Алгебраїчний матеріал в курсі математики 4-го класу

 

Програмою з математики для 4-го класу, авторами якої є Л. Кочина та Н.Листопад передбачено такі питання алгебри:

Знаходження значень числових виразів з дужками і без них.

Знаходження значення буквеного виразу при заданих числових значеннях букв, що входять до нього.

Рівняння з однією змінною, права частина яких подана числовим виразом, або один з компонентів буквений вираз. Нерівності із змінною.

 

Питання про знаходження значень числових і буквених виразів нами були докладно розглянуті у методичних посібниках для 2-го та 3-го класів. Зазначимо лише, що в 4-му класі пропонуються вправи на знаходження значень виразів з дужками,в яких записаний вираз, що утримує не одну а дві арифметичні дії:

18*20+(846-143*4)=634

Учні повинні спочатку встановити порядок арифметичних дій у дужках, а потім і порядок решти арифметичних дій; виконати дії згідно встановленому порядку.

 

У методичному посібнику для 3-го класу ми запропонували методику введення поняття „рівняння” і навели три способи розв’язування найпростіших рівнянь. В 4-му класі над простішими рівняннями працюємо згідно відомим алгоритмам:

Спосіб підбору 36: х = 18 припустимо х=1; 36: 1=18 – невірно; х=2; 36: 2=18 – вірно; Відповідь: 2.   Зазначимо, що при розв’язанні способом підбору перевірка не потрібна.

Спосіб на підставі взаємозв’язку між результатами і компонентами арифметичних дій. 36: х = 18 х = 36: 18 х = 2....... 36: 2 = 18 18 = 18 Відповідь: 2.

Спосіб на підставі властивостей рівності   36: х = 18 36: х = 36: 2 х = 2 Відповідь: 2.

 

 

 

В 4-му класі вводяться рівняння більш складної структури: рівняння, в яких в правій частині записано вираз, та рівняння, в яких один із компонентів поданий числовим виразом або виразом із змінною:

 

1 тип – рівняння,в яких праворуч записано числовий вираз:

х + 5 = 42 – 7.

2 тип - рівняння, в яких один із компонентів поданий числовим виразом:

х – (12 – 7) = 37.

 

Ці рівняння розв’язуються за допомогою пам’ятки:

 

Пам’ятка. 1. Чим відрізняється це рівняння від найпростішого? Що записано виразом? 2. Як привести його до вигляду найпростішого? Заміни вираз його числовим значенням. 3. Розв’яжи найпростіше рівняння. 4. Зроби перевірку.

Зазначимо, що згідно нової програми в 4-му класі пропонуються рівняння, для розв’язання яких правило знаходження невідомого компоненту застосовується двічі – це рівняння в яких невідоме входить в склад одного із компонентів, наприклад:

 

Ш тип – рівняння в яких невідоме входить до складу одного із компонентів

(х – 13) + 40 = 65

Пам’ятка. 1. Яка дія виконується останньою? Як називаються компоненти при цій дії? 2. До складу якого компоненту входить невідоме – це невідомий компонент. 3. Як знайти невідомий компонент? Знайди невідомий компонент. 4. Розв’яжи найпростіше рівняння. 5. Зроби перевірку.

х + 5 = 42 – 7 х + 5 = 35 х = 35 – 5 х = 30. 30 + 5 = 42 – 7 35 = 35     Відповідь: 30

х – (12 – 7) = 37 х – 5 = 37 х = 37 + 5 х = 42. 42 – (12 – 7) = 37 42 – 5 = 37 37 = 37   Відповідь: 42

(х – 13) + 40 = 65 х – 13 = 65 – 40 х – 13 = 25 х = 25 + 13 х = 38. (38 – 13) + 40 = 65 25 + 40 = 65 65 = 65 Відповідь: 38

 

Розглянемо докладно методику ознайомлення учнів з більш складеними рівняннями.

Учням пропонується розв’язати рівняння: 15 – х = 10.

