Задачі на пропорційне ділення

 

Мета підготовчої роботи полягає в актуалізації знань, умінь та навичок, які необхідні при розв’язанні задач на пропорційне ділення,а саме:

· Знання взаємозв’язку між основними групами величин, які знаходяться у пропорційній залежності (ціна,кількість, вартість; маса одного предмету, число предметів, загальна маса; об’єм однієї посудини, число посудин, загальний об’єм; виробіток в одиницю часу, час, загальний виробіток; витрата тканини на одну річ, число речей, загальна витрата тканини; швидкість, час, відстань; маса вражаю з одиниці площі, площа, загальна маса врожаю).

· Уміння розв’язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного засобом наведення до одиниці:

- аналізуючи умову задачі виділяти однакову величину;

- складати короткий запис задачі в формі таблиці;

- при проведенні пошуку розв’язання задачі усвідомити наступне – для відповіді на запитання задачі треба знайти значення однакової величини, яке можна знайти за даними числовими значеннями двох величин стосовно іншого випадку.

Всі перелічені знання та уміння можливо актуалізувати під час розв’язання задач на знаходження четвертого пропорційного способом наведення до одиниці, наприклад:

1. За 7 метрів тканини заплатили 56 карбованців. Скільки метрів такої ж самої тканини можна купити на 104 карбованці?

2. Автомобіль за 6 годин проїхав 342 км. На скільки км більше він проїде за 9 годин, якщо буде їхати весь час з однаковою швидкістю?

3. За три дні швачка пошила 27 сарафанів. Скільки днів їй потрібно, щоб пошити 135 сарафанів, якщо вона буде працювати з тією ж продуктивністю?

 

Розв’язування задач нового виду – на пропорційне ділення, базується на чіткому умінні розв’язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного, тому що обидва види задач розв’язуються способом наведення до одиниці, тобто для того,щоб відповісти на запитання задачі треба знати величину однієї одиниці (наприклад: ціну,масу 1 ящика, продуктивність праці й тощо),яка є однаковою величиною. Але в задачах на знаходження четвертого пропорційного однакову величину знаходимо за двома відомими величинами одного із випадків, про які йде мова в задачі. У задачах на пропорційне ділення нам не дані числові значення обох величин,відповідно якогось випадку, за якими можна дізнатися про однакову величину. У цих задачах однакову величину ми знаходимо за загальними значеннями двох інших величин (за двома сумами),при чому загальне значення (перша сума) однієї величини вже дано за умовою задачі, а загальне значення другої величини (другу суму) слід знайти за даними значеннями кожного з випадків, про які йде мова в задачі. Тому на етапі підготовчої роботи доцільно пропонувати учням спеціальні завдання типу:

- За два дні продали 15 платтів, за них всього отримали 45 гривень. Знайти ціну плаття.

- В одному класі 12 учнів, а в другому 15 учнів. Взагалі в учнів обох класів 135 підручників. Скільки підручників у одного учня, якщо кожен учень цих класів має однакову кількість підручників?

- З двох ділянок зібрали 120 кг картоплі. Площа першої ділянки становить 25 квадратних метрів, а другої – 15 квадратних метрів.Скільки кілограм картоплі зібрали з 1 квадратного метра,якщо з кожного квадратного метра цих ділянок збирали однакову масу картоплі?

- В перший день на станцію прийшло 2 вагони з вугіллям, а в другий день – 3 вагони. Взагалі за два дні привезли 95т вугілля. Знайти масу 1-го вагону вугілля, якщо маса кожного вагону,що привезли у перший та другий день однакова.

Наведемо методику роботи над останнєю задачею, починаючи з пошуку розв’язання задачі.

	Кількість Вагонів (шт.)	Маса 1 вагона (т)	Загальна маса Вугілля (т)
	2 шт.		?
		Однакова -?	95т
	3 шт.		?

