

: 2 тр., 4 год.– 200 л   1 тр.,5 год. -?

 

 

На етапі закріплення учні, зробивши короткий запис, впізнають задачу відомого виду; ставлять стрілочки і розв’язують задачі двома способами; розв’язок записують по діях та виразом. Можливо подальше ускладнення задачі, наприклад:

Задача 3. Двома сівалками за 12 год. роботи засіяли 96 га пшениці. Скільки гектарів пшениці можна засіяти однією сівалкою за 7 год. роботи?

Учні складають короткий запис і розв”язують задачу двома способами.

: 2 св..,12 год.– 96 га   1 св., 7 год. -?

 

Після розв’язання задачі, школярам пропонується відповісти на додаткове запитання “ Скільки гектарів пшениці можна засіяти трьома сівалками за 7 годин?”. Задача з таким запитанням має короткий запис:

: 2 св..,12 год.– 96 га   3 св., 7 год. -?

 

 

Порівнюючи отриману задачу з попередньою, учні з’ясовують, що дана задача розв’язується чотирма арифметичними діями.

 

Ознайомлення з задачами П виду. Методику введення задач такої математичної структури можна побудувати на підставі розв’язання задачі 1 виду і складання оберненої задачі. Наприклад:

Задача 1. (1 вид) Чотирма сівалками за 9 годин засіяли 108 га ячменю. Скільки гектарів ячменю можна засіяти 1 сівалкою за 20 годин?

: 4 св.., 9 год.– 108 га   1 св., 20 год. -?

 

 

Розв’язання:

1 спосіб:

1) 108: 9 = 12 (га) 4 сівалки за 1 годину

2) 12: 4 = 3 (га) 2 сівалка за 1 годину.

3) 3 * 20 = 60 (га) 1 сівалка за 20 годин.

Або 108: 9: 4 * 20 = 60 (га)

П спосіб:

1) 108: 4 = 27 (га) 1 сівалка за 9 годин.

2) 27: 9 = 3 (га) 1 сівалка за 1 годину.

3) 3) 3 * 20 = 60 (га) 1 сівалка за 20 годин.

Або 108: 4: 9 * 20 = 60 (га)

Відповідь: 60 га ячменю можна засіяти 1 сівалкою за 20 годин.

Складемо обернену задачу, в якій невідомим буде число 20.

4, 9, 108, 1, 20, - пряма задача

4, 9, 108, 1,, 60 – обернена задача

 

Задача 2. Чотирма сівалками за 9 годин засіяли 108 га ячменю. За скільки годин можна засіяти 60 га однією такою сівалкою?

Учні розглядають короткий запис, який подано у підручнику:

4 св..,9 год.– 108 га   1 св.,? - 60 га

 

 

- Порівняйте цю задачу і попередню. Що цікавого ви помітили? (Обидві задачі мають схожі короткі записи.)

- Отже, якщо ці задачі мають схожі математичні структури, то вони мають схожі способи розв’язання. Кількома способами можна розв’язати цю задачу? (Так само, як і попередню задачу – двома способами.)

- Поставте стрілочки і розкажіть план розв’язування за першим та другим способами.

: 4 св..,9 год.– 108 га   1 св..,? - 60 га

 

 

Перший спосіб. Першою дією дізнаємося про площу ячменю, який засіяно 4 сівалками за 1 годину. Другою дією ми дізнаємося про площу ячменю, який засіяно 1 сівалками за 1 годину – це “ключ” до розв’язання задачі. Третьою дією ми відповімо на запитання задачі, дізнаємося за скільки годин можна засіяти 60 га однією такою сівалкою.

Розв’язання:

1 спосіб:

1) 108: 9 = 12 (га) 4 сівалки за 1 годину

2) 12: 4 = 3 (га) 2 сівалка за 1 годину.

3) 60: 3 = 20 – за стільки годин засіють 60 га ячменю 1 сівалкою.

- Порівняйте перший спосіб розв’язання цієї і попередньої задачі. Чим вони схожі? (Двома першими діями.) Чим вони відрізняються? (Останніми діями: в попередній задачі третя дія множення, а в даній – дія ділення.)

Другий спосіб. Першою дією дізнаємося про площу ячменю, який засіяно 1 сівалкою за 9 годин. Другою дією ми дізнаємося про площу ячменю, який засіяно 1 сівалками за 1 годину – це “ключ” до розв’язання задачі. Третьою дією ми відповімо на запитання задачі, дізнаємося за скільки годин можна засіяти 60 га однією такою сівалкою.

1) 108: 4 = 27 (га) 1 сівалка за 9 годин.

2) 27: 9 = 3 (га) 1 сівалка за 1 годину.

3) 60: 3 = 20 – за стільки годин засіють 60 га ячменю 1 сівалкою.

- Порівняйте другий спосіб розв’язання цієї і попередньої задачі. Чим вони схожі? (Двома першими діями.) Чим вони відрізняються? (Останніми діями: в попередній задачі третя дія множення, а в даній – дія ділення.)