- Як називається вираз, що записаний ліворуч?(Різниця)

- Що невідомо?(В цьому рівнянні невідомо від’ємник).

- Як знайти невідомий від’ємник?(Щоб знайти невідомий від’ємник, слід від зменшуваного відняти різницю).

- Виконаємо дії.(х = 15-10)

- Запишімо відповідь.(х = 5)

- Зробимо перевірку.(15 – 5 = 10

10=10

Відповідь: 5.)

- А тепер поруч з цим рівнянням запишімо інше:

15 – х = 10 (9 + 6) – х = 10

- Прочитайте це рівняння.(Якщо від суми чисел 9 та 6 відняти х,то отримаємо 10.)

- Чим схожі ці рівняння?(В обох рівняннях ліворуч записана різниця, в обох рівняннях невідомим є від’ємник. В обох рівняннях праворуч одне й те ж число – 10)

- Чим вони відрізняються?(В першому рівнянні зменшуване подано числом – 15, а в другому виражено сумою чисел 9 та 6.)

- Чи можливо друге рівняння привести до вигляду першого? (Можна, якщо знайти значення виразу, який записано у зменшуваному)

- Обчислити це.(9+6 = 15, отримаємо: 15 – х = 10)

- Це рівняння ми вже розв’язали. Який можна зробити висновок щодо розв’язання рівнянь в яких один із компонентів поданий числовим виразом? (Це рівняння слід привести до найпростішого рівняння, якщо обчислити значення виразу)

Запишімо розв’язок: (9+6) – х = 10

15 - х = 10

х = 15-10

х =5.

(9+6) – 5 = 10

15 - 5 = 10

10= 10

Відповідь: 5.

- Тепер розглянемо іншу пару рівнянь: а – 4 = 19 а – (30 - 14) = 23

- Чим схожі ці рівняння? Чим відрізняються? (Схожі: в обох ліворуч записана різниця, в обох невідомим є зменшуване. Відрізняються: в першому рівнянні від’ємник – число, а в другому від’ємник виражений різницею чисел 30 та 14)

- Як привести друге рівняння до вигляду першого? (Треба обчислити різницю чисел 30 та 14, яка записана у від’ємнику)

- Розв’яжіть друге рівняння.

а – (30 – 14) = 23

а – 16 = 23

а = 23+16

а = 39.

39 – (30 – 14) = 23

39 – 16 = 23

23 = 23

Відповідь: 39.

- Уважно розгляньте подані рівняння. Що невідомо в кожному з них?

- (40 –25) + х = 33 в – 76 = 90 – 76 (52 – 11) - а = 18

- (Невідомо: в першему рівнянні - другий доданок, в другому - зменшуване, в третьому від’ємник).

- Прочитайте перше рівняння. (Перший доданок виражено різницею чисел 40 та 25,другий доданок – невідомий, сума – число 33)

- Розв’язуємо це рівняння за пам’яткою:

1.Чим відрізняється це рівняння від найпростішого? (Один із компонентів записано виразом.) Що записано виразом? (Виразом записано перший доданок – це різниця чисел 40 та 25)

2.Як привести його до вигляду найпростішого? (Слід замінити вираз його значенням: 40-25= 15.) Заміни вираз його числовим значенням. Отримаємо

15 + х = 33

3.Розв”яжи найпростіше рівняння. х = 33 – 15

х = 18

4.Зроби перевірку. (40 – 25) +18 = 33

15 +18 = 33

33 = 33

Відповідь: 18.

- Яке із рівнянь, що залишилися, схоже з першим рівнянням? В якому рівнянні один із компонентів теж подано виразом? (Третє рівняння). Розв’яжіть його використовуючи пам’ятку.

- Уважно розгляньте друге рівняння. Порівняйте його з першим та третім рівняннями. Чим воно відрізняється від них? (В 1-му та 3-ому рівняннях виразом поданий один із компонентів ліворуч, а в 2-му – вираз записано праворуч.)