- Як ми знайдемо однакову величину – масу 1 вагона? Згадайте,як ми знаходили однакову величину у попередніх задачах - задачах на знаходження четвертого пропорційного. Чи можна й в цій задачі таким же чином знайти значення однакової величини? (В попередніх задачах ми знаходили значення однакової величини за даними двох величин одного із випадків, про які говорилося в задачі: 1-й день або 2-й день. Але в цій задачі, для кожного із випадків нам не дані значення обох величин, а лише є значення однієї величини для обох випадків – кількості вагонів, і загальне значення другої величини – загальної маси вугілля, тому ми не можемо так же,як і раніш знайти однакову величину.)

- Але для знаходження однакової величини – маси 1 вагона вугілля треба все ж таки знати значення двох інших величин: загальної маси вугілля і кількості вагонів. Якщо ми не знаємо значення двох інших величин для кожного окремого випадку – 1-го дня або 2-го дня, може застосувати значення цих величин не для кожного випадку окремо, а взагалі для обох? Які два числових значення потрібно знати, щоб знайти значення однакової величини? (Треба знати два числових значення: 1 – загальну масу вугілля,яку привезли за обидва дня (95т) та 2 – загальне значення кількості вагонів (невідомо).)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Відповімо дією ділення, тому що, щоб знайти масу одного вагона треба загальну масу розділити на загальну кількість вагонів.)

- Чи можна відповісти на це запитання відразу? (Ні не можна,тому що ми не знаємо загальну кількість вагонів, що прийшли на станцію за обидва дні.)

- Що потрібно знати,щоб знайти загальне значення кількості вагонів? (Треба знати два числових значення: 1 – кількість вагонів,які привезли першого дня (2) та 2 –кількість вагонів, які привезли другого дня (3).)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Відповімо дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що нам відомі обидва числові значення.)

- Складіть план розв’язання задачі. (Першою дією ми дізнаємося про загальну кількість вагонів, що прийшли на станцію за два дні. Другою дією ми відповімо на запитання задачі – знайдемо масу вугілля в 1-му вагоні.)

Міркування ілюструються схемою аналізу:

?

..

..

.. 2) 95:?

..

.... 1) 2 + 3

 

Якщо на етапі підготовчої роботи розв’язувати з учнями задачі такого типу, тоді при ознайомленні з даним видом задач учням залишиться перенести вже відомий засіб знаходження однакової величини в нову ситуацію.

Таким чином, розв’язуючи такі задачі та аналогічні їм ми формуємо у дітей уміння знаходити однакову величину – величину однієї одиниці, за загальними значеннями двох інших величин, яке є складовою частиною уміння розв’язувати задачі на пропорційне ділення.

 

Ознайомлення учнів с задачами на пропорційне ділення.

Загальноприйнятою в методиці математики є думка про те, що при ознайомленні з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а складати разом з дітьми із задачі на знаходження четвертого пропорційного. Що,в свою чергу, допоможе дітям побачити зв’язки між задачами цих видів, а це скоріше приведе учнів до узагальнення засобу їх розв’язування: для відповіді на запитання задач нового виду теж треба знати значення однакової величини, а тут його неможливо знайти за даними двох величин одного із випадків, про які йде мова в задачі, тобто засіб знаходження значення однакової величини в цих задачах інший – за загальною кількістю двох величин.

Таким чином, короткий запис задачі на знаходження четвертого пропорційного перетворюється в короткий запис задачі на пропорційне ділення та діти складають за ним умову задачі нового виду.

Розглянемо докладно методику ознайомлення.

Завдання 1. Скласти задачу за коротким записом, який подано на дошці:

	Кількість Вагонів (шт.)	Маса 1 вагона (т)	Загальна маса Вугілля (т)
	2 шт.		38т
		однакова
	3 шт.		?

Діти складають задачу: першого дня на базу привезли 2 вагони вугілля, маса якого 38т. Другого дня привезли 3 таких самих вагони вугілля. Скільки вугілля привезли другого дня?

Ця задача розв’язується усно та діти дізнаються про те, що в 2 день привезли 57 т вугілля.

В короткому запису попередньої задачі вчитель замість знака запитання записує знайдене числове значення:

	Кількість Вагонів (шт.)	Маса 1 вагона (т)	Загальна маса Вугілля (т)
	2 шт.		38т
		однакова
	3 шт.		57т

Після цього вчитель пропонує учням дізнатися про те, скільки вугілля привезли на базу за два дні.

