Задачі, що розв’язуються арифметичним методом.

 

Задача 1. Маса двох ялинкових шишок і одного жолудя – 152 г. А маса двох жолудів та однієї ялинкової шишки – 94 г. Що важче: одна ялинкова шишка чи один жолудь і на скільки?

Розв’язання. На малюнку умовно позначимо жолуді квадратиками, шишки – кружками. За умовою маса двох ялинкових шишок і одного жолудя – 152 г, а маса двох жолудів та однієї ялинкової шишки – 94 г. Покажімо це на схемі 1. З цього малюнка бачимо, що маса шишки більше маси жолудя. Але лишається питання “ На скільки маса шишки більше маси жолудя?”. Далі задачу вчителька пропонує розв’язувати підбором, але відповісти на це запитання ми можемо виходячи з поданих чисел. За допомогою виразу 152 – 94 ми й дізнаємося на скільки маса шишки більша за масу жолудя. Схема 2. Наведемо подальший розв’язок способом підбору. Якби в нас було не дві шишки і 1 жолудь, а в 2 рази більше – 4 шишки та 4 жолуді, тоді б їх маса була 152 * 2 = 304 г. Схема 3. 304 - 94 = 210 (г) маса 3 шишок; 210: 3 = 70 (г) маса 1 шишки.

Схема 1.

 

 

 

152 г

 

 

 

94 г

 

Схема 2.

152 г

 

 

94 г

 

Схема 3.

304 г

 

 

94 г

Але можна було збільшити в 2 рази кількість шишок і жолудів в другому випадку. Маємо: 2 шишки та 4 жолуді; їх маса 94 * 2 = 188 (г)

188 – 152 = 36 (г) маса 3 жолудів; 36: 3 = 12 (г) маса 1 жолудя. Тепер відповімо на запитання задачі: 70 – 12 = 58 (г) на стільки маса шишки більша за масу жолудя.

152 г

 

 

188 г

 

Задача 2. 3 ручки та 4 блокноти коштують 26 грн., а 7 ручок і 6 таких самих блокноти коштують 44 грн. Скільки коштує блокнот?

Розв’язання.

1) 26 х 7 = 182 (грн..) – коштує 21 ручка та 28 блокнотів;

2) 44 х 3 = 132 (грн..) коштує 21 ручка і 18 блокнотів;

3) 28 – 18 = 10 (шт..) на стільки більше блокнотів в першій покупці. Ніж в другій;

4) 182 – 132 = 50 (грн..) – коштують 10 блокнотів;

5) 50: 10 = 5 (грн..) ціна блокнота.

Відповідь: 5 грн. (11)

Задача 3. Троє курчат та двоє гусенят коштують 99 копійок, а 5 курчат і 4 гусеняти коштують 1гривню 83 копійки. Скільки коштує одне курча та одне гусеня окремо?

Розв’язання.

Якщо 3 курча та 2 гусеня коштують 99 копійок, то в двічі більше – 6 курчат та 4 гусеняти коштують 198 копійок. А за умовою задачі 5 курчат і 4 гусеняти коштують 1гривню 83 копійки. Порівняємо ці дані: в обох випадках гусенят по 4, а курчат – в одному випадку 6, а в другому – 5; різниця складає 6 – 5 = 1 курча; в першому випадку сплатили 198 копійок, а в другому 183 копійки; різниця складає 198 – 183 = 15 (копійок) – ціна курча.

Тепер не складно дізнатися про ціну гусеняти, застосувавши першу частину умови: (99 – 15 х 3): 2 = 27 (коп..) ціна гусеня.

Відповідь: 15 копійок коштує курча та 27 копійок коштує гусеня. (38)

 

Задача 4. Господар найняв робітника на рік і пообіцяв йому дати 12 карбованців і кафтан. Але той, попрацювавши лише 7 місяців, побажав піти. При розрахунку він отримав 5 карбованців і кафтан. Скільки коштує кафтан?

Розв’язання.

1 спосіб.