- Що слід зробити у першу чергу, щоб розв’язати 1-ше та 3-тє рівняння? (Треба обчислити значення виразу)

- Чи можливо так само розв’язати 2-ге рівняння? (Можливо. Якщо обчислимо значення виразу, який записано праворуч, тоді отримаємо найпростіше рівняння)

- Розв’яжіть 2-ге рівняння.

 

На наступних уроках можна повернутися до останнього рівняння і обговорити ще один засіб його розв’язання. Міркуємо так: праворуч та ліворуч записані різниці чисел: в – 76 та 90 – 76. Порівнюємо вирази: в них однакові від’ємники; між цими різницями стоїть знак “=”,тому вони рівні. Якщо різниці рівні та в них однакові від’ємники, значить в них рівні й зменшувані, тобто в = 90.

На підставі розв’язання аналогічних завдань і їх аналізу учні узагальнюють логічний спосіб розв’язування рівнянь:

- Коли його можна застосовувати? (Якщо і праворуч і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент.)

- В чому він полягає? (Треба порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент, стоїть знак рівності, то й другий компонент в них так само, однаковий.)

Зазначимо, що в 3-му класі нами було запропоновано спосіб розв’язування найпростіших рівнянь, який полягав у заміні правої частини таким самим виразом, що й записаний у лівій частині рівняння та з однаковим одним з компонентів.

1)

х – 5 = 90 х – 5 = 95 – 5 х = 95

Що записано у лівій частині рівняння? (Різність з від’ємником 5).

2) Подаю праву частину у вигляді різниці з від’ємником 5. (90 = 95 – 5)

3) Порівняй дві різниці. (В цих різницях однакові від’ємники, але різні зменшувані)

4) Зроби висновок. (Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді й тільки тоді, коли зменшувані рівні.)

В цьому випадку перевірка не виконується. Відразу записуємо відповідь. Відповідь: 95.

 

Розглянемо методику введення рівнянь в яких один з компонентів буквений вираз.

Учням пропонується розв’язати рівняння:

(51: 3) – у = 9 17 – у = 9 у = 17 – 9 у = 8. (51: 3) – 8 = 9 17 – 8 = 9 9 = 9 Відповідь: 8.

Це рівняння відрізняється від простішого тим, що в ньому зменшуване подано не числом, а числовим виразом: часткою чисел 51 і 3. Щоб його привести до вигляду простішого рівняння, треба обчислити значення частки цих чисел, буде 3. Отримали простіше рівняння: 17 – у = 9. Невідомий від’ємник, щоб знайти невідомий від’ємник, треба від зменшуваного відняти різницю. Маємо 8. Роблю перевірку: підставляю значення змінного у дане рівняння, повинна бути вірна рівність.

- Яка дія виконувалася останньою в лівій частині? (Віднімання.) Прочитайте вираз, записаний у лівій частині. (Зменшуване подано часткою чисел 51 та 3, а від’ємник число у.) Зменшуване тут подано числовим виразом, значення якого досить легко обчислити.

- Порівняйте це рівняння із наступним:

(51: в) – 8 = 9

- Чим вони відрізняються? (Тут зменшуване не числовий вираз, а буквений, і його значення не можна обчислити не знаючи значення букви.)

- Тут зменшуване – це невідомий компонент! Як знайти невідоме зменшуване? (Треба до різниці додати від’ємник.) Знайдемо число, якому дорівнює невідоме зменшуване і отримаємо простіше рівняння.

(51: в) – 8 = 9   51: в = 9 + 8 51: в = 17 в = 51: 17 в = 3. (51: 3) – 8 = 9 17 – 8 = 9 9 = 9   Відповідь: 3.

Отже, при розв’язанні рівнянь, в яких один із компонентів буквений вираз, треба визначити яка дія виконується останньою, згадати назви компонентів і до складу якого з компонентів входить змінна – це невідомий компонент! Застосовуючи правило знаходження невідомого компоненту знайти його числове значення і отримати простіше рівняння. Розв’язавши простіше рівняння знайти значення змінної. І якщо підставивши його у дане рівняння отримуємо вірну числову рівність, то знайдене значення змінної є буде розв’язком, або коренем рівняння.