Діти дізнаються,що за два дні на базу привезли 95т вугілля. Це числове значення заноситься у короткий запис:

	Кількість Вагонів (шт.)	Маса 1 вагона (т)	Загальна маса Вугілля (т)
	2 шт.		?
		однакова	95т
	3 шт.		?

Таким чином, короткий запис задачі на знаходження четвертого пропорційного поступово перетворюється у короткий запис задачі на пропорційне ділення.

Діти під керівництвом вчителя складають задачу за коротким записом: За два дні на базу привезли 95т вугілля. В перший день привезли 2 вагони, а в другий день – 3 вагони. Скільки тон вугілля привезли кожного дня, якщо маса 1 вагона була однаковою?

Вчитель повідомляє, що задача, яку складено – це задача нового виду, на пропорційне ділення. Він зауважує, що ці задачі не зовсім звичайні: в них запитання утримує слово “кожен”,і тому воно розпадається на два запитання. А якщо в задачі два запитання, тому отримаємо і дві відповіді.

 

- За коротким записом поясни числа задачі. Що позначає однакова величина? (Число 2 позначає кількість вагонів з вугіллям, які було привезено першого дня. Число 3 позначає кількість вагонів з вугіллям, які було привезено другого дня. Число 95 позначає загальну масу вугілля, яке привезли за обидва дні. Однакова величина позначає, що маса 1 вагона вугілля однакова і в перший і в другий день, тобто кожен вагон вміщує однакову кількість тон вугілля.)

- Яке запитання задачі? (Скільки тонн вугілля привезли кожного дня?)

- На які два запитання воно розпадається? (1.Скільки тон вугілля привезли першого дня? 2.Скільки тон вугілля привезли другого дня?)

- Чи можливо відразу відповісти на два запитання? (Ні, неможливо.)

- Тому відповімо спочатку на 1 запитання, а потім відповімо на 2 запитання. Подумай, що достатньо знати, щоб відповісти на перше запитання задачі: ”Скільки тон вугілля привезли на базу першого дня?” (Треба знати два числових значення: 1 – масу 1 вагона (невідомо) та 2 –скільки вагонів привезли першого дня (2).)

- Якою арифметичною дією відповімо на 1 запитання задачі? (Дією множення, тому що, щоб знайти загальну масу треба масу 1 вагона помножити на кількість вагонів.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Ні, не можна. Тому що ми не знаємо однакову величину - масу 1 вагона.)

- Що потрібно знати,щоб знайти однакову величину – масу одного вагона? (Треба знати два числових значення: 1 – загальну масу вугілля, яку привезли за обидва дня (95т) та 2 – загальне значення кількості вагонів (невідомо).)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Відповімо дією ділення, тому що, щоб знайти масу одного вагона треба загальну масу розділити на загальну кількість вагонів.)

- Чи можна відповісти на це запитання відразу? (Ні, не можна, тому що ми не знаємо загальне значення кількості вагонів.)

- Що потрібно знати, щоб знайти загальне значення кількості вагонів? (Треба знати два числових значення: 1 – кількість вагонів,які привезли першого дня (2) та 2 – кількість вагонів,які привезли другого дня (3).)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Відповімо дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що нам відомі обидва числові значення.)

- Чи на всі запитання задачі ми відповіли? Що достатньо знати,щоб відповісти на друге запитання задачі? (Достатньо знати два числових значення: 1 – масу одного вагона (ми її знайдемо, коли будемо відповідати на перше запитання задачі) та 2 – кількість вагонів, які привезли другого дня (3).)

- Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією множення.)

Міркування учнів ілюструються на схемі аналізу:

 

??

 

..

..? * 2? * 3

..

..

.. 95:?

..

 

.... 2 + 3

Складіть план розв’язання задачі. (Першою дією ми дізнаємося про загальну кількість вагонів з вугіллям,які було привезено за два дні.

Другою дією ми дізнаємося про значення однакової величини, тобто про масу вугілля в 1 вагоні.

Третьою дією ми дізнаємося про масу вугілля, яку було привезено першого дня.