За рік робітник повинен отримати 12 карбованців і кафтан, таким чином за кожний місяць він заробляє по 1 карбованцю і 1/ 12 вартості кафтана. За 7 місяців він заробив 7 карбованців і 7/12 вартості кафтана, а отримав 5 карбованців і 12/12 вартості кафтана. Таким чином, він не отримав 7 – 5 = 2 карбованця і отримав зайвими 12/12 – 7/12 = 5/12 вартості кафтана. Отже 5/12 вартості кафтана коштує 2 карбованця.

1) 200 к.: 5 = 40 к. – величина 1/12 вартості кафтана.

2) 40 к. * 12 = 480 к. = 4 карб.80 к. – вартість кафтана.

2 спосіб.

Робітник не допрацював у господаря 5 місяців і недоотримав 7 карбованців. Тому місячна плата в грошах складає 7/5 карб., або 1 карб. 40 к. Плата за 7 місяців складає 7 * 1 карб. 40 к. = 9 карб. 80 к.. Але робітник отримав 5 карб. І кафтан. Тому кафтан коштує 4 карб. 80 к.

 

Задачі, що розв’язуються „з кінця”

Задача 1. Селянин прийшов до царя і запитав: „Цар, дозволь мені взяти з твого садка одне яблуко”. Цар відповів: „ Мій садок обнесений трьома заборами. В кожному заборі є тільки одні ворота і коло кожних воріт стоїть сторож. Якщо скажеш, скільки яблук треба тобі взяти, щоб виконати наступні умови: першому сторожу віддати половину яблук, які візьмеш, і ще 1 яблуко; другому сторожу віддати половину з тих, що залишилися і ще 1 яблуко; третьому сторожу віддати половину того, що залишилося (після того, як віддаси другому) і ще 1 яблуко, а тобі щоб лишилося 1 яблуко, то я дозволю тобі піти в сад.”

Селянин подумав трошки і відповів царю. Цар дозволив йому піти в сад. Яке число назвав селянин?.

Розв’язання.

Звертаємо увагу на те, що після того, як селянин віддав третьому сторожу половину і ще 1 яблуко в нього залишилося 1 яблуко. Отже 1 + 1 яблуко – це половина.

(1 + 1) х 2 = 4 (ябл.) було перед тим, як віддати третьому сторожу, або після того, як віддали другому сторожу;

(4 + 1) х 2 = 10 (ябл.) – було перед тим, як віддати другому сторожу, або після того, як віддали першому сторожу;

(10 + 1) х 2 = 22 (яб.) – було перед тим, як віддати першому сторожу або треба взяти з садка.

Відповідь: 22 яблука.

Задача 2. Три брати прийшли на постоялий двір, заказали пельмені та лягли спати. Коли старший брат проснувся, він побачив пельмені, перелічив їх і з”їв свою частину. Після цього він знов заснув. Проснувся середній брат, перелічив пельмені та з’їв одну третину, не знаючи, що старший брат вже поїв. Після цього середній брат теж заснув. Нарешті, проснувся молодший брат. Він з’їв третю частину пельменів, що були на столі. Після цього він розбудив старшого та середнього братів та запропонував їм з’їсти 24 пельмені, що залишилися. Як повинні брати розділити ці пельмені між собою?

Розв’язання. Складемо таблицю та будемо її заповняти.

 

Було спочатку Залишилося після старшого Залишилося після середнього Залишилося після молодшого

 

 

Молодший брат з’їв одну третину тих пельменів, що були перед ним. Після цього залишилося 24 пельмені. Значить дві третини пельменів, які залишилося, складають 24 штуки. Тому одна третина, як він з’їв складає 12 пельменів. А перед ним було три таких частини: 12 * 3 = 36. Тому залишилося після середнього брата 36 пельменів.