 

Розв’язування задач за допомогою рівнянь.

В 3-му класі ми познайомили учнів з розв’язанням простих задач способом складання рівняння, і запропонували їм пам’ятку:

Пам’ятка для розв’язування задач за допомогою рівняння.   1.Позначаємо невідоме число буквою. 2.Виділяємо зв’язки невідомого з числовими даними. 3.Складаємо рівняння. 4.Розв”язуємо рівняння. 5. Записуємо відповідь задачі.

 

В 4-му класі вчимо учнів розв’язувати складені задачі способом складання рівняння. Розглянемо кілька прикладів.

Наприклад: невідоме число збільшили на 6 одиниць, отриману суму збільшили у 7 разів і отримали 420. Запиши і розв’яжи рівняння.

Невідоме число можна позначити будь-якою буквою, наприклад, х.

Невідоме число збільшили на 6 одиниць, маємо х + 6

Отриману суму збільшили у 7 разів (х + 6)* 7

Отримали 420

(х + 6)* 7 = 420

х + 6 = 420: 7

х + 6 = 60

х = 60 – 6

х = 54.

(54 + 6) * 7 = 420

60 * 7 = 420

420 = 420

Відповідь: 54.

 

Задача. На екскурсію поїхало 28 хлопчиків, а решта дівчинки. Всі вони розташувалися в двох автобусах по 25 учнів в кожному. Скільки дівчат поїхало на екскурсію?

- Що невідомо в задачі? Позначимо невідоме число буквою: дівчат – х

- Виділяємо зв’язки кількості дівчат з числовими даними:

1.Взагалі на екскурсію поїхало 28 (це хлопчики) та х (дівчата) дітей:

28 + х – поїхало дітей.

2.Всі діти розташувалися у двох автобусах по 25 учнів в кожному. Тому в автобусах взагалі було 25 * 2 учнів.

3.Отримаємо, з одного боку взагалі дітей - 28 + х, а з другого боку -

25 * 2.Тому прирівнюємо: 28 + х = 25 * 2

- Розв’язуємо рівняння.

Задача х - кількість дівчинок 28 + х - всього дітей 25 * 2 - всього дітей Маємо: 28 + х = 25 * 2

Розв’язання 28 + х = 25 * 2 28 + х = 50 х = 50 – 28 х = 22 Відповідь: 22 дівчинки.

Отже, шукане задачі позначаємо буквою і визначаємо зв’язки шуканого з іншими числовими даними, що дає підстави для складання рівняння.

Задача. Із 40 кг борошна випекти 160 батонів. Скільки батонів випечуть з 240 кг борошна, якщо на кожний батон витрачають однакову масу борошна?

Позначимо шукане число через х:

	Маса борошна (г)	Кількість батонів з 1 кг борошна (шт.)	Загальна кількість батонів (шт..)
	40 кг		160 шт.
		однакова
П	240 кг		х

- Яка величина є однаковою? (Кількість батонів з 1 кг борошна.)

- Як знайти кількість батонів з 1 кг борошна? (Треба загальну кількість батонів поділити на масу борошна.)

- Як знайти кількість батонів з 1 кг борошна, виходячи з даних першого випадку? (160: 40)

- Як знайти кількість батонів з 1 кг борошна, виходячи з другого випадку? (х: 240)

- Кількість батонів з 1 кг борошна для обох випадків однакова, тому ці вирази мають рівні значення, і отримаємо вірну рівність: 160: 40 = х: 240

- Цю рівність можна переписати інакше: х: 240 = 160: 40

- Розв’язавши це рівняння ми знайдемо х. Нагадайте, що ми позначили за х? (х – це загальна кількість батонів з 240 кг борошна.) Таким чином, розв’язавши це рівняння ми відповімо на запитання задачі:

 

х: 240 = 160: 40

х: 240 = 4

х = 4 * 240

х = 960

Відповідь: 960 батонів випечуть з 240 кг борошна.