- Отже ці дві задачі мають схожу математичну структуру, тому вони відносяться до одного типу. Але розв’язання цих задач відрізняються останніми діями, тому перша задача є задачею 1-го виду, а друга П – виду.

 

На етапі закріплення після розв’язання задачі можливо перетворення задачі одного виду в задачу іншого виду. Крім того, можна поставити додаткове запитання до задачі, наприклад:

3 тр., 4 год. – 240 л 1 тр.,?. – 400 л

Задача 3. Три однакові трактори за 4 год роботи витратили 240 л пального. На скільки годин роботи вистачить 400 л пального одному такому трактору?

 

 

Додаткове запитання: “ На скільки годин роботи вистачить 400 л пального 2 тракторам?”

3 тр., 4 год. – 240 л 2 тр.,?. – 400 л

 

Задачі на спільну роботу.

 

В 3-му класі у молодших школярів ми формували уміння розв’язувати задачі на спільну роботу, які розв’язуються двома (трьома) діями – це так звані, підготовчі задачі. Розглянемо докладно методику введення задач на спільну роботу.

На підготовчому етапі корисним є розв’язання задач на продуктивність праці:

1) Слюсар за 3 год. зробив 15 деталей. Скільки деталей він зробить за 5 год., якщо щогодини робитиме однакову кількість деталей?

2) За планом завод мав випускати щодня 167 (30) верстатів.За тиждень (5 роб. днів) він випустив 910 (300) верстатів. Скільки верстатів випустив завод понад план за тиждень?

3) Відкрили кран, через який за 1 хв вливається 20 л. води і за 8 хв. наповнили ванну. Потім кран закрили та відкрили зливний отвір, через який уся вода витекла за 4 хв. Скільки літрів води витекло за 1 хв?

Також на ступені підготовчої роботи треба актуалізувати уміння розв’язувати задачі на спільну роботу підготовчого характеру, які розв’язувалися в 3-му класі, наприклад:

Задача 1. 24 тони води перший насос може викачати за 6 годин, а другий – за 3 години. Скільки тон води викачають за 1 годину обидва насоси, якщо працюватимуть разом?

Учні записують цю задачу в формі таблиці; пояснюють числа і запитання задачі. З’ясовують більше чи менше часу, ніж 6 год. (3 год) потрібно буде обом насосам викачати 24 т води. Далі їм пропонується відповісти на запитання:

- Чи впізнаєте ви цю задачу? (Так, це задача на спільну роботу)

- В чому полягає спосіб розв’язування задач на спільну роботу? (Треба додати маси води, що викачує перший насос за 1 годину і, що викачує другий насос за годину; і отримаємо масу води, що викачають за 1 годину обидва насоси, працюючи разом.)

- Запишіть розв’язання по діях з поясненням.

- Запишіть відповідь.

 

Ознайомлення.

Задача 2. 24 т води перший насос може викачати за 6 год, а другий – за 3 год. За скільки годин викачають цю воду обидва насоси, якщо будуть працювати разом?

Учні читають задачу, записують її коротко в формі таблиці:

	Час роботи (год.)	Маса води за 1 год. (т)	Загальна маса води (т)
1 насос	6 год.	?	24 т
П насос	3 год.	?	24 т
1 і П насоси	?	?	24 т

Учні за таблицею пояснюють числа задачі і запитання. З’ясовують; скільки часу потрібно першому насосу, щоб викачати 24 т води; скільки часу потрібно другому насосу, щоб викачати 24 т води; більше чи менше часу, ніж 6 год. (3 год) потрібно буде обом насосам викачати 24 т води. Порівнюють цю задачу з попередньою і встановлюють, що вона є продовженням попередньої задачі; проводять аналітичний пошук розв’язування задачі:

 

?

 

24:?

 

? +?

 

 

24: 6 24: 3

 

Далі учні складають план розв’язування задачі і записують її розв”язання по діях з поясненням:

Розв’язання:

a. 24: 6 = 4 (л) - викачує перший насос за 1 год;

2) 24: 3 = 8 (л) – викачує другий насос за 1 год;

3) 4 + 8 = 12 (л) – викачують обидва насоси за 1 год, працюючи разом;

4) 24: 12 = 2 – за стільки годин вони викачають24 л води, працюючи разом.

В цій задачі ми зустрічаємось з величинами: загальний виробіток – загальний об’єм води (24 т води треба викачати), час, який витрачено на цю роботу (3 год. або 6 год.) та продуктивність праці – об’єм води, яку викачує насос за 1 год.

- Змініть величини задачі. (Наприклад: загальний виробіток – загальна кількість деталей, продуктивність праці – кількість деталей за 1 годину, час роботи). Розкажіть нову задачу.

- Складіть план розв’язування цієї задачі.

- Чи треба виконувати розв’язок цієї задачі? (Ні, не треба. В неї буде такий самий розв’язок, що й у попередньої задачі.) Чому? (Ця задача має майже такий самий короткий запис, лише інші величини, такі самі числові дані.Тому треба лише “поправити” пояснення.)

- Залишіть величини такими самими, але змініть числові значення цих величин. (При цьому вчитель слідкує, щоб учні обрали числове значення загальної величини таким, щоб можна було розв’язати цю задачу.)