Було спочатку Залишилося після старшого Залишилося після середнього Залишилося після молодшого

 

 

Середній брат з’їв третину пельменів, що були на столі і після нього залишилося 36 пельменів. Залишилося дві третини, які складають 36 пельменів, тому третина – це 18 пельменів. Тому перед ним було 54 пельменя:

Було спочатку Залишилося після старшого Залишилося після середнього Залишилося після молодшого

 

 

Старший брат з’їв одну третину усіх пельменів, після чого залишилося 54 штуки – це дві треті. Значить, він з’їв 27 пельменів, тому перед ними був 81 пельмень:

Було спочатку Залишилося після старшого Залишилося після середнього Залишилося після молодшого

 

Отже, всього було 81 пельмень, а тому кожному призначалося по 81: 3 = 27 пельменів. Старший брат вже з’їв ті пельмені, що йому призначалися, середній з’їв 18 і 9 йому ще призначається, а решта 15 пельменів призначаються молодшому брату.

Відповідь: Старшому – 0, середньому – 9, молодшому – 15.

Задачі на комбінації чисел

Задача 1. Скільки різних парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 1,2,3,4 так, щоб цифри в запису числа не повторювалися?

Розв’язання. Шукане число буде закінчуватися парною цифрою, а саме 2 або 4.

Тобто модель розв’язування задачі:... 2 або... 4.

У першому випадку на перших трьох місцях можуть бути цифри 1, 3, 4 і їх розташування таке 1 3 4 1 4 3 3 1 4 3 4 1 4 1 3 4 3 1. Тобто парних чотирицифрових чисел, що закінчуються „двійкою” всього шість:

1342 1 4 32 3142 3412 4132 4312.

Скільки ж чотирицифрових чисел ми отри маємо, які закінчуються цифрою „4”. Запишіть їх.

Відповідь: 12 чисел.

Задача 2. Скільки різних добутків, які діляться на 10, можна скласти з чисел 7,2,11,9,5?

Розв’язання. Кожний добуток, який ділиться на 10 без остачі, повинен містити множники 2 і 5, тому що вони у добутку дають число 10.

Отже перший добуток 2 * 5.

Якщо відокремити числа 2 і 5, то їх залишиться ще три: 7, 11, 9. До добутку 2 * 5 можна приєднувати множником ще по одному з чисел, які залишилися, або по два, або по три.

Отже, маємо всього добутків:

2 * 5 2 * 5 * 7 2 * 5 * 7 * 11 2 * 5 * 7 * 11 * 9

2 * 5 * 11 2 * 5 * 7 * 9

2 * 5 * 9 2 * 5 * 9 * 11

Всього добутків 8 (значення добутків рахувати не треба)

Відповідь: 8.

Вчитель може самостійно варіювати кількість чисел.

Задача 3. З чотирьох дівчинок та 3 юнаків треба скласти музичну групу з 4 осіб, в яку входило б не більш ніж 2 дівчинки. Скількома способами це можна зробити?

По-перше, поміркуємо, що означають слова: „ не більш ніж 2 дівчинки”? В групі можуть бути 2 дівчинки або 1.

Отже, склад групи: 2 дівчинки та 2 юнаки або 1 дівчинка та 3 юнака.

Позначимо дівчинок А,В,С,Д, виберемо двох з них:

АВ АС АД ВС ВД СД

Це можна зробити 6 способами.

Позначимо юнаків М,Р,Т, виберемо двох з них: МР МТ РТ. Це можна зробити 3 способами.

Тобто в першому випадку групу можна обрати:

МР МР МР

АВ МТ АС МТ АД МТ

РТ РТ РТ

6 * 3 = 18 способами.

У другому випадку:

1 дівчинку з 4-х можна обрати 4 способами, а 3 юнаків з 3 – х лише одним способом. Маємо:

А - МРТ В – МРТ С – МРТ Д – МРТ

Тобто 4 різні групи.

Всього музичних груп можна скласти: 18 + 4 = 22 способами.

Можна запропонувати учням знайти у власному класі 4-х дівчинок та 3 юнаків, які люблять співати, та скласти з них хоч би один квартет.