Задача. В 8 годин ранку з пункту А в пункт В вийшов поїзд з швидкістю 60 . В 11 годин з пункту В йому назустріч вийшов інший поїзд з швидкістю 70 . В котру годину поїзди зустрінуться, якщо відстань між пунктами 440 км?

Розв’язання. Треба спочатку визначити час самостійного руху першого поїзду, виконавши арифметичну дію: 11 – 8 = 3 години.

Позначимо через х час руху другого поїзду до зустрічі. Тоді (60 + 70) * х – відстань, яку подолали два поїзда, від миті виходу другого поїзду. 60 * 3 – відстань, яку пройшов перший поїзд, рухаючись самостійно. Отже вся відстань складається з відстані, яку подолав перший поїзд, рухаючись самостійно,та відстані, яку подолали обидва поїзди, рухаючись „одночасно”; вся відстань 440 км. Складаємо рівняння:

(60 + 70) * х + 60 * 3 = 440

130 * х + 180 = 440

130 * х = 440 – 180

130 * х = 260

х = 2 через 2 години після виходу другого поїзду вони зустрінуться; другий поїзд вийшов в 11 годин, тому час зустрічі: 11 + 2 = 13 годин.

Відповідь: о 13-тій годині поїзди зустрінуться.

В 4-му класі продовжуємо розв’язувати нерівності із змінною відомими учням трьома способами:

Спосіб підбору а - 8 > 4 Можна почати випробування з числа більшого за 8, тому що при значенні змінної 8, різниця дорівнює 0. припустимо а=8; 8-8>4 – невірно; а= 9; 9-:8>4-невірно; а=10; 10-8>4- невірно; а=11; 11-8>4– невірно; а = 12; 12-8>4–не вірно; а = 13; 13-8>4– вірно. Якщо а приймає значення: 13, 14... нерівність а - 8 >4 є вірною. Відповідь: 13, 14, 15,....

Спосіб наведення до рівняння а - 8 >4 1) а - 8 = 4 а = 4 + 8 а = 12 2)...11, 12, 13... 11-8>4– невірно 13-8>4 – вірно 3) Відповідь: 13, 14, 15...

Спосіб на підставі взаємозв’язку між результатам і компонентами арифметичних дій а - 8 >4 а - 8 > 12 - 8 З двох різниць з однаковими від’ємниками більша та, в якій зменшуване більше. Відповідь: 13, 14, 15...

Зазначимо, що спосіб підбору при розв’язанні рівнянь і нерівностей застосовується тоді, коли задана множина чисел та з них треба обрати ті, при яких рівність або нерівність буде вірною. Якщо такого набору чисел нема, то краще розв’язувати другим або третім способом.

Наприклад: при яких значеннях в нерівність буде вірною 25 – в > 20?

Розв’язувати нерівність будемо другим способом.

1) Навожу до рівняння. Визначаю при якому значенні букви отримаємо вірну рівність. 25 – в = 20

в = 25 – 20

в = 5

2) Записую отримане число, підкреслюю його і записую його сусідів.

4, 5, 6

3) Підставляю число, до знайденого і встановлюю чи є воно розв’язком нерівності.

Якщо в = 4; 25 – 4 > 20 вірно

4) Роблю висновок: якщо так, то виписую декілька чисел,які при рахунку називаються знайденого числа.

Відповідь: в < 5; в = 0, 1,2, 3, 4.

 

Розглянемо завдання, яке будемо розв’язувати третім способом:

Знайти найбільше натуральне значення х, яке задовольняє нерівності:

200 – х > 42

1) Подаю праву частину, 42, різницею з зменшуваним 200. 42 = 200 - 158.	200 – х > 200 - 158
2) Порівнюю різниці. Згадую зв’язок різниці і від’ємника: різниця збільшується, якщо від’ємник зменшується. Отже, із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, в якій від’ємник менше.
3) Робимо висновок.	x < 158 Відповідь: 0;1;2;3;4.... 157. Найбільше значення х, при якому нерівність буде вірною – це число 157.