- Розкажіть план розв’язування цієї задачі.

- Порівняйте всі ці задачі. (В усіх задачах запитання містить слова “якщо працюватимуть разом”. – це задачі на спільну роботу.)

- Порівняйте короткі записи цих задач на спільну роботу. (Ці задачі мають “один й той самий” короткий запис (мають одну математичну структуру), а тому вони розв’язуються за одним планом:

Першою дією дізнаємося про значення одиниці загальної величини для першого випадку.

Другою дією дізнаємося про значення одиниці загальної величини для другого випадку.

Третьою дією дізнаємося про суму значень одиниці загальної величини для обох випадків.

Четвертою дією відповімо на запитання задачі.

Задача 3. Одна друкарка надрукує 100 сторінок за 5 днів, а друга – за 4 дні. За скільки днів надрукують ці друкарки 90 сторінок, якщо працюватимуть разом?

- Чи це задача на спільну роботу? (Так, тут запитується “За скільки днів надрукують ці друкарки 90 сторінок, якщо працюватимуть разом?”)

- За яким планом її розв’яжемо?

Першою дією знайдемо продуктивність праці першої друкарки.

Другою дією – продуктивність праці другої друкарки.

Третьою дією знайдемо спільну продуктивність.

Четвертою дією знайдемо час спільної роботи друкарок.

Запишімо розв’язання виразом: 90: (100: 5 + 100: 4) = 90: 45 = 2 дні

Відповідь: за 2 дні надрукують обидві друкарки 90 сторінок, якщо працюватимуть разом.

Зауваження: в задачах на спільну роботу можна додавати лише продуктивності праці, але не можна додавати час, за який кожний виконує цю роботу самостійно.

 

Формування уміння розв’язувати задачі на спільну роботу.

1. Через кран у ванну за 1 хв. вливається 20 л. води, а через зливний отвір за 1 хв виливається 15 л води. За скільки хвилин наповниться ванна, об’ємом 160 л, якщо і кран, і зливний отвір будуть весь час відкриті?

На прикладі задачі цієї задачі, вчитель може продемонструвати учням зразок, коли спільну продуктивність знаходять як різницю між продуктивністю (пропускною здатністю) крану і продуктивністю зливного отвору. Спочатку доцільно запропонувати школярам розв’язати таку просту задачу: „Через кран у ванну за одну хвилину вливається декілька л води, а через зливний отвір виливається на 5 л менше води за хвилину. За скільки хвилин наповниться ванна, місткістю 160 л, якщо і кран, і зливний отвір будуть весь час відкриті?”

Учні мають зрозуміти, що в цьому випадку за кожну хвилину в ванні стає більше води на 5 л. Тому: 160:5=32 (хв) – потрібно, щоб наповнити ванну.

Після цього школярі можуть розв’язати задачу 1 виразом

160: (20-15)=32 (хв)

 

2. 24 т води перший насос може викачати за 6 год, а другий – за 3 год. За скільки год викачають 24 т води обидва насоси, працюючи разом?

Після з’ясування умови задачі треба поставити учням питання:

- Чи вірно дати таку відповідь: 6 + 3 = 9 (год.) – потрібно обом насосам, щоб викачати 24 т води?

- Як ви думаєте, скільки (приблизно) годин треба двом насосам, які працюють разом, щоб виконати роботу? (Менше, ніж 3 години, тому що за 3 години другий насос може самостійно виконати цю роботу, але йому допомагає перший насос.)

Розв’язання

1) 24: 6 = 4 (т) води за 1 год. викачує перший насос;

2) 24: 3 = 8 (т) води за 1 год. викачує другий насос;

3) 4 + 8 = 12 (т) води за 1 год. викачують обидва насоси;

4) 24: 12 = 2 - стільки годин вони працюватимуть разом, щоб викачати 24 т води.

Або 24: (24:6-24:3)=24: (4+8)=2 (год)

Відповідь: 2 години.

3. 72 ц сіна коровам вистачить на 12 днів, а вівцям на 24 дні. На скільки днів вистачить цього сіна коровам та вівцям разом?

Розв’язання

72: (72:12+72:24)=72: (6+3)=8 (дн.)

Відповідь: на 8 днів вистачить 72 ц сіна коровам та вівцям разом.

4. Майстер виготовляє 120 дет. за 8 годин, а працюючи разом із своїм учнем, він може зробити ту ж кількість дет. за 5 годин. Скільки деталей за 1 годину виготовляє учень?

Розв’язання

120: 5 – 120: 8=24 - 15=9 (дет.)

5. Чоловік вип’є діжку води на 30 л за 10 днів, а разом із дружиною таку ж саму діжку за 6 днів. За скільки днів таку діжку води вип’є дружина?

Розв’язання

30: (30:6-30:10)=30: (5-3)=15 (дн.)

Відповідь: за 15 днів вип’є діжку дружина.

- Чому для розв’язання цієї задачі потрібно більше дій?

- Про що дізнаємося у задачі 4, обчисливши значення виразу: 120: (120:5-120:8)? (Час роботи учня для виготовлення 120 деталей)